两个变量的线性相关.pdf

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1、两个变量的线性相关两个变量的线性相关2.3.22.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关一、教学目标一、教学目标重点重点:了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程线性回归方程的系数公式建立回归方程难点：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此难点：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想，并在此过程中了解最小二乘法思想知识点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归知识点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程方程.能力点：探究体会数形结

2、合的方法及最小二乘法的数学能力点：探究体会数形结合的方法及最小二乘法的数学思想思想.教育点：学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的教育点：学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的方式完成一个完整的数学学习过程方式完成一个完整的数学学习过程.自主探究点：自学例自主探究点：自学例 2 2.考试点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归考试点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程方程.易错易混点：如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处易错易混点：如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高理的经验，在计算能力的要求上也较高.拓展点：事件、样本数据、回归直线方程三者

3、关系拓展点：事件、样本数据、回归直线方程三者关系二、复习引入二、复习引入引例：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研引例：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：究人员获得了一组样本数据：年年 2323 2727 3939 4141 4545 4949 5050 5353 5454 5656 5757 5858 6060 6161龄龄脂脂 9.9.1717 2121 2525 2727 2626 2828 2929 3030 3131 3030 3333 3535 3434肪肪5 5.8.8.2.2.9.9.5.5.3.3.2.2.6.6.2.2.4.4.8.8

4、.5.5.2.2.6.6问题问题 1.1.作出散点图，并指出上面的两个变量是正相关还作出散点图，并指出上面的两个变量是正相关还2 23 3三、探究新知三、探究新知(一一)探索回归直线的概念探索回归直线的概念1.1.回归直线的定义：如果散点图中的点的分布，从整体回归直线的定义：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线性相关关系，这条直线叫做回归直线【设计意图】培养自学能力和数学阅读能力【设计意图】培养自学能力和数学阅读能力【设计说明】让学生阅读教材，通过阅读教材学习线性【设计说明

5、】让学生阅读教材，通过阅读教材学习线性相关，回归直线，回归方程的概念，并分析概念中应注相关，回归直线，回归方程的概念，并分析概念中应注意的问题意的问题注意：概念的前提是点的分布在一条直线附近注意：概念的前提是点的分布在一条直线附近(二二)探索回归直线的找法探索回归直线的找法结合引例结合引例年龄与体内脂肪含量相关性年龄与体内脂肪含量相关性的散点图观察，的散点图观察，思考以下问题思考以下问题脂脂肪肪40403535303025252020151510105 5年年0 025254545555535356565202040405050303060604 4问题问题 1.1.对一组具有线性相关关系的样

6、本数据，你认为其对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？回归直线是一条还是几条？【设计意图】让学生通过观察、分析，自己发现回归直【设计意图】让学生通过观察、分析，自己发现回归直线的条数只有一条，从而培养学生观察、分析问题的能线的条数只有一条，从而培养学生观察、分析问题的能力力问题问题 2.2.回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？系？【设计意图】让学生分析两者的关系，教师引导学生发【设计意图】让学生分析两者的关系，教师引导学生发现两者整体上最接近，以进一步培养学生观察、分析问现两者整体上最接近，以进一步培养学生观察、分

7、析问题的能力题的能力问题问题 3.3.那么在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画那么在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？出回归直线？【设计意图】让学生动手操作画回归直线，建立回归思【设计意图】让学生动手操作画回归直线，建立回归思想，想，以分解难点、以分解难点、突破难点，突破难点，培养学生的动手操作能力培养学生的动手操作能力问题问题 4.4.如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性那么我们应当楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢？对于求回归直线方程，如何具体求出这个回归

8、方程呢？对于求回归直线方程，你有哪些想法？你有哪些想法？【设计意图】充分暴露学生的思维过程【设计意图】充分暴露学生的思维过程,通过讨论比通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛,培培养学生动脑思考问题的能力养学生动脑思考问题的能力【设计说明】结合教材，学生会出现以下方案【设计说明】结合教材，学生会出现以下方案方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，小的位置，测出此时的斜率和截距

