2022-2023学年广东省佛山市高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页 2022-2023 学年广东省佛山市高二上学期期末数学试题 一、单选题 1如图，直线l的倾斜角为（）A4 B3 C34 D56【答案】C【分析】根据倾斜角的定义分析运算.【详解】由题意可知：直线l的倾斜角为4的补角，即为34.故选：C.2已知向量4,2,3a，1,5,bx，满足ab，则x的值为（）A2 B-2 C143 D143【答案】A【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.【详解】ab，4,2,3a，1,5,bx 4 12530 x ，解得2x 故选：A.3已知圆的一条直径的端点分别为12,5P，24,3P，则此圆的标准方程是（）A22348xy B22348

2、xy C22342xy D22342xy【答案】D【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.第 2 页 共 17 页【详解】由题意可知，圆心为线段12PP的中点，则圆心为3,4C，圆的半径为22123542CP，故所求圆的方程为22342xy.故选：D.4已知向量1,0,3a，1,2,0b，则b在a上的投影向量是（）A1 2,05 5 B13,0,55 C13,0,44 D1 1,04 2【答案】C【分析】根据投影向量的概念结合空间向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得：2221 1 0 2301,1032a ba ，故b在a上的投影向量为113,0,444a b aaaa.故

3、选：C.5一个袋子中装有形状大小完全相同的 6 个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出 2 个球.若取出的 2 个球都是红球的概率为13，则n的值为（）A4 B5 C12 D15【答案】A【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出n的值【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有 6 个红球，n个绿球，从袋中不放回地依次随机取出 2 个球，取出的 2 个球都是红球的概率是13，则6 51653nn，解得4n，负值舍去，故选：A 6已知直线1:210lxay 与2:3110laxay 平行，则实数a的值为（）A16 B12 C0或16 D12或1【答案】C【分析】利

4、用两直线平行可得出关于实数a的等式与不等式，解之即可.第 3 页 共 17 页【详解】由已知可得231311aaaa ，解得0a 或16.故选：C.7过点2,1M作斜率为 1 的直线，交双曲线222210,0yxabab于 A，B两点，点 M为 AB的中点，则该双曲线的离心率为（）A62 B3 C22 D2【答案】B【分析】设点 1122,A x yB x y，代入双曲线方程后做差，整理，可得,a b关系，再利用222cab消去b即可求得离心率.【详解】设点 1122,A x yB x y，则有22112222222211yxabyxab，两式做差后整理得2121221212yyyyaxxxx

5、b，由已知121212121,4,2yyxxyyxx，2224ab，又222cab，22212aca，得3ca 故选：B 8 在两条异面直线a，b上分别取点1A，E 和点 A，F，使1AAa，且1AAb.已知12AE，3AF，5EF，16AA，则两条异面直线a，b所成的角为（）A6 B3 C23 D56【答案】B【分析】设两条异面直线a，b所成的角为02，将等式11EFEAA AAF两边同时平方计算可得答案【详解】如图，设两条异面直线a，b所成的角为02，第 4 页 共 17 页 1AAa，1AAb，12AE，3AF，5EF，16AA，11EFEAA AAF，则2222211111111()2

6、22EFEAA AAFEAA AAFEA A AEA AFA A AF 222252(6)322 3cos，得1cos2或1cos2（舍去）3 故选：B 二、多选题 9 对于一个古典概型的样本空间和事件 A，B，其中 18n ，9n A，6n B，12n AB则（）A事件 A与事件 B 互斥 B23P AB C事件 A与事件B相互独立 D 16P AB 【答案】BC【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得：11,23P AP Bn An Bnn，则 213P BP B，n ABn An Bn AB，30n ABn ABn An B，即事件 A 与事件 B不

7、互斥，A 错误；可得：12n ABnn An AB，故 1215,1,16336n ABn ABP ABP ABP ABP ABP ABP ABnn ，第 5 页 共 17 页 可知 B 正确，D 错误；又 P ABP A P B，事件 A 与事件B相互独立，C 正确；故选：BC.10已知曲线C的方程为221259xykk，则C可能是（）A半径为17的圆 B焦点在x上的椭圆，且长轴长为25k C等轴双曲线 D焦点在y上的双曲线，且焦距为2 216k 【答案】AD【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围，再结合各曲线的几何性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于 A 选项，若曲线C为圆，

