2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题 解析.doc

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1、2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1已知、是平面的两条斜线，则“、与平面所成角相等”是“”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充分必要D既非充分又非必要【答案】B【分析】利用正方体模型、等角定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】在正方体中，如下图所示：以直线为直线，直线为直线，平面为平面，因为平面，所以，直线与平面所成的角为，同理可知，直线与平面所成的角为，所以，但直线、相交，即“、与平面所成角相等”“”；如下图所示，设直线、与平面分别交于点、，在直线上一点（异于点）作，在直线上一点（异于点）作，垂足分别为点、，连接、，则直线、与平面

2、所成的角分别为、，因为，则，因为，由等角定理可知，所以，即“、与平面所成角相等”“”.因此，“、与平面所成角相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.2设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，则、三个向量（）A互不相等B有且仅有两个相等C都相等D以上均有可能【答案】B【分析】利用空间向量的加减运算求解.【详解】，若，则，即，则B，C重合，于是A、B、C、D共面，矛盾，所以，即、三个向量有且仅有两个相等，故选：B3如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线

3、AB垂直的次数为（）A2B4C6D8【答案】A【分析】作出与垂直的平面后判断几何关系【详解】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得故选：A4为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）ACD与BE是异面直线B异面直线AB与CD所成角的大小为45C由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面

4、积为D球面上的点到底座底面DEF的最大距离为【答案】C【分析】取中点N，M，利用给定条件证明，推理判断A，B；求出外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C，D作答.【详解】取中点N，M，连接，如图，因为正三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，因此，四边形是平行四边形，有，则直线CD与BE在同一平面内，A不正确；由选项A，同理可得，则异面直线AB与CD所成角等于直线DF与CD所成角，B不正确；由选项A知，同理可得，正外接圆半径，由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是的外接圆，此截面面积为，C正确；体积为的球半径，由得，由选项C知，球心到平面的距离，由选项A，同理

5、可得点A到平面的距离为，即平面与平面的距离为，所以球面上的点到底座底面DEF的最大距离为，D不正确.故选：C【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作为异面直线夹角余弦二、填空题5空间两点、之间的距离为_【答案】3【分析】利用空间两点间距离公式计算作答.【详解】因点、，则.故答案为：36棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为_【答案】【分析】根据题意，证得且，得到为异面直线与的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体中，可得平面，平面，因为平面，平面，所以且，所以为异面直线与的公垂线，又由正方体的棱长为，可得，所以异面直线与的距离为.故答案为

6、：.7正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为_【答案】【分析】先求出一个侧面的面积，即可求出该棱台的侧面积.【详解】正四棱台的侧面为一个等腰梯形，如图示：.过C作于E，则.所以等腰梯形的面积为.所以该棱台的侧面积为.故答案为：.8已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列命题：，；，；，其中假命题的序号是_（写出所有假命题的序号）【答案】【分析】举特例说明、判断各个命题即可作答.【详解】如图，长方体中，平面为平面，若直线分别为直线，满足，而a与b相交，不正确；若直线为b，直线为a，满足，而，不正确；若平面为平面，直线为b，直线为a，满足，

7、而a与b不平行，不正确.故答案为：9若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的倍，则该圆锥的高为_【答案】2【分析】设出圆锥底面圆半径、圆锥的高，利用给定条件结合侧面积公式列式计算作答.【详解】设圆锥底面圆半径为r、圆锥的高为h，依题意有，解得，所以圆锥的高为2.故答案为：210如图所示，在三棱锥中，、分别为与的中点，则异面直线与所成角的大小是_【答案】【分析】取的中点，分别连接，把异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在中，根据，即可求解.【详解】如图所示，取的中点，分别连接，因为、分别为与的中点，可得，且，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在中，因为，所以，所以，即直线

8、与所成的角为，所以异面直线与所成的角.故答案为：.11在矩形ABCD中，AB2，沿对角线AC将矩形折成直二面角DACB，则线段BD的长为_【答案】【分析】如图由直二面角，作于，于G，根据所给数据解即可得解.【详解】如图，作于，连接，由二面角DACB为直二面角，所以平面，则，在中，所以，作于，所以，所以.故答案为：12如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE若D、E分别是AB、BC的中点，则_【答案】【分析】证得，然后结合棱台与棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】因为平面，且平面平面，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，且E分别是BC的中点，所以，同理，

9、因此，设上底面的面积为，高为，则下底面的面积为，所以，故答案为：.13已知如下的定理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积之比均为一定值，则这两个几何体的体积之比也为”设、为两个常数，且满足，则半椭圆绕轴旋转一圈所得的几何体体积为_【答案】【分析】将半椭圆和半圆绕着轴旋转一圈后，利用垂直于轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为、，计算出，再利用题中结论以及球体的体积公式可求得结果.【详解】如下图所示：直线交半椭圆于、两点，交半圆于、两点，由题意可得，将半椭圆和半圆绕着轴旋转一圈后，利用垂直于轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为、，由题意