9、，测出此时的斜率和截距，就是回归方程了就是回归方程了 如如5 5图图脂脂肪肪40403535303025252020151510105 52525 3030 3535 4040 4545 5050 5555 6060 6565年年0 02020方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同基本相同 如图如图脂脂肪肪4040353530306 6252520201515方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截直线的斜率和截距的平均值作为回

10、归直线的斜率和截距，得回归方程如图距，得回归方程如图脂脂肪肪40403535303025252020151510105 50 02020 2525 3030 3535 4040 4545 5050 5555 6060 6565年年7 7问题问题 5.5.以上这些方法是不是真的可行？为什么？以上这些方法是不是真的可行？为什么？【设计意图】结合以上三个方案让学生画图，然后教师【设计意图】结合以上三个方案让学生画图，然后教师引导学生讨论、交流方案的可行性，体会回归直线的特引导学生讨论、交流方案的可行性，体会回归直线的特征征【设计说明】【设计说明】教师先展示学生画图情况，教师先展示学生画图情况，学生说

11、明理由；学生说明理由；然后教师总结回归直线的特征：整体上看散点图中的点然后教师总结回归直线的特征：整体上看散点图中的点到此直线的距离最小到此直线的距离最小问题问题 6.6.如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小”？此直线的距离小”？【设计意图】这样设疑符合学生的认知规律，增强了学【设计意图】这样设疑符合学生的认知规律，增强了学生的求知欲生的求知欲【设计说明】教师引导学生进行下面的分析：【设计说明】教师引导学生进行下面的分析：y y(x xi i，(x xn n，在在RtRtABCABC中中(x x2 2，C C按照一对一的按照一对一的

12、B BA A(x x1 1，x xO O脂脂肪肪8 8引导学生以等效性和简化计算为目标，将点到直线的距引导学生以等效性和简化计算为目标，将点到直线的距离转化为自变量离转化为自变量 x x 取值一定时，纵坐标的偏差这样自取值一定时，纵坐标的偏差这样自然引出下面求回归方程的方法然引出下面求回归方程的方法问题问题 7.7.结合以上分析，我们认为以“偏差”最小的直线结合以上分析，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？【设计意图】【设计意图】几何问

13、题代数化，几何问题代数化，为下一步探究作好准备，为下一步探究作好准备，经历经历“几何直观”“几何直观”转化为转化为“代数表达”“代数表达”过程，过程，为引出为引出“最“最小二乘法”作准备小二乘法”作准备【设计说明】假设我们已经得到两个具有线性相关关系【设计说明】假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：的变量的一组数据：(x,y)，(x,y)，(x,y)当自变量当自变量x取取 bx a(i 1,2,n)，它与实际收集到，它与实际收集到x(i 1,2,n)时，可以得到时，可以得到y y(bx a)(i 1,2,n)的的y之间的偏差（如图）是之间的偏差（如图）是y yy yy y(x

14、xi i(x x，(x xn n，(x x1 1，x xO O1122nniiiiiiiii9 9问题问题 8.8.教师启发学生比较下列三个模型，哪个模型比较教师启发学生比较下列三个模型，哪个模型比较可行？可行？)最小最小模型一：模型一：(y yniii1n模型二：模型二：|yi1ni1ii|yi最小最小)最小最小模型三：模型三：(y y2i【设计意图】先向学生说明【设计意图】先向学生说明的意义，体会如何选取恰的意义，体会如何选取恰ni1当的计算方法建立回归方程的过程，提高学生分析问题当的计算方法建立回归方程的过程，提高学生分析问题的能力；培养学生的动手操作能力的能力；培养学生的动手操作能力【