8、则259250kkk，解得8k，此时，曲线C的方程为2217xy，该圆的半径为17，A 对；对于 B 选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则25990kkk，解得98k，此时，椭圆C的长轴长为2 25k，B 错；对于 C 选项，若曲线C为等轴双曲线，则2590kk，无解，C 错；对于 D 选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则90250kk，解得25k，此时，双曲线C的焦距为2 9252 216kkk，D 对.故选：AD.11已知抛物线C：24yx的焦点为 F，过 F 的直线与 C 交于 A、B 两点，且 A在 x 轴上方，过 A、B 分别作C的准线l的垂线，垂足分别为A、B，则（）AO

9、AOB B若5AF，则 A 的纵坐标为 4 C若2AFFB，则直线 AB的斜率为2 2 第 6 页 共 17 页 D以A B 为直径的圆与直线 AB 相切于 F【答案】BCD【分析】设直线 AB为1xmy及交点坐标，利用韦达定理可得12124,4yym y y，对 A：结合向量垂直的坐标表示分析判断；对 B：根据抛物线的定义运算求解；对称：结合向量的坐标运算求解；对 D：根据直线与圆的位置关系分析判断.【详解】由题意可得：抛物线C：24yx的焦点1,0F，准线:1l x ，设直线 AB为22121121,0,44yyxmyAyyBy，则121,1,AyBy，联立方程214xmyyx，消去 y可

10、得：2440ymy,则2121216160,4,4myym y y ，对 A：221212,44yyOAyOBy，212123016y yOA OBy y ，,OA OB不相互垂直，A 错误；对 B：21154yAF ，则14y 或24y （舍去），A的纵坐标为 4，B 正确；对 C：2212121,1,44yyyFFByA，且2AFFB，122yy，则121212244yyyymy y，解得122 2224yym 或122 2224yym （舍去），故直线 AB的斜率12 2km，C 正确；对 D：221212124,4412yym A Byyyym，A B 的中点1,2Mm到直线 AB的距

11、离2212112121mdmA Bm ，又22144212MFmmA B，故以A B 为直径的圆与直线 AB相切于 F，D 正确；第 7 页 共 17 页 故选：BCD.12如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，O 为面11A ABB的中心，E、F分别为 BC和11DC的中点，则（）A1B D 平面1AEF B平面1ACD与平面1AEF相交 C点 到直线1AE的距离为26 D点 O 到平面1AEF的距离为24【答案】BC【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：111111 11,0,0,0,1,0,0,0,

12、0,1,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,0,1222 2ACDEFOABD，设平面1AEF的法向量为,nx y z，由11111,0,1,122AFAE ，则11102102n AFxyn AExyz ，令2x，则4,3yz，则2,4,3n，设平面1ACD的法向量为,ma b c，由11,1,0,0,1,1ACCD，则100m ACabm CDbc ，令1a，则1bc，则1,1,1m，对 A：11,1,1DB，则243111，即1DB与n不共线，1B D不与平面1AEF垂直，A 错误；对 B：243111，则m与n不共线，平面1ACD与平面1AEF相交，B 正确；第 8 页 共 1

13、7 页 对 C：1110,22AO，则1111112 2cos,03AO AEAO AEAO AE，即11,AO AE为锐角，211111sin,1 cos,3AO AEAO AE，故点到直线1AE的距离为1112sin,6AOAO AE，C 正确；对 D：点 O 到平面1AEF的距离为12958AO nn，D 错误.故选：BC.三、填空题 13 从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为_.【答案】34#0.75【分析】利用古典模型概率即可求解.【详解】由题可得，取出的三条线段长度的可能性有：4,6,84,6,104,8,106,8,10，其 中能构成

14、三角形的有 4,6,84,8,106,8,10，这三条线段能构成一个三角形的概率为34，故答案为:34.14如图，在空间平移ABC到ABC ，连接对应顶点.设AAa，ABb，ACc，M为AC 中点，则用基底,a b c表示向量BM _.第 9 页 共 17 页 【答案】12abc【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：1122BMBAAAA MABAAACabc.故答案为：12abc.15 已知F是双曲线C：222103xyaa的右焦点，是C的左支上一动点，0,2 3A，若APF周长的最小值为 10，则C的渐近线方程为_.【答案】3yx 【分析】设出(,0)Fc，运用双曲线的定

