2021-2022学年上海市进才中学高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年上海市进才中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1平面上同时建立直角坐标系和极坐标系，且以原点为极点，x轴正方向为极轴，则表示相同曲线的一对方程是()Aya与a Byx与 Ccosyx与cos D20 xy与cos24【答案】D【分析】逐项将极坐标方程化为直角坐标方程或将直角坐标方程化为极坐标方程即可比较判断【详解】对于 A，ya与a，22222aaxya表示圆，y=a 表示直线，故 A 不符题意；对于 B，yx与，y=x表示直线，化为极坐标方程为=(4R），与表示不同曲线，故 B 不符题意；对于 C，cosyx与cos，y=cosx 是余弦

2、函数图像，222coscosxyx表示圆，故 C 不符题意；对于 D，20 xy与cos24，11cos2cossin220422xy，故 D 符合题意 故选：D 2设 n为正整数，则关于123231CCnnnn，下列说法正确的是（）A该代数式的值唯一确定 B该代数式的值有两种情况 C该代数式的值有三种情况 D该代数式的值有无数种情况【答案】C【分析】根据组合数Cmn中nm，且,n m均为正整数列式可求出结果.【详解】依题意得231123nnnn，得24nn，因为n为正整数，所以2n 或3n或4n，当2n 时，原式1113CC4；当3n时，原式2334CC347；第 2 页 共 14 页 当4

3、n 时，原式3555CC10111.所以该代数式的值有三种情况.故选：C 3已知,m n l是不同的直线，,是不同的平面，以下命题正确的是 若mn，,mn，则；若,mn，lm，则ln；若,mn，则mn；若，m，n，则mn；A B C D【答案】D【详解】试题分析：若mn，,mn，则或相交；若,mn，lm，则ln或 n或异面；正确；若，m，n，则mn或n或异面【解析】点、线、面位置关系 4设1a，2a，3a，4a是四个互不相等的实数，且满足1234aaaa，已知函数 1234f xxaxaxaxa，则函数 f x的零点个数()A最多一个 B最多两个 C一个或无数个 D0 个一个或无数个都有可能【

4、答案】C【分析】令 f(x)=0，令 12g xxaxa，34p xxaxa，作出 g(x)和 p(x)图像即可判断交点个数，从而判断 f(x)零点个数【详解】令 12340f xxaxaxaxa，则1234xaxaxaxa，不妨设12aa，34aa，令 1211221121222,2,xaaxag xxaxaaa axaxaax a，令 34p xxaxa34343343442,2,xaaxaaa axaxaax a，第 3 页 共 14 页 作出 g(x)和 p(x)图像，若21aa=43aa，设1324aaaa，则如图，此时 g(x)和 p(x)有无数个交点；除后，g(x)和 p(x)图

5、像均只有一个交点，如图，则 g(x)与 p(x)图像有 1 个或无数个交点，则 f(x)有 1 个或无数个零点 故选：C【点睛】本题关键是令 f(x)=0，构造两个函数，根据解析式特征作出函数图像，根据图像交点的个数判断原函数零点的个数 二、填空题 5不可能事件的概率为_（填数字）.【答案】0【分析】不可能事件是指不可能发生的事件，由此可得答案;【详解】不可能事件是指不可能发生的事件，故其发生的概率为 0，故答案为:0 6已知点1,0A0,1B，则线段 AB的方程是_.第 4 页 共 14 页【答案】10 01xyx 【分析】利用截距式写出直线方程求解.【详解】解：因为点1,0A0,1B，所以

6、直线 AB 的方程是1xy，即10 xy，所以线段 AB 的方程是10 01xyx，故答案为：10 01xyx 7双曲线2212xy的焦距为_.【答案】2 3【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.【详解】双曲线2212xy的焦距为22222 3cab.故答案为：2 3.【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.8532x的二项展开式中3x项的系数是_（填数字）.【答案】720【分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r 项，令x的指数为3即可求解.【详解】由532x得，55155C32C32rrrrrrrrTxx 令3r，3233345C32720Txx 故

7、答案为：720.9 设291(21)xx21101211(2)(2)(2)aa xaxax，则01211aaaa的值为_【答案】-2.【详解】令21x，即令1x 得 9201211112112aaaa .10在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为60 xy，圆C的参数方程为2cos0,22sin2xy，则圆心C到直线l的距离为_【答案】2 2；【详解】将圆 C 的参数方程化为普通方程有22(2)4xy,所以圆心(0,2)C 到直线第 5 页 共 14 页 60 xy 的距离为22262 211.11设aZ，且013a，若201251a能被 13 整除，则 a的值为_.【答案】1【分析】由二项