15、设计说明】教师指出：【设计说明】教师指出：)可能有正有负，可能有正有负，模型一中模型一中(y y互相抵消怎么办？学生一互相抵消怎么办？学生一般会想到加绝对值般会想到加绝对值|去绝对值非常困难（可以提问，让学生思去绝对值非常困难（可以提问，让学生思模型二中模型二中|y y考）考），是否有其它的方法，是否有其它的方法，同时可以类比方差的处理方法，同时可以类比方差的处理方法，引导学生思考引导学生思考师生一起分析后，得出用模型三来制定标准评价一条直师生一起分析后，得出用模型三来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便线是否为“最好”的直线较为方便(三三)利用最小二乘法推导回归系数公式利用最小二

16、乘法推导回归系数公式问题问题 9.9.通过对上述问题的分析，我们知道可以用通过对上述问题的分析，我们知道可以用)(y bx a)最小来表示偏差最小，最小来表示偏差最小，Q Q=(y y那么在这个那么在这个iiiin2n2iiiii1i1式子中，当样本点的坐标式子中，当样本点的坐标(x,y)确定时，确定时，a a，b b 等于多少，等于多少，Q Q 能取到最小值呢？能取到最小值呢？【设计意图】体会最小二乘法思想，不经历公式化简无【设计意图】体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从法真正理解其意义，而直接从 n n 个点的公式化简，教学个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生

17、能力都没达到这个高度因而由要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度因而由ii1010具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则通过这个问题，让学生了解这个知过程的一般性原则通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想的思想【设计说明】我们采用【设计说明】我们采用 n n 个偏差的平方和个偏差的平方和Q Q=(y bx a)(y bx a)(y bx a)表示表示 n n 个点与相应直线个点与相应直线在整体上的接近程度：记在整体上的接近程度

18、：记 Q Q=(y bx a)通过化简，得通过化简，得2221122nnn2iii1到的其实是关于到的其实是关于 a a、b b 的二元二次函数求最值的问题，的二元二次函数求最值的问题，一一定存在这样的定存在这样的 a a、b b，使，使 Q Q 取到最小值取到最小值教师指出：教师指出：(1)(1)在此基础上，在此基础上，视视 Q Q 为为 b b 的二次函数时，的二次函数时，根据有关数学根据有关数学原理分析，原理分析，可求出使可求出使 Q Q 为最小值时的为最小值时的 b b 的值的线性回归的值的线性回归方程系数公式：方程系数公式：b(xi1nni x)(yi y)x yii1ni1ninx

19、 y2,(xi x)2i1xi2nxa y bx.这样，回归方程的斜率为这样，回归方程的斜率为b，截距为，截距为a，即回归方程为，即回归方程为y bx a(2)(2)(x,y)称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得本点的中心，所以可得a y bx最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法最小的方法叫做最小二乘法四、理解新知四、理解新知例例 1.1.进一步探究

20、引例年龄与体内脂肪含量进一步探究引例年龄与体内脂肪含量表一：表一：1111年年 2323 3939 4545 5050 5454 5757 6060龄龄脂脂 9.9.2121 2727 2828 3030 3030 3535肪肪5 5.2.2.5.5.2.2.2.2.8.8.2.2表二：表二：年年 2323 2727 3939 4141 4545 4949 5050 5353 5454 5656 5757 5858 6060 6161龄龄脂脂 9.9.1717 2121 2525 2727 2626 2828 2929 3030 3131 3030 3333 3535 3434肪肪5 5.8.

21、8.2.2.9.9.5.5.3.3.2.2.6.6.2.2.4.4.8.8.5.5.2.2.6.6(1 1)根据表一数据，根据表一数据，需要计算哪些新数据，需要计算哪些新数据，才能求出线性才能求出线性回归方程系数？回归方程系数？【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂，通过分解【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解同时，通过例题，反计算，可加深对公式结构的理解同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性【设计说明】【设计说明】可让学生观察公式，可让学生观察公式，充分讨论，充分讨论，通过计算：通过计算：