15、义可得2PFPFa，则APF的周长为2|212PAPFAFPAPFac，运用三点共线取得最小值，可得,a b c的关系，进而可得渐近线方程【详解】由题意可得0,2 3,0AF c，设(,0)Fc，由双曲线的定义可得2PFPFa，2PFaPF，2|12AFc，则APF的周长为 22|212|212PAPFAFPAPFacAFac,当且仅当,A P F共线时，取得最小值，且为222 12ac，由题意可得222 1210ac，即222 12310aa 解得1a，则渐近线方程为3byxxa 故答案为：3yx.第 10 页 共 17 页 16圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭

16、圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F，与影片门1F应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆C：22143xy，椭圆的左右焦点分别为1F，2F，一束光线从2F发出，射向椭圆位于第一象限上的点后反射光线经过点1F，且124tan3FPF，则12FPF的角平分线所在直线方程为_.【答案】4210 xy 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出12cosFPF，再在12FPF中利用余弦定理及椭圆的定义求出12,PF PF，进而得到12FF P为直角三角形，利用12FF P中角的关系可求出2

17、tanPQF，再通过1Px 求出P点坐标，则直线方程可求.【详解】如图，设12FPF的角平分线与x轴交于点Q，2212121212112sin4tan,sincos1,0,cos3FPFFPFFPFFPFFPFFPF，1235cosFPF，设12,PFm PFn，第 11 页 共 17 页 则2221223cos254mnFPFmnmn，解得5232mn 2221221254PFPFF F，即12FF P为直角三角形 又212123cos2cos125FPFFPF，122cos25FPF，121sin25FPF 2221coscossin25PQFQPFQPF，2cos0,PQF 22 5si

18、n5PQF，222sintan2cosPQFPQFPQF 当1x 时，21143y，得32y ，31,2P，3:212PQlyx，即4210 xy 故答案为：4210 xy 四、解答题 17ABC的三个顶点分别为1,2A，3,0B，4,5C，M 是 AB 的中点.(1)求边 AB 上的中线 CM所在直线的方程；(2)求BCM的面积.【答案】(1)230 xy(2)3 【分析】（1）根据中点坐标公式结合直线的两点式方程运算求解；（2）根据点到直线距离公式和两点距离公式运算求解.【详解】（1）由题意可知：AB 的中点 M为2,1，则边 AB 上的中线 CM 所在直线的方程为125 142yx，即2

19、30 xy.第 12 页 共 17 页（2）由（1）可得：22425 12 5CM，且点3,0B到直线 CM的距离 226033 5521d，故BCM的面积113 52 53225SCMd.18每年的 11 月 9 日是我国的全国消防日.119 为我国规定的统一火灾报警电话，但 119 台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在 11 月 9 日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答

20、一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为23，乙每轮答对的概率为p，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对 3题的概率为512.(1)求p的值；(2)求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对 4 题的概率.【答案】(1)34(2)3196 【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式列方程求解；（2）分甲有两题没有答对，乙有两题没有答对，甲乙各有一题没有答对三种情况，利用相互独立事件的概率以及独立重复事件的概率的乘法公式求出概率.【详解】（1）设事件A“甲第一轮猜对”，事件B“乙第一轮猜对”，事件 C“甲第二轮猜对”，事件D“乙第二轮猜对，甲、乙两人在两轮竞答活

21、动中答对 3 题的概率为()P ABCDABCDABCDABCD()()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P DP A P B P C P DP A P B P C P DP A P B P C P D2533331212221pppp 解得34p 或54p（舍去）34p；（2）三轮竞答活动中甲乙一共答 6 题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对 4 题，即总共有 2 题没有第 13 页 共 17 页 答对，可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.甲、乙两人在三轮竞答活动中答对 4 题的概率 323222112233332

22、31321213131CC+CC344433334496P 19已知椭圆C：222210 xyabab，四点11,1P，20,3P，331,2P，431,2P中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)若斜率存在且不为 0 的直线l经过 C的右焦点 F，且与 C交于 A、B两点，设 A 关于 x轴的对称点为 D，证明：直线 BD过 x轴上的定点.【答案】(1)22143xy(2)证明见解析.【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.（2）设直线:1l xty，0t，1122,A x yB x y，则11,D xy，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理计算直线 BD

