2022-2023学年广东省广州市天河中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 23 页 2022-2023 学年广东省广州市天河中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知A 3,5，1,7B，则直线AB的倾斜角大小是（）A45 B60 C120 D135【答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan1，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB的倾斜角为，则75tan11 3，因为0,，所以135.故选：D 2在空间直角坐标系Oxyz中，点(2 3 4)P,在平面xOy内射影的坐标为（）A(2 3 0),B(2 3 0),C(2,0,4)D(0 3 4),【答案】A【分析】根据射影的概念，由点(2 3 4)P,在平面xOy内射影的z轴方

2、向坐标变为0，其它方向坐标不变即可得解.【详解】点(2 3 4)P,在平面xOy内的射影，即向平面xOy作垂线，垂足为射影，故x轴和y轴方向的坐标不变，z轴方向坐标变为0，故射影的坐标(2 3 0),.故选：A 3圆221:140Cxyx与圆222:3425Cxy的位置关系为（）A内切 B相交 C外切 D相离【答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断两圆位置关系作答.【详解】依题意，圆221:(7)49Cxy的圆心1(7,0)C，半径17r，圆222:3425Cxy的圆心2(3,4)C，半径25r，则有2212|(73)(04)4 2C C，显然121212|rrC Crr，所以

3、圆1C与圆2C相交.故选：B 第 2 页 共 23 页 4椭圆22143xy与椭圆221343xymmm的（）A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【答案】D【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.【详解】解：椭圆22143xy的长轴长为 4，短轴长为2 3，离心率为43122，焦距为2 432；椭圆221343xymmm的长轴长为2 4m，短轴长为2 3m，离心率为 43144mmmm，焦距为 2432mm；故两个椭圆的焦距相等.故选：D.5意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这

4、就是著名的斐波那契数列，该数列的前 2022 项中有（）个奇数 A1012 B1346 C1348 D1350【答案】C【分析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前 2022 项中的奇数的个数.【详解】由已知可得1a为奇数，2a为奇数，3a为偶数，因为21nnnaaa，所以4a为奇数，5a为奇数，6a为偶数，所以31na为奇数，32na为奇数，33na为偶数，又2022=3674 故该数列的前 2022 项中共有 1348 个奇数，故选：C.6已知F是抛物线24xy的焦点，,M N是该抛物线上两点，6MFNF，则MN的中点到x轴的距离为（）A12 B1 C2 D3

5、【答案】C【分析】根据抛物线的几何性质求出 MN 中点的纵坐标即可.第 3 页 共 23 页【详解】抛物线24xy的焦点0,1F，准线方程为1y ，设点11,M x y，22,N xy，由抛物线的定义可得12121126MFNFyyyy ，即124yy，则MN中点的纵坐标为1222yy，即MN的中点到x 轴的距离为2，故选：C.7已知直线l：2110mxmym经过定点 P，直线l经过点 P，且l的方向向量3,2a，则直线l的方程为（）A2350 xy B2350 xy C3250 xy D3250 xy【答案】A【分析】直线l方程变为210 xymxy，可得定点P1,1.根据l的方向向量3,2

6、a，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】2110mxmym可变形为210 xymxy，解0210 xyxy 得11xy，即P点坐标为1,1.因为23,23 1,3a，所以直线l的斜率为23，又l过点P1,1，代入点斜式方程可得2113yx，整理可得2350 xy.故选：A.8某牧场 2022 年年初牛的存栏数为 500，预计以后每年存栏数的增长率为 20%，且在每年年底卖出 60 头牛.设牧场从 2022 年起每年年初的计划存栏数依次为1c，2c，3c，nc，其中*nN，则下列结论不正确的是（）（附：51.22.4883，61.22.9860，71.23.5822，101

7、.26.1917.）A2540c B1nc与nc的递推公式为11.260nncc C按照计划 2028 年年初存栏数首次突破 1000 D令1012310Scccc，则108192S（精确到 1）第 4 页 共 23 页【答案】C【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为20%”和“每年年底卖出 60 头”建立1nc与nc的关系，用待定系数法构造等比数列，求出nc通项公式即可求解.【详解】由题意得1500c，并且11.260nncc，故 B 正确；则211.2601.2 50060540cc，故 A 正确；设11.2nncxcx，则11.20.2nnccx，则 0.2x60，则 x300，1300

