(新课标)2020版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第3讲分类讨论思想、转化与化归思想学案文.pdf

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1、第 3 讲 分类讨论思想、转化与化归思想 一 分类讨论思想 分类讨论的原则 分类讨论的常见类型 1.不重不漏 2标准要统一，层次要分明 3能不分类的要尽量避免,决不无原则的讨论 1。由数学概念而引起的分类讨论 2由数学运算要求而引起的分类讨论 3由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 4由图形的不确定性而引起的分类讨论 5由参数的变化而引起的分类讨论 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 典型例题 （1）若函数f(x)ax(a0，a1）在1，2上的最大值为 4,最小值为m，且函数g（

2、x）（14m）错误!在0，)上是增函数,则a_(2）在等比数列an中，已知a3错误!，S3错误!，则a1 _【解析】(1)若a1，有a24，a1m。解得a2，m12。此时g（x）错误!为减函数，不合题意 若 0a1,有a14，a2m,故a错误!，m错误!,检验知符合题意（2)当q1 时，a1a2a3错误!，S33a1错误!，显然成立 当q1 时，由a332，S392，所以错误!由错误!，得错误!3，即 2q2q10,所以q错误!或q1(舍去)当q错误!时，a1错误!6，综上可知，a1错误!或a16.【答案】（1）错误!(2)错误!或 6 错误!（1)指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此

3、，当底数a的大小不确定时,应分0a1，a1 两种情况讨论（2）利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q1 和q1 两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n项和公式决定的 对点训练 1已知函数f（x)错误!若f（1）f(a）2，则a的所有可能取值为_ 解析：f（1）e01,即f(1）1。由f（1)f（a)2，得f（a)1.当a0 时,f(a）1ea1,所以a1。当1a0 时，f（a)sin(a2)1，所以a22k错误!(kZ）所以a22k错误!(kZ）,k只能取 0，此时a2错误!.因为1a0，所以a错误!。故a1 或22.答案:1 或错误!2若函数f（x）ln（ax2x)在区间

4、（0，1）内单调递增，则实数a的取值范围为_ 解析：若函数f(x）ln（ax2x）在区间(0,1）内单调递增，即函数g（x)ax2x在（0，1）内单调递增，当a0 时，g(x）x在(0,1)内单调递增，符合题意，当a0 时，g（x)的对称轴x错误!0,g(x)在(0，1）内单调递增,符合题意，当a0 时，需满足g（x）的对称轴x错误!1，解得错误!a0,综上，a错误!。答案:错误!由图形位置或形状引起的分类讨论 典型例题 设A、B是椭圆C:错误!错误!1 长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是(）A（0，19，）B（0，错误!9,）C（0,14，)D（0,错误!4，）【

5、解析】依题意得，错误!或 错误!，所以错误!或错误!，解得 0m1 或m9。故选 A。【答案】A 错误!根据图形位置或形状分类讨论的关键点（1）确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定 (2）分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类（3)得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理 对点训练 已知变量x,y满足的不等式组错误!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k(）A12 B.错误!C0 D错误!或 0 解析：选 D.不等式组错误!，表示的可行域如图(阴影部分）所示 由图可知,若要使不等式组错误!表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kxy10与直线x0 或y2

6、x垂直时才满足 结合图形可知斜率k的值为 0 或错误!.因参数变化而引起的分类讨论 典型例题 （2019广东深圳第二次调研）已知函数f(x）aex2x1,其中常数 e2。718 28是自然对数的底数 讨论函数f（x）的单调性【解】由题意知，f(x）aex2.当a0 时，f(x）0,函数f(x）在 R 上单调递增；当a0 时，由f(x）0，解得xln错误!，由f（x)ln错误!.故f(x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减 综上所述，当a0 时，f(x)在 R 上单调递增；当a0 时，f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减 错误!若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果

7、的影响进行分类讨论,此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏本例研究函数性质对参数a进行分类讨论,分为a0 或a0。对点训练 已知函数f（x）mx2xln x,若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数,则实数m的取值范围为_ 解析：f(x)2mx11x错误!，即 2mx2x10，故需且只需0，即18m0,故 0m1,都有f（xt)3ex，试求m的最大值【解】因为当t1，)，且x1，m时,xt0，所以f（xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数t1