23、与 x轴的焦点坐标即可.【详解】（1）根据椭圆对称性，点331,2P，431,2P必在椭圆上，则11,1P 不在椭圆上，20,3P在椭圆上，2219143abb，解得23ab 所以C的方程为22143xy（2）由（1）得右焦点1,0F，设直线:1l xty，0t，1122,A x yB x y，则11,D xy 联立221431xyxty，消去x得2234690tyty，则12122269,3434tyyy ytt 又直线212221:yyBD yxxyxx，第 14 页 共 17 页 令0y 得 2212212122 1122212121yxxyxxyyxy xy xxxyyyyyy 又22

24、11221121221212129211234114634tytyy tyy xy xty yttyyyyyyt 即0y 时，4x，直线 BD 过 x轴上的定点4,0.20如图，在多面体 ABCDE 中，平面ABC平面 ACDE，四边形 ACDE 是等腰梯形，EDAC，ABAC，112AEEDDCAC (1)若1AB，求 BD与平面 ACDE 所成角的正弦值；(2)若平面 BDE 与平面 BCD 的夹角为4，求 AB 的长.【答案】(1)12(2)62 【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；（2）分别求平面 BDE、平面 BCD的法向量，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）由题意可知：

25、ABAC，平面ABC平面 ACDE，平面ABC平面ACDEAC，可得AB平面 ACDE，如图，以 A为坐标原点建立空间直角坐标系，则33132,0,0,0,0,2222CDE，且平面 ACDE 的一个法向量为0,1,0m，若1AB，则0,1,0B，可得33,1,22BD，第 15 页 共 17 页 1cos,2m BDm BDm BD，故 BD与平面 ACDE 所成角的正弦值为12.（2）设0,0Ba，平面BCD 的法向量1,nx y z，13,0,2,022CDCBa ，则111302220n CDxzn CBxay ，令3xa，则2 3,yza，取13,2 3,naa，设平面 BDE 的法

26、向量2000,nxyz，131,0,0,22DEBEa，则202000013022nDExnBExayz，令03y，则000,2xza，取20,3,2na，由题意可得：212122212262cos,cos42412 43n nan nn naa，解得62a 或62a （舍去），故 AB的长为62.【点睛】21党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄

27、的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米.第 16 页 共 17 页 (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程.(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门 并说明理由.【答案】(1)226100 04xyy(2)不能，理由见解析 【分析】（1）以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在y轴上，设圆心坐标为0,b，设圆的半径为r，将点B

28、、C的坐标代入圆的方程，求出b、r的值，结合图形可得出圆弧AB的方程；（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧AB的方程，可得出结论.【详解】（1）解：以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点0,4C、8,0B，由圆的对称性可知，圆心在y轴上，设圆心坐标为0,b，设圆的半径为r，则圆弧AB所在圆的方程为222xybr，因为点C、B在圆上，则222220480brbr，解得6b ，10r。所以，圆弧AB所在圆的方程为226100 xy，因此，圆弧AB的方程为226100 04xyy.（2）解：此火车不能通过该路口，由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，车

29、宽2米，车高3.6米，第 17 页 共 17 页 所以货车右侧的最高点的坐标为3,3.6，因为2233.66100，因此，该货车不能通过该路口.22已知过原点的动直线1l与圆C：228120 xyx相交于不同的两点 A，B.(1)求线段 AB的中点 M的轨迹的方程；(2)若直线2l：2ykx上存在点 P，使得以点 为圆心，2 为半径的圆与有公共点，求 k的取值范围.【答案】(1)2240 xyx(2)kR.【分析】（1）根据垂径定理确定ABCM即OMCM，利用向量的数量积运算即可求出轨迹方程；（2）将问题转化为圆心(2,0)到直线2ykx的距离小于等于 4，利用点到直线的距离公式求解.【详解】（1）由题可知1l的斜率存在，设直线1:lymx，设(,)M x y，圆C：228120 xyx即22(4)4xy，则圆心(4,0),2Cr，因为M为弦AB的中点，所以ABCM，即OMCM,所以(,)(4,)0OM CMx yxy，即2240 xyx，所以轨迹的方程为2240 xyx.（2）由（1）知22:24xy，因为直线2l：2ykx上存在点 P，使得以点 为圆心，2 为半径的圆与有公共点，所以只需要保证圆心(2,0)到直线2ykx的距离小于等于 4，即22241kdk即23230kk恒成立，所以kR.