(新课标)2020版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第2讲函数与方程思想、数形结合思想学案文.pdf

《(新课标)2020版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第2讲函数与方程思想、数形结合思想学案文.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(新课标)2020版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第2讲函数与方程思想、数形结合思想学案文.pdf（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 2 讲 函数与方程思想、数形结合思想 一 函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程,通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系 构建“函数关系”解决问题 典型例题 已知数列an是各项均为正数的等差数列若a12,且a2，a3，a41 成等比数列(1）求数列an的通项公式an；（2）

2、设数列an的前n项和为Sn，bn1Sn1错误!错误!，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值【解】(1）因为a12，a错误!a2(a41），又因为an是正项等差数列，所以公差d0，所以(22d）2（2d)(33d），解得d2 或d1（舍去)，所以数列an的通项公式an2n.（2)由（1)知Snn(n1),则错误!错误!错误!错误!。所以bn错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!,令f(x)2x错误!（x1)，则f(x)2错误!0 恒成立，所以f（x）在1，)上是增函数，所以当x1 时，f(x)minf（1）3，即当n1 时，(bn)max错误!，要使对任意

3、的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k（bn)max错误!,所以实数k的最小值为错误!。错误!数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地发现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题,不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平 对点训练 1对于满足 0p4 的所有实数p,使不等式x2px4xp3 成立的x的取值范围是_ 解析：设f(p)（x1）px24x3，则当x1 时，f(p）0。所以x1.f（p)在 0p4 时恒为正，等价于错误!即错误!解得x

4、3 或x1.故x的取值范围为(，1）（3，)答案：(，1)（3，)2(2018高考北京卷）若ABC的面积为错误!(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；错误!的取值范围是_ 解析:ABC的面积S12acsin B错误!（a2c2b2)错误!2accos B,所以 tan B错误!,因为 0B180，所以B60.因为C为钝角，所以 0A30，所以0tan A错误!，所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!2,故错误!的取值范围为（2,)答案:60(2，)3已知a，b，c为空间中的三个向量,又a，b是两个相互垂直的单位向量,向量c满足|c3，ca2，cb1，则对于任意实数x,y，cxayb的最小值为

5、_ 解析：由题意可知a|b|1，ab0，又c3,ca2，cb1，所以|cxayb2|c|2x2|a|2y2b|22xca2ycb2xyab 9x2y24x2y（x2）2(y1)24，当且仅当x2，y1 时，(cxayb2）min4,所以cxayb的最小值为 2.答案：2 组建“方程形式”解决问题 典型例题 (一题多解）已知 sin()错误!，sin（)错误!，求错误!的值【解】法一：由已知条件及正弦的和（差）角公式，得 错误!所以 sin cos 错误!，cos sin 错误!。从而tan tan 错误!错误!。法二：令x错误!.因为错误!错误!，且错误!错误!错误!错误!错误!。所以得到方程

6、错误!错误!,解这个方程得错误!x错误!。错误!运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于 sin cos 与 cos sin 错误!的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值 对点训练 1设非零向量a，b，c满足abc0，a2，b,c120，则b的最大值为_ 解析：因为abc0，所以a(bc)，所以|a|2b|22b|ccos 120c2,即c|2bc|b240，所以|b|24(|b|24)0，解得 0b错误!，即b的最大值为错误!.答案：错误!2（2018高考全国卷)已知点M(1,1）和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_ 解析：由题意知抛物

7、线的焦点为(1，0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1）（k0），由错误!消去y得k2（x1)24x，即k2x2(2k24）xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2),则x1x2错误!,x1x21.由错误!消去x得y24错误!，即y2错误!y40，则y1y2错误!，y1y24，由AMB90,得错误!错误!（x11,y11）（x21，y21）x1x2x1x21y1y2（y1y2）10，将x1x22k24k2，x1x21 与y1y24k，y1y24 代入，得k2.答案：2 二 数形结合思想 以形助数(数题形解）以数辅形（形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为

8、形，即以形作为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 巧用数形结合思想解决问题 典型例题 已知函数g(x）ax22x，f（x)错误!且函数yf（x)x恰有 3 个不同的零点，则实数a的取值范围是_【解析】f(x)错误!yf(x）x恰有 3 个不同的零点等价于yf(x)与yx有三个不同的交点，试想将曲线f(x)上下平移使之与yx有三个交点

9、是何等的复杂，故可变形再结合图象求解 由f（x）x错误!可得f（x)xa错误!所以yf（x)x有三个零点等价于 a错误!有三个根令h（x)错误!画出yh(x)的图象如图所示,将水平直线ya从上向下平移,当a0 时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a1 时,有三个交点,再向下就只有两个交点了，因此a1,0)【答案】1，0)错误!利用数形结合探究方程解的问题应注意两点(1）讨论方程的解(或函数的零点）一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解（2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则

10、,不要刻意去用数形结合 对点训练 1若存在实数a，对任意的x0，m，都有(sin xa）(cos xa)0 恒成立,则实数m的最大值为(）A。错误!B。错误!C.错误!D。错误!解析：选 C。在同一坐标系中，作出ysin x和ycos x的图象，当m错误!时，要使不等式恒成立，只有a错误!,当m错误!时，在x0,m上，必须要求ysin x和ycos x的图象不在ya错误!的同一侧，所以m的最大值是错误!.2已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac）（bc)0,则|c|的最大值是_ 解析：因为（ac）（bc）0，所以（ac）（bc)如图所示 设错误!c，错误!a,错误!b,错

