2022-2023学年广东省东莞市东莞中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、 1 2022-2023 学年度第一学期教学质量检查 高二数学 一单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1.已知空间直角坐标系Oxyz中，点1,3,2P关于坐标原点的对称点为1P，则1PP（）A.14 B.2 14 C.14 D.56【答案】B【解析】【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得1P，结合空间中两点间距离公式可求得结果.【详解】点1,3,2P关于坐标原点的对称点为11,3,2P ，22212642 14PP.故选：B.2.已知过1,4AaBa两点的直线与

2、直线2yx平行，则a（）A.7 B.3 C.2 D.2【答案】D【解析】【分析】由题知421ABaka，再解方程即可得答案.【详解】解：因为过1,4AaBa两点的直线与直线2yx平行，所以直线AB的斜率为421ABaka，解得2a，故选：D 3.已知等差数列 na，其前n项和是nS，若525S，则24aa（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】由已知可得1510aa，根据等差数列的性质即可得出结果.2【详解】由已知可得，1555252aaS，所以1510aa.又1524aaaa，所以2410aa.故选：C.4.已知抛物线24xy的焦点为F，点P在抛物线上，若2PF，则点

3、P的坐标为（）A.2,1 B.2,1或2,1 C.2,1 D.2,1或2,1【答案】B【解析】【分析】由题知0,1F，2p，设00,P x y，进而根据焦半径公式得01y，再代入24xy求解即可得答案【详解】解：由题知0,1F，2p，设00,P x y，因为点P在抛物线上，所以由焦半径公式得00122pPFyy，解得01y 所以20044xy，解得02x ，所以，点P的坐标为2,1或2,1 故选：B 5.古希腊数学家阿波罗尼斯在著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面直径均为 6，母线长均为 5，过圆锥轴的平

4、面与两个圆锥侧面的交线为,AC BD，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于,AC BD，则双曲线的离心率为（）3 A.54 B.32 C.53 D.65【答案】A【解析】【分析】以矩形ABCD中心为原点，圆锥的轴为 x 轴建立平面直角坐标系，由题得34ba，从而可得到本题答案.【详解】以矩形ABCD的中心为原点，圆锥的轴为 x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221xyab，由题，得5,3OAAM，则223534,tan4OMAOM，即34ba，.由34ba，得离心率222229511164cabbeaaa.故选：A.6

5、.已知圆22:(2)(2)8Cxy，点P为直线:40l xy上一个动点，过点P作圆C的切线，切点为A，则切线长PA的最小值为（）A.4 2 B.26 C.2 3 D.2 2【答案】B【解析】【分析】由已知写出圆心坐标、半径，由228PAPC知，PC最小时，PA最小，即CPl时，有最小值.求出圆心到直线的距离即为PC的最小值，进而求出结果.【详解】由已知可得，2,2C，半径2 2r，所以2 2ACr.又ACAP，则在PAC中有222PAACPC，即22228PAPCACPC.4 所以，当PC最小时，PA最小.因为，当CPl时，PC最小，此时2244 22PC，此时224PA，所以PA最小为26.

6、故选：B.7.如图，在棱长为 6 的正四面体ABCD中，点M在线段AB上，且满足2AMMB，点N在线段CD上，且满足2CNND，则MN（）A.2 5 B.21 C.26 D.3 2【答案】A【解析】【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为2AMMB，2CNND，所以1222()3333MNMBBCCNABACABCDACABADAC，即122333MNACABAD，2222122144448333999999MNACABADACABADAC ABAC ADAB AD 因为ABCD是棱长为 6 的正四面体，所以2221444141816666 6

7、6 66 6=2 5999929292MN ，故选：A 8.已 知na是 不 大 于n最 大 正 整 数，其 中*nN 若22nnba，则12320bbbb（）A.200 B.210 C.400 D.420 5【答案】B【解析】【分析】根据222221nnnn得22nnnba，进而得数列 nb为等差数列，再根据等差数列的求和公式求解即可.【详解】解：因为na是不大于n的最大正整数，其中*nN若22nnba，因为222221nnnn对任意的*nN恒成立，所以221nnn对任意的*nN恒成立，所以22nnnba，所以111nnbbnn，即数列 nb为等差数列，公差、首项均为1，所以，1201232