8、，），使得不等式t1ln xx，对任意x1，m恒成立 令h（x)1ln xx(1xm)因为h(x)1x10，所以函数h（x)在1，)内为减函数 又x1,m，所以h(x)minh(m）1ln mm,所以要使得对任意x1，mt值恒存在，只需 1ln mm1。因为h(3）ln 32ln错误!ln 错误!1，h(4)ln 43ln错误!ln 错误!1，且函数h(x）在1，)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为 3.错误!函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助(2）解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化

9、与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域）问题,从而求出参变量的范围 对点训练 若方程 2x3xk的解在1,2)内，则k的取值范围为_ 解析：令函数f(x)2x3xk,则f（x)在 R 上是增函数 当方程 2x3xk的解在（1，2）内时，f（1）f（2)3，即 0 x8，故实数x的取值范围是错误!（8，）(2)由题意得g(x)3x2(m4)x2，若g（x）在区间（t，3)上总为单调函数，则g（x）0 在（t，3）上恒成立，或g（x）0 在（t，3)上恒成立 由得 3x2(m4）x20，即m4错误!3x.当x（t，3）时恒成立，所以m4错误!3t恒成立，则m41，即m5；由得m

10、42x3x，当x（t，3）时恒成立,则m4错误!9，即m错误!.所以使函数g(x）在区间（t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为错误!。【答案】(1）错误!（8,)（2）错误!错误!(1)正与反的转化要点 正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中(2）主与次的转化要点 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数)，将其看作是“主元,而把其他变元看作是常量,从而达到减少变元简化运算的目的通常给出哪个“元”的取值

11、范围就将哪个“元视为“主元 对点训练 由命题“存在x0R，使 ex01|m0”是假命题，得m的取值范围是（，a)，则实数a的取值是()A（,1)B（，2)C1 D2 解析:选 C.由命题“存在x0R,使 ex01m0”是假命题，可知它的否定形式“任意xR，使 e|x1|m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而（，a）与（,1)为同一区间，故a1.一、选择题 1已知函数f(x）x2(a1）xab，若不等式f(x)0 的解集为x|1x4,则a2b的值为（）A2 B3 C3 D2 解析：选 A。依题意，1,4 为方程x2(a1）xab0 的两根,所以错误!解得错误!所以a2b的值为2，故选 A

12、。2在等差数列an中，a2，a2 018是函数f(x)x36x24x1 的两个不同的极值点，则log错误!a1 010的值为()A3 B13 C3 D.错误!解析:选 B.f(x)3x212x4，因为a2，a2 018是函数f（x)x36x24x1 的两个不同的极值点，所以a2，a2 018是方程3x212x40 的两个不等实数根，所以a2a2 0184.又因为数列an为等差数列,所以a2a2 0182a1 010，即a1 0102，从而 log错误!a1 010log错误!2错误!。3过抛物线yax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则错误!错

13、误!等于()A2a B.错误!C4a D。错误!解析：选 C。抛物线yax2（a0)的标准方程为x2错误!y(a0)，焦点F错误!.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PFQF|12a，所以错误!错误!4a.4已知函数f（x）x24x2 的定义域为1，t,f(x）的最大值与最小值之和为3,则实数t的取值范围是（)A（1，3 B2,3 C（1，2 D（2，3)解析：选 B.f(x）x24x2 的图象开口向上，对称轴为x2,f(1)1，f（2)2，当 1t2 时，f（x)maxf(1)1，f(x)minf（2)2,则f(x)maxf(x)min3,不符合题意；当t2 时,f（x)minf(2）2,则f（

14、x）max3f(2）1，令f(x）1，则x24x21，解得x1 或x3,所以 2t3，故选 B。5在钝角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b,c，若a4,b3，则c的取值范围是()A（1，7）(5,7）B(1，错误!)C(5,7)D（5，)解析：选 A.三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得 1c7，若C为钝角，则 cos C错误!错误!0,解得c5，若A为钝角,则 cos A错误!错误!0,解得 0c错误!，结合可得c的取值范围是（1,错误!)(5,7)6若不等式x2ax10 对一切x2,2恒成立，则a的取值范围为()A(，2 B2,2 C（0，2 D2，）解析：选