22、x y、n、x、y、x y、x六个数据带入回归方程公式得六个数据带入回归方程公式得nn2iiiiii1i1到线性回归方程，到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法体会求线性回归方程的原理与方法 而而后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成，得出回归直线方程为：共同完成，得出回归直线方程为：y 0.6541x4.5659(2 2)利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程中两变量的回归方程【设计意图】让学生独立体验运用计算器求回归直线方【设计意图】让学生独立体验运

23、用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握利用计程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握利用计算器求回归直线的操作方法得出回归直线方程为：算器求回归直线的操作方法得出回归直线方程为：1212【设计说明】学生独立运用计算器求回归直线方程，对【设计说明】学生独立运用计算器求回归直线方程，对于不会操作的学生，教师给予必要的指导继续思考下于不会操作的学生，教师给予必要的指导继续思考下列问题：列问题：问题问题 1.1.请同学们从表格中选取年龄请同学们从表格中选取年龄 x x 的一个值代入上述的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关回归直线的方程，看看得出的数

24、据与真实数值之间的关系如：系如：x x=50=50 时，得出估计值为时，得出估计值为 28.377228.3772，而实际值为，而实际值为28.228.2，有偏差为什么？，有偏差为什么？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确用，明确y只是只是y的一个估计值，将的一个估计值，将 x x 值带入后肯定有误值带入后肯定有误差差问题问题 2.2.试预测某人试预测某人 3737 岁时，岁时，他体内的脂肪含量，他体内的脂肪含量，并说明并说明结果的含义结果的含义【设计意图】进一步理解线性回归方程的真正意义与作【设计意图】进一步理解线性回归方程

25、的真正意义与作用用【设计说明】【设计说明】学生代入计算得学生代入计算得 20.88320.883 教师进一步提问：教师进一步提问：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.883%20.883%？学生思考回答：不能，只能说他体内的脂肪？学生思考回答：不能，只能说他体内的脂肪含量在含量在 20.90%20.90%附近的可能性比较大附近的可能性比较大问题问题 3.3.同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？系？【

26、设计意图】明确样本的选择影响回归直线方程，体现【设计意图】明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想同时，明确其揭示的是相关关系而非统计的随机思想同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念心概念y 0.5765x 0.44781313【设计说明】教师说明回归直线方程由数据唯一决定，【设计说明】教师说明回归直线方程由数据唯一决定，提供的数据不同，回归直线方程当然不同，同时回归直提供的数据不同，回归直线方

27、程当然不同，同时回归直线方程又能反映数据的本质线方程又能反映数据的本质理解回归系数公式理解回归系数公式思考思考 1.1.线性回归方程线性回归方程y bx a为何不记为为何不记为y bx a？你能说？你能说明对于确定的明对于确定的x，根据，根据y bx a计算出的计算出的y的意义吗？的意义吗？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确用，明确y只是只是y的一个估计值的一个估计值【设计说明】学生思考，教师帮助学生理解线性回归方【设计说明】学生思考，教师帮助学生理解线性回归方程的意义与作用程的意义与作用思考思考 2.2.这个公式不要求记忆

28、，但要会运用这个公式进行这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求运算，那么，要求b,a的值，你会按怎样的顺序求呢？的值，你会按怎样的顺序求呢？【设计意图】公式不要求推导，又不要求记忆，学生对【设计意图】公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解性的层次上对公式有所了解【设计说明】由于这个公式比较复杂，因此在运用这个【设计说明】由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求公式求b,a时，必须要有条理，先求什么，再求什么比时，必须要有条理，先求什么，再求什么比如，我们可

29、以按照如，我们可以按照x y、n、x、y、x y、x顺序来求，顺序来求，nn2iiiiii1i1再代入公式再代入公式五、运用新知五、运用新知例例 2.2.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：与当天气温的对比表：1 1、画出散点图；、画出散点图；2 2、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；规律；3 3、求回归方程；、求回归方程；14144 4、如果某天的气温是如果某天的