8、0201202021022bbbbbb.故选：B 二多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 9.如图，在正方体1111ABCDABC D中，,E F分别是1,AA BC的中点，,G H分别在线段111,CC AD上，且满足12CGGC，112AHHD，设1AAa，ABb，ADc，则下列结论正确的是（）A.1122EFabc B.1136GHabc C.13FHabc D.16EGabc【答案】AD【解析】【分析】根据正方体的性质以

9、及已知，用基向量表示出各个选项中的向量，即可得出正确选 6 项.【详解】由已知可得，112233CGCCAA，1111133GCCCAA，1112233AHADAD，1111133HDADAD.对于 A，111112222EFEAABBFAAABADabc ，故 A 项正确；对于 B，1111111113333GHGCC DD HAAABADabc，故 B错误；对于 C，111121236FHFBBAAAAHADABAAADabc，故 C项错误；对于 D，11121236EGEAABBCCGAAABADAAabc，故 D项正确.故选：AD.10.已 知 na是 公 差 为d的 等 差 数 列，

10、其 前n项 和 是nS，若20212022202220232024,SSSSS，则下列结论正确的是（）A.0d B.20240a C.40450S D.20162030SS【答案】BC【解析】【分析】由题知02022022232400,0,aaa，再根据等差数列的性质，前n项和公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为20212022202220232024,SSSSS 所以20222021202320222023202420222302202400,0,SSSSaSaSa，所以202420230daa，故 A错误；B 正确；14045404520234045404502aaSa，故 C正

11、确；因为203020162017201820292030SSaaaa 201720302018202920232024aaaaaa202320242024770aaa，所以20302016SS，故 D错误.故选：BC 7 11.如图，由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，半圆的圆心是坐标原点，直径与椭圆的短轴重合，半圆所在的圆过椭圆的焦点0,1F，且与y轴非正半轴交于点G若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列结论正确的是（）A.AB的长度的最大值是12 B.AFG的周长为22 2 C.ABF的面积的最小值是 1 D.90AGB【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的条件，求出椭圆

12、的短半轴长，半焦距；求出OA长度范围；利用椭圆的定义求出焦点三角形周长等即可分别判断求解.【详解】由题意可知：半圆所在椭圆的半焦距1c，短半轴长1b，得出长半轴长2a，则椭圆的长轴长为22 2a 对于A，由椭圆性质可知12OA，1OB，因此2,12ABOAOB，AB的长度的最大值是12,故A正确；对于B，由椭圆定义知，因点,F G是椭圆的两个焦点，则AFG的周长为：2222 2FGAFAGa，所以AFG的周长22 2，故B正确；对于C,设AB所在直线方程为ykx，联立2212ykxyx可得222Axk，联立221ykxxy可得211Bxk，则2211121|22221ABFAOFOBFABSS

13、SOFxOFxkk，8 显然当20k 时，函数222121kyk是减函数，所以当0k 时，ABFS有最大值 1，故C错误.对于D,当AB所在直线方程0k 时,AB为圆的直径,则90AGB;当AB所直线方程0k 时,如图,连接,AG BG OG,在AGB中，因为OBOG,所以OBGOGB,因为OAOG,所以OGAOAG,所以OGBOGAOAGOBG 所以BGAOAGOBG 即得180BGAOAGOBGBGA,所以90BGA 综上,90BGA,故D正确;故选：ABD 12.已知O为坐标原点，过抛物线2:4C yx焦点F的直线与C交于,A B两点，其中点 A在第一象限，点3,0M若AFAM，则（）A

14、.直线AB的斜率为2 2 B.52AB C.AFMBFO D.四边形OAMB的面积为9 2【答案】AC【解析】【分析】求得直线AB的斜率判断选项 A；求得线段AB的长度判断选项 B；利用相似三角形判定定理判断选项 C；求得四边形OAMB的面积判断选项 D.【详解】抛物线2:4C yx焦点(1,0)F，3,0M，AFAM，则点 A在线段 FM 的垂直平分线上，则点 A 横坐标为 2，又 A 在第一象限，9 代入抛物线方程可得点 A纵坐标为2 2，则2,2 2A，则直线AB的斜率2 202 22 1ABAFkk.则选项 A 判断正确；直线AB的方程为2 2(1)yx，与抛物线方程联立 22 2(1

15、)4yxyx，解之得22 2xy或122xy 即2,2 2A，1,22B，则221922 2222AB.则选项 B判断错误；2 202 2,2 223OBAMkk ，则/AMOB，则AFMBFO.则选项 C判断正确；四边形OAMB的面积等于 1193 2 2322222OAMOBMSS .则选项 D 判断错误.故选：AC【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。三填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分请把答案