10、可知，设半椭圆绕轴旋转一圈所得的几何体体积为，则，所以，.故答案为：.14已知正方体的棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M、N，点P为正方体表面上一动点，当线段MN长度最大时，的取值范围是_【答案】【分析】根据题意可设分别是内切球在正方体左右侧面的切点，根据，求出的最值，即可得出答案.【详解】解：设内切球的球心为，当线段MN长度最大时，为球的直径，不妨设分别是内切球在正方体左右侧面的切点，如图所示，则，当点位于正方体的顶点时，取得最大值，当点位于切点时，取得最小值，所以，即的取值范围是.故答案为：.三、解答题15在长方体中，AB1，AD2，E、F分别为

11、线段BC、上的点，且CE1，CF1(1)求证：平面；(2)求异面直线EF与所成角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)如图，取AD的中点M，棱上取点N使得DN1，根据长方体的特征和平行四边形的判定定理和性质可得，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)如图，取的中点P，连接MP，则PMN为异面直线EF与的所成角，在中利用余弦定理求出即可.【详解】(1)取AD的中点M，棱上取点N使得DN1，如图，可得且NFEM，所以四边形EFNM为平行四边形，所以，又EF不在平面上，平面，所以平面；(2)取的中点P，连接MP，如图，则PMN为异面直线EF与的所成角，因为，所以，故异面直线EF与所成角

12、的余弦值为16如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、两两垂直（OA、OB、均大于2米）该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓(1)若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？(2)应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值【答案】(1)和(2)体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45【分析】（1）利用设二面角为或三棱柱底面的一条直角边长为两种方法进行求解即可

13、；（2）用（1）中的或表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得解.【详解】(1)法一：设其中一个锐二面角的大小为，则三棱柱底面的两条直角边长分别为、，高为1，体积，解得或，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和法二：设三棱柱底面的一条直角边长为，则另一条直角边长为，高为1，体积，解得x1或，所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和(2)（2）法一：同（1）中法一所设，若长边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；若短边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；显然，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45法二：同（1）中法二所设，若长

14、边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；若短边紧贴底面，体积，等号当且仅当时成立；显然，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45（也可描述底面两条直角边长）17在平面直角坐标系内，我们知道axbyc0（a、b不全为0）是直线的一般式方程而在空间直角坐标系内，我们称axbyczd0（a、b、c不全为0）为平面的一般式方程(1)求由点，确定的平面的一般式方程；(2)证明：为平面axbyczd0（a、b、c不全为0）的一个法向量；(3)若平面的一般式方程为axbyczd0（a、b、c不全为0），为平面外一点，求点P到平面的距离【答案】(1)6x4y3z120(2)证明

15、见解析(3)【分析】（1）将点坐标代入，令，求出，从而确定平面的一般方程；（2）在平面上任取一条直线，在该直线上的任意两个不同的点，设出两点坐标，利用空间向量数量积为0得到垂直关系，从而证明出以是平面的一个法向量；（3）在第二问的基础上，利用投影向量的模长公式进行求解.【详解】(1)将点，代入后得：，不妨令，则，故平面的一般方程为：，即6x4y3z120；(2)记平面的方程为axbyczd0，在平面上任取一条直线，该直线上任取两个不同的点和，则，故有；因为，所以，故所以垂直于平面上的任意一条直线，所以是平面的一个法向量(3)由（2）知：为平面axbyczd0（a、b、c不全为0）的一个法向量，

16、任取平面上一点，则，点P到平面的距离d是向量在的方向上的投影的模，于是，所以点P到平面的距离为18如图所示，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，点C为底面圆周O上的动点记三棱锥的体积为V(1)证明：平面平面；(2)求V的最大值；(3)当V取最大值时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用圆的性质得，再由圆柱的结构特征、线面垂直、面面垂直的判断推理作答.（2）利用三棱锥的体积公式推理、计算作答.（3）由（2）的结论，可得C为弧AB的中点，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【详解】(1)依题意，三棱柱

17、内接于圆柱，是圆O的直径，点C是底面圆周上异于点A，B的点，则，而，平面，则平面，又平面，所以平面平面(2)三棱锥底面为ABC，高，三棱锥体积V最大，当且仅当底面面积最大，即边上的高最大，点C到直线AB距离最大，此时OCAB，所以体积V的最大值为.(3)由（2）知，C为弧AB的中点，射线两两垂直，以O为原点，分别以，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的法向量为，则，令，得，设与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦19如图所示，已知球的半径为，在球的表面上有三点、

18、，且、四点不共面，(1)若平面，求球心到平面的距离；(2)若CO平面，一个经过点、的球也经过点，求球的表面积；(3)若线段上存在一点，使得，求三棱锥体积的最大值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用等体积法即可求解（2）确定球心的位置之后，运用解三角形的知识即可求解（3），要求三棱锥体积的最大值，需求的最大值，设，用表示出，即可求解【详解】(1)（1）设球心到平面的距离为，在中因为平面，所以，所以，如图，取中点，连接，则在中所以；因为，所以，解得(2)（2）设在平面的投影为，则为的外心，设的外接圆半径为由正弦定理得，所以所以，又因为，故在上的投影为中点，所以，球的表面积为(3)（3），设，记到的距离为，则，令，则，当且仅当，即，且平面平面时等号成立第 19 页 共 19 页