8、1.2300nncc，即数列300nc 是首项为1300200c，公比为 1.2 的等比数列，则1300200 1.2nnc，则1300200 1.2nnc，令1300200 1.21000nnc，则11.23.5n，61.22.9860，71.23.5832，n17，则 n8，故 2029 年年初存栏数首次突破 1000，故 C 错误；101010123101 1.2300 10200300010001.211 1.2Scccc 30001000(6.19171)8192，故 D 正确.故选：C.二、多选题 9已知圆22:121Mxy，则（）A圆M关于直线10 xy 对称 B圆M关于直线10

9、 xy 对称的圆为22321xy C直线l过点2,0且与圆M相切，则直线l的方程为3460 xy D若点,P a b在圆M上，则2232ab的最小值为 3【答案】ABD【分析】利用圆心在直线上判断 A；利用圆心关于直线对称判断 B；利用直线2x 也符合题意判断C；利用圆心到定点的距离减去半径判断 D.【详解】圆22:121Mxy的半径为 1，圆心为(1,2)M，(1,2)M在直线10 xy 上，所以圆M关于直线10 xy 对称，A 正确；第 5 页 共 23 页 因为22321xy的半径为 1，圆心为(3,2)N，所以MN的中点坐标为(1,0)E，(1,0)E 在直线10 xy 上，又因为22

10、11 3MNk，直线:10l xy 的斜率为1，所以MNl，所以MN，关于直线l对称，即两圆半径相等圆心关于直线:10l xy 对称，所以两圆关于直线:10l xy 对称，B 正确；因为直线2x 经过2,0，且其到圆心(1,2)M的距离等于半径 1，所以直线2x 也与圆M相切，故 C错误；2232ab表示,P a b到3,2F 的距离，因221 3224MF，所以2232ab的最小值为14 13MF ，D 正确.故选：ABD.10已知拋物线2:4C yx的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于1122,P x yQ x y两点，点P在l上的射影为1P，则下列说法正确的是（）A若125xx

11、，则7PQ B以PQ为直径的圆与准线l相切 C设0,1M，则12PMPP D过点0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条【答案】ABC【分析】根据焦点弦公式即可判断 A；求出线段PQ的中点坐标及圆的半径，从而可判断 B；根据抛物线的定义可得1PMPPPMPFMF，即可判断 C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断 D.【详解】解：由题意127PQxxp，故 A 正确；拋物线2:4C yx的准线:1l x ，122PxQx，则以PQ为直径的圆的半径1212xxr，线段PQ的中点坐标为1212,22xxyy，则线段PQ的中点到准线的距离为1212xxr，所以以

12、PQ为直径的圆与准线l相切，故 B 正确；第 6 页 共 23 页 拋物线2:4C yx的焦点为1,0F，12PMPPPMPFMF，当且仅当,M P F三点共线时，取等号，所以12PMPP，故 C 正确；对于 D，当直线斜率不存在时，直线方程为0 x，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为1ykx，联立214ykxyx，消x得2440kyy，当0k 时，方程得解为1y，此时直线与抛物线只有一个交点，当0k 时，则16 160k，解得1k，综上所述，过点0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有 3 条，故 D 错误.故选：ABC.11如图，已知棱长为 1 的正方体1111ABC

13、DABC D中，F为线段1BC的中点，E为线段11AC上的动点，则下列四个结论正确的是（）第 7 页 共 23 页 A点F到直线1AA的距离为52 B点E到直线BD距离的最小值为 1 C三棱锥1BACE的体积是定值13 D当E为11AC的中点时，EF与1AD所成的角等于60【答案】ABD【分析】对于 A，利用中位线定理证得四边形FGAH是平行四边形，结合线面垂直的性质推得1HFAA，再利用勾股定理求得HF即可判断；对于 B，当E为11AC的中点时，利用线面垂直的判定定理证得EO是异面直线11AC与BD的公垂线，从而得以判断；对于 C，利用线面平行的判定定理证得11/AC面1AB C，从而利用等

