2023年美国数学竞赛国家队选拔考试试题.docx

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1、美国数学竞赛国家队选拔考试1、 在周长为2022的圆上等距离地分布着2022个点，将它们按某种顺序标记为A1，A2，A2022。初始时，一只兔子在点A1处，它沿着圆从点A1跳到点A2，接着从点A2跳到点A3，直到跳到点A2022，再跳回到点A1。当从点P跳到点Q时，兔子总是沿着圆上两段弧PQ中较短的一段；如果PQ是圆的直径，则兔子可以沿着任意一个半圆。对于所有标记2022个点的方式，求兔子跳过的2022段弧的长度之和的最大值。2、 如图，在锐角ABC中，M是BC的中点，BE，CF是高。设K是BME，CMF外接圆两条外公切线的交点。若K在ABC的外接圆上，求证：AKBC。3、 设函数f，g：NN

2、，满足：(1) f(0)f(1)f(300) 0;(2) f(0) + f(1)+ f(300) 300;（3） 对任意20个非负整数n1，n2，n20，不一定不同，都有g(n1+n2+n20)f(n1)+f(n2)+f(n20)。求g（0）+g（1）+g(6000）的最大可能值。4、 对非负整数a，b，定义位异或运算ab，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k,a2k+b2k-ab2k都是偶数.例如910=1001210102=00112=3.求所有的正整数a，使得对任意整数xy0，xaxyay5、 给定正整数m，n，甲乙两人在无穷大的方格表中玩游戏甲先秘密地在每个格中写上一个实数，使得每个mn和nm矩形中所写数之和为0。乙每次询问甲一个格中所写的数，甲如实回答，如果某一时刻乙能确定每个格中所写的数，则乙获胜；否则甲获胜。求使乙能获胜的最少的询问次数，或证明有限次询问不能使乙获胜。6、 设函数f：N+N+，对任意m,nN+，定义(m,n)=已知对任意不同的m，nN，均有(m，n)0。求证：无界，即对任意常数C，存在m，nN+，满足|(m,n)|C.学科网（北京）股份有限公司