16、填在答题卡的相应位置上 13.经过直线240 xy与直线310 xy 的交点且在y轴上截距为 6 的直线方是_ 10【答案】460 xy【解析】【分析】联立两直线解出交点坐标，根据直线过两点1,2、0,6，求出直线斜率，写出直线的斜截式方程即可.【详解】联立直线240 xy与直线310 xy 的方程240310 xyxy，解得12xy，即交点坐标为1,2.由直线在y轴上截距为 6，即直线过点0,6，斜率2641 0k，所以直线的方程为46yx，化为一般式方程可得460 xy.故答案为：460 xy.14.已知 na是公比为q的等比数列，若11,22aq，则2221210aaa_ 【答案】102

17、34【解析】【分析】由定义判断 2na是首项为1,4公比2为的等比数列，用公式法求和即可.【详解】由题意 1122nna，则 2121112224nnna，故 2na是首项为1,4公比为2的等比数列，故10222121011 2102341 24aaa，故答案为：10234.15.已知线段AB的端点B的坐标是2,1，端点A在圆22(2)(3)16xy上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是_【答案】2224xy【解析】【分析】设00,A x y，,M x y，根据中点坐标公式可得002221xxyy，代入圆的方程，11 整理即可得到M的轨迹方程.【详解】设00,A x y，,M x y，则由已知

18、可得2200(2)(3)16xy.又M是线段AB的中点，所以有002212xxyy，所以002221xxyy，所以有22(222)(21 3)16xy，整理可得2224xy.所以M的轨迹方程是2224xy.故答案为：2224xy.16.如图，曲线20yx y上的点1,2,iP in与x轴的正半轴上的点1,2,iQ in及原点O构成一系列等腰直角三角形11OPQ，122Q PQ，1nnnQPQ，且901,2,iPin，记点nQ的横坐标为na，则1a _；通项公式na _ 【答案】.2；.2nn.【解析】【分析】设各个直角三角形斜边长分别为ib1,2,in，则 nb前n项和为na，,iiiP x

19、y.由题意可得出11112xyb，结合题意得12b，则12a；当2i 时，可得iP坐标，代入曲线方程，即可得到211142iiiabb，又2111142iiiabb，两式作差整理可得12iibb，进而得到2nbn，即可求出na.【详解】设各个直角三角形斜边长分别为ib1,2,in，则 nb前n项和为na.设,iiiP x y，1,20,iiny，则2iiyx1,2,in.则11112xyb，解得111xy，12b.当2i 时，112iiixab，12iiyb，12 由2iiyx可得，211142iiibab，所以211142iiiabb，又2111142iiiabb，两式作差可得，221111

20、1114422iiiiiiaabbbb1111142iiiiiibbbbbb，又1iiibaa，所以1111142iiiiiiibbbbbbb，整理可得12iibb.所以 nb是以 2 为首项，2为公差的等差数列，所以1212nbbnn，所以2123222nnnnabbbbnn.故答案为：2；2nn.四解答题：本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，1819202122 题各 12 分，共70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效 17.已知递增等比数列 na的前n项和为nS，且满足2134aa a，314S （1）求数

21、列 na的通项公式；（2）求数列23nna的前n项和为nT【答案】（1）2nna （2）121 22nnTn【解析】【分析】（1）利用等比数列下标和性质可求得2a，代入314S 中可构造方程求得满足题意的公比q，由等比数列通项公式可得结果；（2）由（1）可得2323 2nnnan，采用错位相减法可求得nT.【小问 1 详解】设等比数列 na的公比为q，221324aa aa，20a，24a，312344414Saaaqq，22520qq，解得：12q 或2q，13 na为递增等比数列，2q，2224 22nnnnaa q.小问 2 详解】由（1）得：2323 2nnnan，12315 27 2

22、9 221 223 2nnnTnn ，234125 27 29 221 223 2nnnTnn ，31341112 1 210222232102321 2nnnnnTnn1111023 22 28221 2nnnnn ，121 22nnTn.18.如图，在直三棱柱111ABCABC中，12,ABBCACBBD E分别为1,AB CC的中点 （1）判断直线DE与平面11AB C的位置关系，并说明理由；（2）求点B到平面11AB C的距离【答案】（1）平行，证明见解析；（2）2 217【解析】【分析】(1)作1BB中点F,证明平面11AB C平面DEF进而得线面平行；(2)等体积法，1111CAB