14、体积法求得三棱锥1BACE的体积，由此判断即可；对于 D，利用线线平行将EF与1AD所成的角转化为1A B与1BC所成的角，从而在等边11ABC求得其角为60，从而得以判断.【详解】对于 A，记1,BC AA的中点为,G H，连结,FG AG HF，如图 1，又因为F为线段1BC的中点，所以1/FGCC，112FGCC，因为在正方体1111ABCDABC D中，11/AACC，11AACC，所以1/FGAA，112FGAAAH，故四边形FGAH是平行四边形，所以/HFGA，HFGA，在正方体1111ABCDABC D中，1AA 面ABCD，又GA面ABCD，所以1AAAG，故1HFAA，所以点

15、F到直线1AA的距离为HF，因为在RtABG中，2215142GAABBG，则52HFGA，所以点F到直线1AA的距离为52，故 A 正确；第 8 页 共 23 页.对于 B，当E为11AC的中点时，连结AC交BD于O，连结11B D，易得1111B DACE，如图2，在正方体1111ABCDABC D中，1AA 面ABCD，又BD面ABCD，所以1AABD，在正方形ABCD中，易得ACBD，因为1AAACA，1,AA AC 面11AACC，所以BD面11AACC，因为EO 面11AACC，所以BDEO，同理：11ACEO，故EO是异面直线11AC与BD的公垂线，所以当E为11AC的中点时，动

16、点E到直线BD距离最小，且为EO，此时，在正方体1111ABCDABC D中，11/AACC，11AACC，所以四边形11AAC C是平行四边形，故11/ACAC，11ACAC，又,E O是11,AC AC的中点，所以1/AEAO，1AEAO，所以四边形1AAEO是平行四边形，所以11EOAA，所以动点E到直线BD距离的最小值为1，故 B 正确；.对于 C，连结11,AC AB BC，如图 3，由选项 B 可知11/ACAC，第 9 页 共 23 页 因为11AC 面1AB C，AC面1AB C，所以11/AC面1AB C，因为E为线段11AC上的动点，所以E到面1AB C的距离与1C到面1A

17、B C的距离相等，所以111111BACEEAB CCAB CA B CCVVVV，易得AB面11BB C C，111111111 1222B CCSBC CC ，所以1111111113326A B CCB CCVSAB，即三棱锥1BACE的体积是定值16，故 C 错误；.对于 D，当E为11AC的中点时，连结1A B，1AD，如图 4，因为,E F为111,AC BC的中点，所以1/EFAB，又与选项 B 同理得11/ADBC，所以1A B与1BC所成的角为EF与1AD所成的角，即11ABC，易得11112ABBCAC，所以11ABC是正三角形，故1160ABC，所以EF与1AD所成的角为

18、60，故 D 正确.故选：ABD.12古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列 na，正方形数构成数第 10 页 共 23 页 列 nb，则下列说法正确的是（）A12311111nnaaaan B1225 既是三角形数，又是正方形数 C12311112nbbbb DN*m，2m，总存在p，N*q，使得mpqbaa成立【答案】BCD【分析】根据给定信息，求出数列 na、nb的通项，再逐一分析各个选

19、项即可判断作答.【详解】依题意，数列 na中，11a，21324312,3,4,nnaaaaaaaan，2n，于是得121321(1)()()()1232nnnn naaaaaaaan ，11a 满足上式，数列 nb中，11b，21324313,5,7,21nnbbbbbbbbn，2n，于是得2121321()()()135(21)nnnbbbbbbbbnn，11b 满足上式，因此2(1),2nnn nabn，对于 A，12112()(1)1nan nnn，则1231111122(1)11nnaaaann，A 不正确；对于 B，因为245049(491)122522，则491225a，又212

20、2535，则351225b，B 正确；对于 C，221144112()(2)(21)(21)2121nbnnnnnn，则12311111111112(1)()()2(1)2335212121nbbbbnnn，C 正确；对于 D，N*m，2m，取,1pm qm，则21(1)(1)22pqmmmm mm maaaamb，所以N*m，2m，总存在p，N*q，使得mpqbaa成立，D 正确.故选：BCD【点睛】易错点睛：裂项法求和问题，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可第 11 页 共 23 页 漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的 三