8、式定理可知201220125152 1aa，将其展开后即可判断出只要1 a能被 13 整除，201251a便能被 13 整除，结合已知a的范围即可求解.【详解】2012201202012120112201020112012201220122012201220125152 1C52C52C52C52Caaa 由于02012120112201020112012201220122012C52C52C52C52含有因数 52，故能被 52 整除，要使得201251a能被 13 整除，且aZ，013a，则可得10a，1a.故答案为：1.12直线3yx与曲线2194x xy的公共点的个数是_【答案】3【详

9、解】试题分析：当 x0 时，曲线2194x xy的方程为22194yx 当 x0 时，曲线2194x xy的方程为22194yx，曲线2194x xy的图象为右图，在同一坐标系中作出直线 y=x+3 的图象，可得直线与曲线交点个数为 3 个 136 位老师站成一列，其中，老李不在首位且小葛不在末位，则排法有_种(填数字).【答案】504【分析】正难则反，满足条件的排法数量可用 6 位老师全排列的种数减去不满足条件的排法种数，再把多减的部分加上即可【详解】6 位老师全排列，共66A种排法，第 6 页 共 14 页 老李在首位或小葛在末位均分别有55A种排法，老李在首位且小葛在末位有44A种排法，

10、故老李不在首位且小葛不在末位的排法数量为：66A-255A+44A=504 故答案为：504 14在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有_种选派方法（填数字）.【答案】199【分析】求出既会唱歌又会跳舞的演员人数为3，然后对所选的既会唱歌又会跳舞的演员人数进行分类讨论，并对所选的既会唱歌又会跳舞的演员进行安排，结合组合计数原理与分类加法计数原理可得结果.【详解】设既会唱歌又会跳舞的演员人数为x，则8510 x，解得3x，所以，只会唱歌的演员人数为5，只会跳舞的演员人数为2，若既会唱歌又会跳舞的演员一个人都没选，则不同的选派方法种数为225

11、2C C10；若既会唱歌又会跳舞的演员只选了1个人，则这个人要么唱歌，要么伴舞，此时，不同的选派方法种数为1122135252CC CC C75；若既会唱歌又会跳舞的演员选了2个人，则这2个人可以同时唱歌、同时伴舞或1人唱歌1人伴舞，此时，不同的选派方法种数为2221135252CCC2C C93；若既会唱歌又会跳舞的演员全选，则这3个人有2人唱歌1人伴舞或2人伴舞1人唱歌，此时，不同的选派方法种数为21213235C CC C21.综上所述，不同的选派方法种数为10759321199.故答案为：199.15如图，在ABC中，D 是 BC的中点，E 在边 AB上，BE=2EA，AD与 CE交于

12、点O.若6AB ACAO EC，则ABAC的值是_.【答案】3.第 7 页 共 14 页【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D为 BC 中点，知BF=FE=EA,AO=OD.3632AO ECADACAEABACACAE 223131123233ABACACABAB ACABACAB AC 22223 21132 3322AB ACABACAB ACABACAB AC，得2213,22ABAC即3,ABAC故3ABAC.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻

13、辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.16从集合123,nUa a aa的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：U 都要选出；对选出的任意两个子集 A 和 B，必有AB或AB.则选法有_种.【答案】33 23nn 【分析】分析出当一个子集只含有 m 个元素时，另外一个子集可以包含1m，2m，,1n个元素，所以共有121CCCCC22n mmn mmnn mn mn mn种选法；再进行求和即可.【详解】因为U 都要选出；故再选出两个不同的子集，即为 M，N，因为选出的任意两个子集 A和 B，必有AB或AB，故各个子集所包含的元素个数必须依次增加，且元素个数

14、多的子集包含元素个数少的子集，当一个子集只含有 1 个元素时，另外一个子集可以包含 2，3，41n个元素，所以共有111221111CCCCC22nnnnnnn种选法；当一个子集只含有 2 个元素时，另外一个子集可以包含 3，4，1n个元素，所以共第 8 页 共 14 页 有221232222CCCCC22nnnnnnn种选法；当一个子集只含有 3 个元素时，另外一个子集包含 4，5，1n个元素，所以共有331243333CCCCC22nnnnnnn种选法；当一个子集只含有 m 个元素时，另外一个子集可以包含1m，2m，,1n个元素，所以共有121CCCCC22n mmn mmnn mn mn

15、 mn种选法；当一个子集有2n个元素时，另外一个子集包含1n个元素，所以共有22C22nn种选法；当一个子集有1n个元素时，另外一个子集包含有n个元素，即为 U，不合题意，舍去；故共有122122C22C22C22C22nnn mmnnnnn 1122122C2C22 CCCnnnnnnnn 1 2221 2 2233 23nnnnnnn .故答案为：33 23nn 【点睛】对于集合与排列组合相结合的题目，要能通过分析，求出通项公式，再结合排列或组合的常用公式进行化简求解.三、解答题 17圆柱的轴截面 ABCD 是正方形，E是底面圆周上一点，DC与 AE成 60角，2AB.(1)求直线 AC与