30、气温是 2 2 摄氏度，摄氏度，图 3-1预测这天卖出的热饮杯预测这天卖出的热饮杯（1 1数。数。）散）散点图点图摄氏温度摄氏温度 热饮杯数热饮杯数200-5-51561560 01501501504 4132132100热饮杯数7 712812812121301305015151161161919104104023238989-20020402727939331317676363654541515（2 2）2 2、从图、从图 3-13-1 看到，各点散布在从左上角到由下角看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负

31、相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。（3 3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式的附近，因此利用公式 1 1 求出回归方程的系数。求出回归方程的系数。Y=-2.352x+147.767 Y=-2.352x+147.767（4 4）当）当 x=2x=2 时，时，Y=143.063Y=143.063因此，某天的气温为因此，某天的气温为 2 2摄氏度时，这天大约可以卖出摄氏度时，这天大约可以卖出 143143 杯热饮。杯热饮。【设计意图】通过此题，让学生完整经历求回归直线过【设计意图】通过此

32、题，让学生完整经历求回归直线过程其中第程其中第 4 4 问，让学生体会到即使是相比下“最优”问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免而在预测无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值，加深学生对值的计算中，体现了回归直线的应用价值，加深学生对回归方程的理解，体验数学在实际生活中的应用回归方程的理解，体验数学在实际生活中的应用【设计说明】本题不能用计算器运算，以考查学生的【设计说明】本题不能用计算器运算，以考查学生的运算能力；运

33、算能力；本题让学生自学，爬黑板板书过程，教师进一步规范本题让学生自学，爬黑板板书过程，教师进一步规范学生的解题步骤；学生的解题步骤；结合这两个例题让学生总结求回归直线方程的步骤结合这两个例题让学生总结求回归直线方程的步骤拓展：拓展：通过对以上两个案例的分析，思考：事件、样本数据、通过对以上两个案例的分析，思考：事件、样本数据、回归直线方程三者关系回归直线方程三者关系1.1.数据采样本身就具有随机性，同样数据采样本身就具有随机性，同样2323 岁的人，岁的人，脂肪含脂肪含量可能量可能 9.5%9.5%，也有可能，也有可能 30%30%，这种误差我们称之为随，这种误差我们称之为随1616机误差，随

34、机误差是不可避免的机误差，随机误差是不可避免的2.2.回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系确定的关系3.3.在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理因此，事件、样本数据、回归直线方程三者具有如下的因此，

35、事件、样本数据、回归直线方程三者具有如下的关系：关系：事事选选 取取抽抽样样 本本六、课堂小结六、课堂小结预预决决统统 计计 意意 义义回回归归直直教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：学思想方法？学生作答：1.1.知识：知识：(1)(1)求回归直线方程的方法求回归直线方程的方法(2)(2)求回归直线方程的步骤：求回归直线方程的步骤：先判断变量是否线性相关；先判断变量是否线性相关；若线性相关，若线性相关，可按下面的步骤求回归直线方可按下面的步骤求回归直线方程；程；第一步，计算平均数第一步，计算平均数x、y；第二步，

36、求和第二步，求和x y、x；nn2iiii1i1第三步，计算第三步，计算b(xi1nni x)(yi y)ix yii1nninxynx2；1717(xi1 x)2xi12i第四步，写出回归直线方程为第四步，写出回归直线方程为y bx a利用回归方程对生活实际问题进行分析与利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测预测(3)(3)回归直线方程的作用及意义回归直线方程的作用及意义2.2.思想：数形结合、归纳、类比、最小二乘法和回归分思想：数形结合、归纳、类比、最小二乘法和回归分析的思想析的思想教师总结教师总结:提醒学生：提醒学生：在学习新知时，在学习新知时，也要经常复习前面也要经常复习前面学过的内