15、B。因为x2，2，当x0 时，原式为 02a010 恒成立，此时aR；当x（0，2时，原不等式可化为a错误!，而错误!错误!2,当且仅当x1 时等号成立，所以a的取值范围是（，2；当x2，0）时，可得a错误!,令f(x）错误!x错误!，由函数的单调性可知，f（x）maxf（1)2，所以a2，)综上可知，a的取值范围是2,2 二、填空题 7已知正数x，y满足x22xy30,则 2xy的最小值是_ 解析:由题意得，y错误!，所以 2xy2x错误!错误!错误!错误!3，当且仅当xy1 时,等号成立故所求最小值为 3。答案：3 8设F1，F2为椭圆错误!错误!1 的两个焦点，P为椭圆上一点已知P,F1

16、，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2，则|PF1|PF2的值为_ 解析：若PF2F190。则|PF1|2PF2|2F1F22，又因为PF1|PF26，F1F22错误!，解得PF1错误!，PF2错误!，所以|PF1PF2错误!.若F1PF290，则F1F22|PF12PF22，所以PF1|2(6|PF1|）220，所以PF14,PF2|2,所以错误!2.综上可知，错误!错误!或 2.答案：72或 2 9已知函数f（x）x33ax1，g（x）f(x）ax5，其中f(x）是f(x)的导函数对任意a1，1，都有g(x）0,则实数x的取值范围为_ 解析：由题意,知g(x)3x2ax3a5

17、，令（a）（3x）a3x25，1a1.由题意得错误!即错误!解得错误!x1.故x的取值范围为错误!。答案:错误!三、解答题 10（2019长春市质量监测（二)已知函数f（x）(a1)ln x错误!x(aR)（1）当a2 时,求曲线yf(x)在点（2,f（2）处的切线方程;（2)若函数f（x）在1，3上的最大值为2，求实数a的值 解：(1)a2 时，f（x)ln x错误!x，f(x)错误!错误!1，f(2）ln 23，f(2)0，所以曲线在点(2，f(2）)处的切线方程为yln 23。(2）f（x）错误!错误!1错误!(1x3）,当a1 时,f(x）0，f（x）在1，3上单调递减，所以f(1)2

18、,a1；当a3 时，f(x）0，f（x）在1，3上单调递增，所以f（3）2，a错误!3，舍去;当 1a3 时，f(x）在（1，a)上单调递增,在（a，3）上单调递减，所以f(a)2，ae。综上，a1 或ae。11（2019唐山市摸底考试)设f（x)2xln x1.（1）求f(x)的最小值；（2）证明：f(x）x2x错误!2ln x。解：(1）f（x)2(ln x1）所以当x错误!时,f（x)0，f(x)单调递减;当x错误!时，f(x）0,f(x）单调递增 所以当x错误!时，f(x）取得最小值f错误!1错误!.（2)证明：x2x错误!2ln xf(x)x(x1)错误!2(1x)ln x(x1）错

19、误!,令g（x)x错误!2ln x,则g(x）1错误!错误!错误!0，所以g（x）在(0，）上单调递增，又g(1）0,所以当 00,所以（x1)错误!0，即f（x）x2x错误!2ln x.12（2019重庆市学业质量调研）已知离心率为错误!的椭圆错误!错误!1（ab0)的左、右顶点分别为A1，A2,上顶点为B，且错误!错误!1.(1)求椭圆的标准方程;(2）过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于M，N两点，且直线l与x轴不垂直，若D为x轴上一点，|错误!|错误!|，求错误!的值 解:（1）A1,A2，B的坐标分别为（a，0)，(a，0），(0，b)，错误!错误!(a，b）(a，b)b2a21,所以c

20、21.又e错误!错误!,所以a24，b23.所以椭圆的标准方程为错误!错误!1。（2)由（1)知F(1，0），设M(x1,y1）,N(x2，y2),因为直线l与x轴不垂直，所以可设其方程为yk（x1）当k0 时,易得|MN|4,DF|1，错误!4.当k0 时，联立得错误!得(34k2)x28k2x4k2120,所以x1x28k234k2，x1x2错误!,所以MN错误!错误!|x1x2|错误!错误!错误!。又y1y2k(x1x22)错误!，所以MN的中点坐标为错误!.所以MN的垂直平分线方程为y错误!错误!错误!(k0），令y0 得，错误!x错误!0,解得x错误!.DF|k234k21 错误!,

21、所以错误!4.综上所述，错误!4.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.