16、平面 BCE所成角的正弦值；(2)求点 B到平面 AEC 的距离.【答案】(1)24 第 9 页 共 14 页(2)2 217【分析】（1）先证明出ACE 是 AC 与平面 BCE 所成的角，解三角形求出sin ACE；（2）利用等体积法CABEB ACEVV求出点 B 到平面 AEC的距离.【详解】(1)由题意可知,AB 是底面圆的直径,所以 AEBE.因为 DC/AB,DC与 AE所成的角为 60，所以 AB与 AE 所成的角也为 60,即BAE=60.因为正方形 ABCD的边长为 2，所以2 2AC，112AEAB.由题意可知,BC平面 ABE,AE 平面 ABE，所以 BCAE.因为B

17、CBEB,BC BE 平面 BCE，所以 AE平面 BCE，所以ACE 是 AC 与平面 BCE 所成的角.因为12sin=42 2AEACEAC=，即 AC 与平面 BCE所成角的正弦值为24.(2)设点 B到平面 AEC 的距离为 d.三棱锥CABE的体积为111113132332323ABESBCAE BE BC.因为 AE平面 BCE，所以 AECE，所以2117132222CAESAE EC.由等体积法可得：CABEB ACEVV，所以3133CAESd，即317332d，解得：2 217d.18设甲、乙、丙三位老人是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概

18、率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125.（1）甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是多少？（2）求这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率.【答案】（1）0.2,0.25,0.5.（2）0.7【解析】（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的问题，根据甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，列出方程，解方程得到结果（2）这个小时内至少有一台需要照顾的对立事件是这个小时内没有有一台需要照顾，即都不需要照顾，根据对立事件的概率公式，列出算式，得到结果【详解】（1）记事件

19、A“甲在这一小时内需要照顾”，事件B“乙在这一小时内需要照顾”.事件C“丙在这一小时内需要照顾”.由题意，知事件,A B C两两相互独立.第 10 页 共 14 页 且 0.050.10.125P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C，解得 0.20.250.5P AP BP C，即甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是0.2,0.25,0.5.（2）由（1），知 0.8,0.75,0.5P AP BP C，所以这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率 110.7PP ABCP A P B P C .【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是

20、指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率 19有时可用函数 0.1 15ln,(6)()4.4,(6)4axaxf xxxx 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（*xN），()f x表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关.（1）证明：当7x 时，掌握程度的增加量(1)()f xf x总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121,(121,127,(121,133.当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请

21、确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科【详解】中，要证明掌握程度的增加量(1)()f xf x总是下降，只需利用函数的单调性证明(1)()f xf x单调递减即可；中，根据题意，60.85f建立方程求a的估计值，结合给出的范围，进行判断.证明：当7x 时，0.41(3)(4)f xf xxx，(3)(4)0 xx，函数(3)(4)yxx单调递增，故 1f xf x单调递减，所以当7x 时，掌握程度的增加量(1)()f xf x总是下降.解：由题意知0.1 15ln0.85,6aa整理可得0.05,6aea 所以0.050.05620.506123.0,123.0121,127.1eae

22、由此可知，该学科为乙科.20 已知抛物线2:2ypx焦点为1,0F，抛物线上存在不同两点 AB（异于原点 O）.(1)求抛物线的方程；第 11 页 共 14 页(2)若直线 AB的倾斜角为3且抛物线焦点 F到直线 AB 的距离不小于 1，求直线 AB在 y轴上的截距 n的取值范围；(3)若点 ABF 三点共线，求AOB的取值范围.【答案】(1)24yx(2)3,2323,3 (3)3,arccos25【分析】（1）根据焦点坐标求解方程即可；（2）设直线 AB 的方程为3yx n，再根据直线 AB与抛物线有两个交点，焦点 F到直线 AB 的距离不小于 1 列式求解即可（3）联立直线 AB 与抛物

23、线的方程，利用cosOA OBAOBOA OB求出cosAOB的值域，进而得到AOB的取值范围【详解】(1)因为抛物线2:2ypx焦点为1,0F，故1,22pp，故抛物线的方程为24yx(2)由题，设直线 AB 的方程为3yx n，联立抛物线有234xnx，化简得2232 340 xnxn，故222 34120nn，解得33n.又抛物线焦点1,0F到30 xyn的距离不小于 1，故223 1 0131n，解得23n 或23n，综上有 AB在 y轴上的截距 n 的取值范围为3,2323,3 (3)设直线 AB的方程为1xty，1122,A x yB x y，联立24yx有2440yty，故121