37、容，学过的内容，“温故而知新”“温故而知新”在应用中增强对知识的理在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用【设计意图】培养学生自主梳理知识能力，加强对学生【设计意图】培养学生自主梳理知识能力，加强对学生学习方法的指导学习方法的指导七、布置作业七、布置作业1 1书面作业书面作业1.1.有有 5 5 个学生的数学和物理成绩（单位：分）如下表：个学生的数学和物理成绩（单位：分）如下表：数数80807575707065656060学学

38、物物70706666686864646262理理(1)(1)画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程；求出回归方程；(2)(2)关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？2.2.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量中记录的产量 x x（吨）与相应的生产能耗（吨）与相应的生产能耗 y y（吨标准煤）（吨标准煤）的几组对照数据：的几组对照数据：x x3 34 45 56 6y y2.52.5 3 34 44.54.5(1)(1

39、)画出上表数据的散点图；画出上表数据的散点图；1818(2)(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；(3)(3)已知该厂技改前已知该厂技改前 100100 吨甲产品的生产能耗为吨甲产品的生产能耗为 9090 吨标吨标准煤试根据准煤试根据(2)(2)求出的线性回归方程，预测生产求出的线性回归方程，预测生产100100 吨吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【设计意图】通过作业的解决，让学生巩固熟悉回归方【设计意图】通过作业的解决，让学生巩固熟悉回归方程求解的过程，并体会运用回归方程进行预测

40、程求解的过程，并体会运用回归方程进行预测2 2课外思考课外思考利用最小二乘法求出回归直线的方程后，可以对上面两利用最小二乘法求出回归直线的方程后，可以对上面两个变量的关系进行分析与预测个变量的关系进行分析与预测思考：是不是所有的相关关系都可以求出回归直线的方思考：是不是所有的相关关系都可以求出回归直线的方程？请大家观察这两幅图：程？请大家观察这两幅图：O OO O图图图图【设计说明】第一个是线性相关，可以求回归方程，后【设计说明】第一个是线性相关，可以求回归方程，后一个是非线性相关，直线不能很好地反映图中两个变量一个是非线性相关，直线不能很好地反映图中两个变量之间的关系显然求回归直线的方程是没

41、有意义的有之间的关系显然求回归直线的方程是没有意义的有些变量线性相关，有些非线性相关，怎样衡量变量的线些变量线性相关，有些非线性相关，怎样衡量变量的线性相关程度呢？带着这个问题让学生课后阅读第性相关程度呢？带着这个问题让学生课后阅读第 9292 页页1919的内容的内容【设计意图】【设计意图】设计书面作业必做题，设计书面作业必做题，是引导学生先复习，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯书面作业的布置，再作业，培养学生良好的学习习惯书面作业的布置，是为了让学生进一步掌握求回归直线方程的步骤；课外是为了让学生进一步掌握求回归直线方程的步骤；课外思考的安排，是让学生在应用知识的同时开阔了

42、学生视思考的安排，是让学生在应用知识的同时开阔了学生视野，将课堂内涵延伸到课外野，将课堂内涵延伸到课外八、教后反思八、教后反思1.1.本教案的亮点是整个教学设计过程采用研究性学习方本教案的亮点是整个教学设计过程采用研究性学习方法，由学生自己去探究，去解决问题不是生硬的抛出，法，由学生自己去探究，去解决问题不是生硬的抛出，而是水到渠成例题也是变讲为练，都是学生在独立或而是水到渠成例题也是变讲为练，都是学生在独立或小组讨论中解决的，小组讨论中解决的，很好的调动学生的积极性与主动性，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力提高了学生的解题能力2.2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教

43、案时灵活由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在求回归直线方程的步骤上下足功夫掌握，但必须在求回归直线方程的步骤上下足功夫3.3.本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，感觉一节课下来比较紧，学充分暴露学生的思维过程，感觉一节课下来比较紧，学生理解不透彻，尤其是学生对回归直线的找法还存在一生理解不透彻，尤其是学生对回归直线的找法还存在一定的困难定的困难2020九、板书设计九、板书设计2.3.22.3.2 回归直线及其方程回归直线及其方程一、知识点一、知识点1.1.回归直线的定义：如果散点回归直线的定