23、BBAB CVV即可求点B到平面11AB C的距离.【小问 1 详解】如图，作1BB中点F，并连接,DF DC FE,14 ,D E分别为1,AB CC的中点,DF1AB,1AB 平面11AB C，DF 平面11AB C,DF平面11AB C,又在直三棱柱111ABCABC中，EF11BC,11BC 平面11AB C，EF 平面DEF EF平面11AB C,且DFEFF,EF 平面DEF，DF 平面DEF，故平面11AB C平面DEF，而DE平面DEF，故DE平面11AB C.【小问 2 详解】12,ABBCACBB则底面为等边三角形，且D为AB的中点，3CD,在直三棱柱111ABCABC中，

24、112 2ABAC,112BCBC，且1CC平面1ABB,1BB 平面ABC,故111111112 32 233323CABBCABBBABCABCVVVSBB ,又11111112 333CABBBAB CAB CBVVSh,112 2ABAC,1 12B C，则11ABC中11BC边上高7h，故2 31127332Bh，故2 217Bh，15 点B到平面11AB C的距离为2 217.19.已知圆22:2210Mxyxy 经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点和上顶点（1）求椭圆C的方程；（2）直线:l yxm与椭圆C交于,A B两点，若4 23AB，求m的值【答案】（1）221

25、2xy（2）1m 【解析】【分析】（1）分别求解圆M与x轴，y轴交点，进而得1,1cb，22a，即可得答案；（2）根据题意，联立方程2212yxmxy，设 1122,A x yB x y，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可.【小问 1 详解】解：对于圆22:2210Mxyxy,令0 x 得2210yy，解得1y，即与y轴的交点为0,1，令0y 得2210 xx，解得=1x，即与x轴的交点为1,0 因为圆M经过椭圆C的左焦点和上顶点，椭圆C的焦点在x轴上，所以1,0为椭圆的左焦点，0,1为椭圆的上顶点，所以1,1cb，2222abc，所以椭圆C的方程为2212xy【小问 2 详解】解：因为直线:

26、l yxm与椭圆C交于,A B两点，所以联立方程2212yxmxy得2234220 xmxm，所以，2221612 228240mmm ，解得33m，16 设 1122,A x yB x y，则21212422,33mmxxx x，因为4 23AB，所以2222121224 2162142824883933mABkxxxmxm，整理得21m，解得1m ，满足33m，所以，1m .20.已知数列 na中，12a，112nnaa（1）证明数列11na是等差数列，并求通项公式na；（2）若对任意*nN，都有22221232nnaaaak成立，求k的取值范围【答案】（1）11nan；（2）94k.【解

27、析】【分析】（1）根据已知可推出111111nnaa，又1111a，即可得到11nna，进而求出通项公式；（2）经化简可得，212nnk.令212nnnb，根据11rrrrbbbb求出2r 时，nb最大，即可得出k的取值范围【小问 1 详解】证明：由已知可得1na，11111111121nnnnaaaa111111nnnnnaaaaa，又12a，所以1111a，所以数列11na是以 1 为首项，1为公差的等差数列.17 所以11111nnna ，所以11nan，所以11nan.【小问 2 详解】由（1）知，111nnann.所以1233412123nna a aann，所以222221231n

28、aaaan.则由22221232nnaaaak可得，212nnk对任意*nN，都成立.令212nnnb，假设数列 nb中第r*rN项最大，当2r 时则，有11rrrrbbbb，即2212211221222rrrrrrrr，整理可得222102rrr，解得221r，所以221r.因为*rN，所以2r，2222 1924b.又12b，所以数列 nb中第 2 项最大，即21924nnnb对任意*nN，都成立.所以由212nnk对任意*nN，都成立，可得94k.21.图 1是一个边长为2 2的正方形,ABCD O为正方形ABCD的中心 把三角形ACD沿AC翻折，使得二面角DACB为60（如图 2），,