21、、填空题 13已知直线1:2210lxy，2:10lxay.若12/ll，则实数a_.【答案】1【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.【详解】因为12/ll，所以有122121aa，解得1a，故答案为：1 14如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，G为11BC的中点，若该六面体的棱长都为 2，1160BADA ABA AD ，则AG _.【答案】17【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，再利用空间向量数量积及运算律求出向量的模作答.【详解】在平行六面体1111ABCDABC D中，令1,ABa ADb AAc，显然,a b c不共面，两两夹角为60，因为G为11BC的中点，则

22、1111122AGABBBBGABAAADabc，而|2abc，1|cos602 222a bb ca ca c ，所以2222222111|()2222224244AGabcabca bb ca c 17.故答案为：17 第 12 页 共 23 页 15已知双曲线2222:10,0 xyCabab，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接1MF交双曲线C左支于点N，若2MNF是等边三角形，则双曲线的离心率为_.【答案】7【分析】记等边2MNF的边长为m，利用双曲线的定义得到4ma，进而在12NFF中利用余弦定理求得7ca，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为2MNF是等

23、边三角形，不妨记2MFm，所以2MNNFm，由双曲线的定义得122MFMFa，故12MFam，所以1122NFMFMNamma，又由双曲线的定义得212NFNFa，所以22maa，故4ma，所以12NFa，24NFma，在12NFF中，12120FNF，则2221212122cos120FFNFNFNF NF，所以222144162 242caaaa ，整理得227ca，故7ca，所以双曲线的离心率为7cea.故答案为：7.16 已知椭圆 C：2214xy的左右焦点分别是1F，2F，过点1F的直线交椭圆于 A，B 两点，则2ABF的内切圆面积的最大值为_.第 13 页 共 23 页【答案】4【

24、分析】设直线 AB 的方程为3xty，11,A x y，22,B xy，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,yyy y，由2121212ABFSFFyy示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值【详解】解：直线 AB 的斜率不能为 0，但可不存在.设直线 AB的方程为3xty，11,A x y，22,B xy，由22314xtyxy，得2242 310tyty，1222 34tyyt，12214y yt，则2121212ABFSFFyy 2121212 342yyy y 2222 313444ttt 22214 34tt 22214 313tt 2

25、22214 31619ttt 2214 39161tt 2214 392161tt 2（当且仅当2t 时等号成立）.设2ABF的内切圆半径为 r，2248AFBFABa，则22122AFBFABr，12r，第 14 页 共 23 页 则2ABF的内切圆面积的最大值为2124.故答案为：4 四、解答题 17已知圆C的圆心在直线10 xy，且与直线20 xy相切于点0,0.(1)求圆C的方程；(2)直线l过点3,3P且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程.【答案】(1)22215xy(2)3x 或3430 xy 【分析】（1）分析可知圆心在直线20 xy上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计

26、算出圆的半径，即可得出圆C的方程；（2）利用勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线l的方程.【详解】（1）解：过点0,0且与直线20 xy垂直的直线的方程为20 xy，由题意可知，圆心C即为直线20 xy与直线10 xy 的交点，联立2010 xyxy，解得21xy，故圆C的半径为22215r ，因此，圆C的方程为22215xy.（2）解：由勾股定理可知，圆心C到直线l的距离为2521d.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x，圆心C到直线l的距离为1，满足条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方

27、程为33yk x，即330kxyk，由题意可得2221 332111kkkdkk，解得34k ，此时，直线l的方程为3334yx，即3430 xy.综上所述，直线l的方程为3x 或3430 xy.第 15 页 共 23 页 18已知数列 na为公差不为0的等差数列,满足15a,且2930,a a a成等比数列.()求 na的通项公式；()若数列 nb满足*1nnnbbanN,且13b 求数列1nb的前n项和nT.【答案】()23nan；()n=T 13112212nn.【分析】()利用等比中项性质和等差数列的通项公式列方程，可解得公差 d 的值，进而求得等差数列 na的通项公式；()根据题意，