44、义：如果散点图中的点的分布，图中的点的分布，从整体上看从整体上看大致在一条直线附近，大致在一条直线附近，则称这则称这两个变量之间具有线性相关两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直关系，这条直线叫做回归直线线注意：注意：概念的前提是点的分布概念的前提是点的分布在一条直线附近在一条直线附近2.2.最小二乘法：这种通过上式最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的的最小值而得到回归直线的方法，方法，即使得样本数据的点到即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法小的方法叫做最小二乘法3.3.回归方程：回归方程：y bx a，回归方程的斜率

45、，回归方程的斜率为为b，截距为，截距为a其中回归方程系数公式：其中回归方程系数公式：nniiiii1n2i1n22(2 2)利用计算器，根据表利用计算器，根据表二，二，请同学们独立解决求请同学们独立解决求出表中两变量的回归方出表中两变量的回归方程程分析：分析：通过计算：通过计算：x y、n、x、y、x y、x六个数六个数iinn2iiii1i1据带入回归方程公式得据带入回归方程公式得到线性回归方程，到线性回归方程，体会求体会求线性回归方程的原理与线性回归方程的原理与方法方法思考：思考：问题问题 1.1.请同学们从表格请同学们从表格中选取年龄中选取年龄 x x 的一个值的一个值代入上述回归直线的

46、方代入上述回归直线的方程，程，看看得出的数据与真看看得出的数据与真实数值之间的关系如：实数值之间的关系如：x x=50=50 时，得出估计值为时，得出估计值为(x x)(y y)x y nx y28.377228.3772，而实际值为，而实际值为b,28.228.2，有偏差为什么？，有偏差为什么？(x x)xnxa y bx.问题问题 2.2.试预测某人试预测某人 3737 岁岁说明：说明：(1)(1)y只是只是y的一个估计的一个估计时，他体内的脂肪含量，时，他体内的脂肪含量，值；值；(2)(2)这个公式不要求记忆，但这个公式不要求记忆，但并说明结果的含义并说明结果的含义要会运用这个公式进行运

47、算，要会运用这个公式进行运算，问题问题 3.3.同样问题背景，同样问题背景，为为iii1i12121运算顺序可以按照运算顺序可以按照x y、n、x、什么回归直线不止一什么回归直线不止一变变y、x y、x顺序来求，再代顺序来求，再代 条？回归方程求出后，条？回归方程求出后，量间的相关关系是否就量间的相关关系是否就入公式入公式(3)(3)回归直线一定过样本点的回归直线一定过样本点的转变成确定关系？转变成确定关系？中心中心(x,y)例例 2.2.（自学：自学：学生黑板上学生黑板上4.4.求回归直线方程的步骤：求回归直线方程的步骤：板书过程，板书过程，教师规范解题教师规范解题先判断变量是否线性相关；先

48、判断变量是否线性相关；步骤）步骤）若线性相关，若线性相关，可按下面的步可按下面的步骤求回归直线方程；骤求回归直线方程；第一步，计算平均数第一步，计算平均数x、y；三、课堂小结：三、课堂小结：第二步，求和第二步，求和x y、x；iinn2iiii1i1nn2iiii1i1第第b 三三(xi1nni步步n，x yii1ni计计2 x)(yi y)inxynx；算算四、作业：四、作业：(xi1 x)2xi12i第四步，第四步，写出回归直线方程为写出回归直线方程为y bx a利用回归方程对生活实际利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测问题进行分析与预测二、应用二、应用例例 1.1.进一步探究引例年龄进一步探究引例年龄与体内脂肪含量与体内脂肪含量表一：略表一：略表二：略表二：略(1 1)根据表一数据，需要计算根据表一数据，需要计算哪些新数据，哪些新数据，才能求出线性回才能求出线性回归方程系数？归方程系数？22222323