29、E F分别是,AD BC的中点 （1）求翻折后EOF的余弦值；（2）在线段BD上是否存在一点P，使得平面EOF与平面APC的夹角为60，若存在，请说出点P的位置；若不存在，请说明理由 18【答案】（1）14（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）连接,OD OB，根据二面角的定义得60DOB，进而得2BD，再分别在BCD，AFD，OEF中结合余弦定理求解即可；（2）以,OB OC方向为,x y轴的正方向，建立空间直角坐标系，进而利用坐标法求解即可判断；【小问 1 详解】解：在图 1 中，连接,OD OB，因为O为正方形ABCD的中心，所以,ODAC OBAC，所以，在图 2中，连接,O

30、D OB，,ODAC OBAC依然成立，所以，DOB是二面角DACB的平面角，即60DOB，因为2ODOB，所以2BD.因为,E F分别是,AD BC的中点，所以，在BCD中，2 2,2BCCDBD，2222cos24BCBDCDCBDBC BD，2222cos4DFBDBFBD BFCBD，即2DF，所以，在AFD中，2210AFABBF，2DF，2 2AD，2227 5cos220AFADDFFADAF AD，2222cos5EFAEAFAE AFFAD，即5EF，所以，在OEF中，2OEOF，5EF，2222251cos24222OEOFEFEOFOE OF 所以，翻折后EOF的余弦值为

31、14.19 小问 2 详解】解：根据题意，如图，以,OB OC方向为,x y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则130,2,0,2,0,0,0,2,0,1,0,3,1,1,1,0,0,0,022ABCDEFO，设平面EOF的一个法向量为111,xny z，13,1,1,1,022OEOF，所以00OE nOF n，即11111130220 xyzxy，令11x，则1,1,3n ，假设存在点P，满足平面EOF与平面APC的夹角为60，所以2,2,3,0,1APABBPABBD，0,4,0AC，设平面APC的一个法向量为222,mxyz，所以，00AP mAC m，即2222223040 xyzy，

32、令23x得3,0,2m，所以，2332 31cos,25444m nn mnm，整理得25570，解得525 14010，因为12516551651,01010，与 0,1矛盾，所以，不存在 0,1使得25570有解，20 所以，线段BD上是不存在一点P，使得平面EOF与平面APC的夹角为60.22.双曲线2222:1(0,0)xyEabab过点4,3，且离心率为52，过点4,0P的动直线l与双曲线E相交于,A B两点（1）求双曲线E的标准方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）22

33、14xy；（2）存在，(1,0)Q.【解析】【分析】（1）根据题意可得22163152abca，再结合222cab可求出22,a b，从而可求出双曲线方程；（2）假设存在符合题意的定点Q，当l垂直于x轴时，由题意可得Q在x轴上，当l为x轴时，可求得(1,0)Q，然后再证(1,0)Q对一般的直线l也符合题意，即证0QAQBkk，设l：1(4)()2yk xk，1122(,),(,)A x yB xy，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，然后求解即QAQBkk即可.21【小问 1 详解】因为双曲线2222:1(0,0)xyEabab过点4,3，且离心率为52，所以22163152a

34、bca，因为222cab，所以解得224,1ab，所以双曲线E的标准方程为2214xy；【小问 2 详解】假设存在符合题意的定点Q，当l垂直于x轴时，1QAPAQBPB，得QAQB，因为,A B关于x轴对称，所以Q在AB的垂直平分线上，即Q在x轴上，当l为x轴时，421423QAPAQBPB，设Q的坐标为(,0)Q t，则2123QAtQBt，2t，整理得2540tt，解得1t 或4t（舍去），所以Q的坐标为(1,0)Q，下证定点(1,0)Q对一般的直线l也符合题意，若要证QAPAQBPB，则要证QP是AQB的角平分线，即x轴是AQB的角平分线，即要证0QAQBkk，设l：1(4)()2yk

35、xk，1122(,),(,)A x yB xy，由2244(4)xyyk x，得2222(14)326440kxk xk，22222(32)4(14)(644)192160kkkk，则 2212122232644,4141kkxxx xkk，22 所以121211QAQByykkxx 122121(1)(1)(1)(1)y xyxxx 12211221()(1)(1)y xy xyyxx 12212125()8(1)(1)kx xk xxkxx 222221644322584141(1)(1)kkkkkkkxx 33322112881603280(41)(1)(1)kkkkkkxx，所以定点(1,0)Q对一般的直线l也符合题意，所以定点Q的坐标为(1,0)Q.【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是当l为x轴时，由QAPAQBPB可求得定点(1,0)Q，然后再证定点(1,0)Q对一般的直线l也符合题意即可，考查数学计算能力，属于较难题.