24、24,4yyt y y，21212242xxt yyt，221212116y yx x 1212222212121122o344c sx xy yOA OBAOBOA OBx xxxxyxy 21212333,054161625x xxxt，即3cos05AOB 第 12 页 共 14 页 故AOB的取值范围为3,arccos25【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，求解交点的有关问题，同时也考查了利用韦达定理化简所求表达式的问题，属于中档题 21定义：Leistra 序列是一个由1a，2a，1na，*,2nannN组成的有限项序列，有如下性质：每项1a，2a，1na，na都是正偶数；

25、每项2a，3a，1na，na通过将序列中的前一项除以一个 10-50（包含 10 和 50）之间的整数得到（对于一个特定序列，使用的除数不一定都相同）；10-50（包含 10 和 50）之间没有整数 m 使得nam是一个偶数（其中na为数列的最后一项）.(1)试判断序列 10001004 和序列 10002004 是否为 Leistra 序列？并说明理由；(2)是否存在以首项1216a，末项2na 的 Leistra 序列？如果有，请写出所有的 Leistra序列；如果没有，请说明理由；(3)首项为350123a 的 Leistra 序列有多少个？并说明理由.【答案】(1)序列 1000100

26、4 是 Leistra 序列，序列 10002004 不是 Leistra 序列，理由见解析(2)不存在，理由见解析(3)187 个，理由见解析【分析】（1）看两个序列是否满足题干中的三个条件，得到 10001004 是 Leistra 序列，10002004 不是 Leistra 序列；（2）将 216 拆解为3323，得到218,12,6a，故不能得到末项2na，从而证明出不存在；（3）首先得到2,6,18,4,12,8na，根据末项和除数进行分类讨论，求出不同情况下的 Leistra 序列个数，相加即为答案.【详解】(1)序列 10001004 每项都是正偶数，而除数依次为 10,25，

27、且 10-50（包含 10和 50）之间没有整数 m使得nam是一个偶数（其中na为数列的最后一项），故序列 10001004 是 Leistra 序列；10002004 不是 Leistra 序列，因为10005200不在 10-50（包含 10 和 50）之间；(2)因为33121623a，则 216 在 10-50（包含 10 和 50）之间的正约数有 12,18,24,36，若1216a，则218,12,6a（9 不是偶数，舍去），而此时不存在 10-50（包含 10 和 50）之间的正数能再进一步计算使得末项2na，所以不存在这样的 Leistra 序列.第 13 页 共 14 页(

28、3)因为350123a，则在 10-50（包含 10 和 50）之间的正约数有 27,18,12，36，且每一项231,kakn kN，其中1,2,3,50且N，再结合 10-50（包含 10 和 50）之间没有整数 m使得nam是一个偶数（其中na为数列的最后一项），则末项20na，所以2,6,18,4,12,8na，下面根据末项和除数分别进行研究：当382na 时，则5013naa，所以每个除数只含有因子 3，即全是 27，当 50 不能被 3整除，所以无法由 27 相乘得到，即不存在这种情况；当242na 时，则5012 3naa，所以除数中因子 2 仅出现 1 次，只能是2182 3，

29、剩下除数全是 27，又因为剩下除数乘积为 16483163327，即有 17 个除数（18 出现一次，27 出现 16 次），一共有 17 种；当2123 2na，则4912 3naa，所以除数中因子 2 仅出现了 1 次，只能是2182 3，剩下除数全是 27，但因为剩下除数乘积为473，其中 47 不能被 3 整除，所以无法由 27相乘得到，即不存在这样的情景；当2na 时，则250123naa，所以除数中因子 2 出现了 2 次，即 18 出现 2 次或 12 出现 1 次或 36 出现 1 次，剩下的除数全是 27，而对应的剩下除数乘积依次为4549483,3,3，其中 1648316

30、3327，其余两种情况（46 和 49）都不能被 3 整除，所以有 17 个除数（36 出现 1 次，27 出现 16 次），共有 17 种；当63 2na 时，则249123naa，所以除数中因子 2 出现 2 次，即 18 出现 2 次或 12出现 1 次，或 36 出现 1 次，剩下除数全是 27，而对应的剩下除数乘积依次为4548473,3,3，其中 15453153327，16483163327，而 47 不能被 3 整除，所以第一种情况有 17个除数（18 出现 2 次，27 出现 15 次），一共有217C136种，第二种情况有 17 个除数（12出现 1 次，27 出现 16 次），一共有 17 种；当2182 3na 时，248123naa，所以除数中因子 2 出现了 2 次，即 18 出现了 2 次或 12 出现一次或 36 出现一次，剩下除数全是 27，而对应 的剩下除数乘积依次为4447463,3,3三个数都不能被 3 整除，故无法由 27 相乘得到，即不存在这种情形；综上：一共有 17+17+136+17=187 个 Leistra 序列.第 14 页 共 14 页【点睛】对于定义新数列的问题，要能正确阅读理解题干信息，抓住关键信息，转化为我们熟悉的问题解决.