28、由累加法求出数列 nb的通项公式，再通过裂项相消法求数列1nb的前n项和nT.【详解】()设等差数列 na的公差为0d d,依题意得 2111298adadad 又15a,解得2d,所以23nan.()依题意得123nnbbn,即121nnbbn(2n 且*nN)所以 112211.nnnnnbbbbbbbb,221 32121.5322nnnnnn.对13b 上式也成立,所以2nbn n,即111 11222nbn nnn,所以111111111 3111.23243522 212nTnnnn.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数

29、列的和，考查了推理能力与计算能力.形如 1nnaaf n的数列 na均可利用累加法求通项公式.19 如图，在四棱锥PABCD中，PB 底面ABCD，ABBC，/ADBC，2BC，1BA，3AD，3PB，点E为棱PA上一点，且AEAP.第 16 页 共 23 页(1)若BE/平面PCD，求实数的值；(2)若BE 平面PAD，求直线BE和平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)13(2)1020 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，表达出1,0,3E，求出平面PCD的法向量，从而BEm，列出方程，求出13；（2）求出平面PAD的法向量，结合第一问得到的1,0,3E，列出方程组

30、，求出14，从而利用线面角的正弦值求解公式得到答案.【详解】（1）因为PB 底面ABCD，,BC AB 平面ABCD，所以PB BC，PB AB，又因为ABBC，所以,AB BC PB两两垂直，以 B 为坐标原点，BA所在直线为 x轴，BC 所在直线为 y轴，BP 所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系，因为2BC，1BA，3AD，3PB，AEAP，所以0,0,0,1,0,0,0,0,3,0,2,0,1,3,0BAPCD，设,E a b c，故1,1,0,3ab c，解得：1,0,3abc，故1,0,3E，1,0,3BE，设平面PCD的法向量为,mx y z，则,0,2,3230,1,3,333

31、0m PCx y zyzm PDx y zxyz，令1z，解得：33,22yx，故33,122m，由题意得：BEm，即33331,0,3,1302222BE m ，第 17 页 共 23 页 解得：13；（2）设平面PAD的法向量为111,xny z，则11111111111,1,0,330,1,3,3330n PAx y zxzn PDx y zxyz，令11z，则13x，10y，故3,0,1n，由于BE 平面PAD，所以/BEn，设BEtn，即13003ttt，解得：14，故33,0,44BE，由（1）得：平面PCD的法向量为33,122m，设直线BE和平面PCD所成角的正弦值为，故333

32、3,1,0,224410sincos,2033931441616m BEm BEmBE ，直线BE和平面PCD所成角的正弦值为1020.20已知正项数列 na，其前n项和为,1 2nnnS aSnN （1）求数列 na的通项公式：（2）设 112nnnbna，求数列 nb的前n项和nT 第 18 页 共 23 页【答案】（1）13nna；（2）1173,4433,4nnnn nTnn 为奇数为偶数【分析】（1）Sn前后两项作差消去，求得 an的前后两项关系，从而求得 an 的通项公式；（2）由（1）求得 bn，对 n 分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前 n 项和.【详解】解：（1）由

33、已知1 2nnaS，所以有111 2nnaS，-，得112nnnaaa，即13nnaa，113nnaa，所以数列 na是公比为13的等比数列 又1111 21 2aSa ，113a 所以1111333nnna（2）由（1）得 1121312nnnnnnbnna ，当 n为奇数时，2343333321 234nnTn 3 131121122132222nnnnn 113 373144nnnn 当 n为偶数时，2343333321 234nnTn 3 1311222132222nnnn n 113343344nnnn 综上所述，1173,4433,4nnnn nTnn 为奇数为偶数【点睛】方法点睛

34、：（1）通过 an+1=Sn+1-Sn 得到 an 前后两项的关系，从而求得通项公式；（2）对于含有(-1)n的问题可以讨论 n 的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前 n 项和.21如图，三棱柱111ABCABC的所有棱长都是 2，1AA 平面ABC，D，E分别是AC，1CC的中点.第 19 页 共 23 页 (1)求证：平面BAE 平面1ABD；(2)求平面1DBA和平面1BAA夹角的余弦值；(3)在线段1B B（含端点）上是否存在点M，使点M到平面1ABD的距离为2 55？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)155