11、误!ac,错误!bc，即错误!错误!，又错误!错误!所以O，A，C，B四点共圆 当且仅当OC为圆的直径时，c|最大，且最大值为错误!.答案:错误!一、选择题 1已知向量a(，1）,b（2，1),若|ab|ab|，则实数的值为（）A1 B2 C1 D2 解析：选 A.法一:由abab，可得a2b22aba2b22ab，所以ab0,故ab（，1）(2，1）2210，解得1.法二：ab(22，2），ab(2,0）由|abab|，可得（22)244，解得1。2(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40,a55，则（)Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSn错误!n22

12、n 解析：选 A.法一：设等差数列an的公差为d,因为错误!所以错误!解得错误!所以ana1（n1)d32(n1）2n5,Snna1错误!dn24n.故选 A。法二：设等差数列an的公差为d，因为错误!所以错误!解得错误!选项 A，a12153；选项 B，a131107，排除 B；选项 C,S1286，排除 C；选项 D，S1错误!2错误!，排除 D.故选 A.3已知函数f（x）错误!且关于x的方程f（x)xa0 有且只有一个实根，则实数a的取值范围为(）A(1,)B（1，3）C（，1)D（2，4)解析:选 A。画出f(x)图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f（x)的图象与直线yxa

13、的图象只有一个交点，首先让直线过(0，1）(这是我们所说的初始位置,因为当直线向下平移时你会发现有两个交点），由图可知，只有向上平移才能满足f(x）图象与直线yxa只有一个交点，所以a的取值范围是（1，）4（2018高考全国卷)设F1，F2是双曲线C：错误!错误!1(a0,b0）的左,右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若PF1 6|OP,则C的离心率为(）A.5 B2 C。错误!D.错误!解析：选 C.不妨设一条渐近线的方程为y错误!x，则F2到y错误!x的距离d错误!b,在 RtF2PO中，F2 O|c,所以POa，所以|PF1|错误!a,又|F1O|c，所以在F1

14、PO与 RtF2PO中，根据余弦定理得 cosPOF1错误!cosPOF2错误!，即 3a2c2(错误!a）20，得 3a2c2,所以e错误!错误!.5已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为()A3错误!B.错误!C2错误!D2错误!解析：选 D。设正六棱柱的底面边长为a，高为h,则可得a2错误!9,即a29错误!，那么正六棱柱的体积V错误!h错误!错误!h错误!错误!,令y错误!9h,则y错误!9，令y0，解得h2 3，易知当h2错误!时，y取最大值,即正六棱柱的体积最大 6设函数f（x)在 R 上存在导函数f（x)，对于任意的实数x，

15、都有f（x)f（x）2x2，当x0 时，f(x)12x,若f(a1）f(a)2a1，则实数a的最小值为(）A错误!B1 C错误!D2 解析：选 A。设g(x)f(x）x2，则g（x）g（x）0,所以g（x）为 R 上的奇函数 当x0 时，g(x)f（x）2x0，Sn是数列an的前n项和,则Sn取得最大值时n_ 解析：设等差数列an的公差为d，因为 3a47a7，所以 3（a13d)7（a16d），所以4a133d.因为a10，所以d0），由题意,得错误!解得错误!所以ana1qn13n，(2)由（1）得bnlog332n12n1，又bn1bn2，所以数列bn是首项b11、公差为 2 的等差数列

16、,所以其前n项和Sn错误!错误!n2.所以cn14n21错误!错误!错误!,所以Tn错误!错误!错误!错误!错误!错误!。11已知函数f（x)ex2x2a，xR,aR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证:当aln 21 且x0 时，exx22ax1。解：（1)由f(x)ex2x2a,知f（x）ex2.令f(x)0，得xln 2.令xln 2 时，f（x）0，故函数f（x)在区间（ln 2，)上单调递增 所以f（x）的单调递减区间是（，ln 2)，单调递增区间是(ln 2,)，f（x）在xln 2 处取得极小值f（ln 2）eln 22ln 22a22ln 22a。（2）证明：设g(x

17、）exx22ax1（x0)，则g（x）ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a。又aln 21，则g（x）min0。于是对xR,都有g（x)0，所以g(x)在 R 上单调递增 于是对x0,都有g(x）g(0)0.即 exx22ax10，故 exx22ax1。12已知椭圆C的离心率为错误!,过上顶点（0，1)和左焦点的直线的倾斜角为错误!，直线l过点E(1，0）且与椭圆C交于A，B两点(1）求椭圆C的标准方程;（2)AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有,请说明理由 解：(1）因为e错误!错误!,错误!错误!，b1，所以a2，故椭圆C的标准方程为错误!y

18、21。（2)因为直线l过点E(1,0)，所以可设直线l的方程为xmy1 或y0(舍去）联立错误!消去x并整理,得(m24)y22my30，（2m)212（m24)0.设A（x1，y1），B(x2，y2），其中y1y2，则y1y2错误!，y1y2错误!，所以y2y1错误!，所以SAOB错误!OE|y2y1错误!错误!。设t错误!,则g（t)t错误!，t错误!，所以g（t)1错误!0，所以g(t）在区间错误!,）上为增函数,所以g（t）错误!，所以SAOB错误!,当且仅当m0 时等号成立 所以AOB的面积存在最大值，最大值为错误!.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之

19、前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.