35、；(3)存在，M与点1B重合时，满足题意.【分析】(1)由题意可证明BDAE和1A DAE，即可证明平面BAE 平面1ABD；(2)先找出二面角，再转化到三角形中解三角形即可；(3)存在点M，运用等体积法验证即可说明.【详解】（1）证明：因为1AA 平面ABC，BD平面ABC，所以1AA BD，又ABD为边长为 2 的正三角形，D为AC中点，所以BDAC，1AAACA 所以BD平面11AAC C，AE 平面11AAC C，所以BDAE,又1()AA DCAE SAS，所以1AA DCAE，所以1A AEAEC，第 20 页 共 23 页 所以1190A AEAAD，所以190AOA(O为AE与

36、1A D的交点)，所以1AEAD，又因为1BDADD,由可得AE平面1ABD，又因为AE 平面BAE，所以平面BAE 平面1ABD；（2）解：设1AEADO,过A作1AFAB于F，连接OF,因为AE平面1ABD，1AB 平面1ABD，所以AE1A B，又因为1AFAB，AFAEA，则1AB 平面AEF,OF 平面AEF,所以1AB OF，所以OFA为平面1DBA和平面1BAA夹角，在1RtAAB中，221111222AFABAAAB,在1AA D中，11,AAADAD AO，所以2 55AO，第 21 页 共 23 页 所以Rt AOF中，22305OFAFOA,所以15cos5OFOFAAF

37、；（3）当点M与点1B重合时，点M到平面1ABD的距离为2 55，取11AC中点1D，连接111,B D DD,则1B B1DD，所以11,B B D D,四点共面，又1DD 平面111ABC，11AC 平面111ABC，所以1DD 11AC，又11B D 11AC，1111B DDDD,所以11AC 平面11BDD B，设点1B到平面1ABD的距离为h，又1111BA BDAB BDVV,即11111133A BDB BDh SAD S,即111111()1()3232hAD BDBD BB,所以3523h，解得2 55h.故在线段1B B存在点M（端点1B处），使点M到平面1ABD的距离为

38、2 55.第 22 页 共 23 页 22已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为110,0F，210,0F，动点 M满足212MFMF(1)求动点 M的轨迹方程；(2)若动点 M在双曲线 C上，设双曲线 C 的左支上有两个不同的点 P，Q，点4,0N，且ONPONQ，直线 NQ 与双曲线 C 交于另一点 B证明：动直线 PB经过定点【答案】(1)22119yxx (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义求得,a b的值得双曲线方程；（2）确定PQ垂直于x轴，设直线 BP的方程为xmyn，设11,P x y，22,B xy，则11,Q xy，直线方程代入双曲线方程

39、，由相交求得m范围，由韦达定理1212,yyy y，利用 N、B、Q三点共线，且 NQ斜率存在，由斜率相等得出12,y y的关系，代入韦达定理的结论可求得n的值，从而得直线 BP所过定点【详解】（1）因为211222 10MFMFFF，所以，动点 M的轨迹是以点1F、2F为左、右焦点的双曲线的左支，则22a，可得1a，2103ba，所以，点 M的轨迹方程为22119yxx；（2）证明：ONPONQ，直线 PQ垂直于 x轴，易知，直线 BP的斜率存在且不为 0，设直线 BP的方程为xmyn，设11,P x y，22,B xy，则11,Q xy，联立22990 xmynxy，化简得：2229118990mymnyn，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足13m 或13m ，1221891mnyym，21229991ny ym，又22222221836 911910m nmnmn，又 N、B、Q 三点共线，且 NQ 斜率存在，NQNBkk，即121244yyxx，122144y mynymyn，第 23 页 共 23 页 1212240my ynyy，22299182409191nmnmnmm，化简得：21814180m nnmn，2140nnn，410n，即14n，满足判别式大于 0，即直线 BP方程为14xmy，所以直线 BP过定点1,04