椭圆的极坐标方程和应用.pdf-得力文库

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1、.椭圆的极坐标方程及其应用椭圆的极坐标方程及其应用，倾斜角为倾斜角为且过椭圆且过椭圆C:x2y2如图如图a2b21(a b 0)的右焦点的右焦点F2的直线的直线l交椭圆交椭圆C于于P,Q两点两点，椭椭圆圆C的离心率为的离心率为e，焦准距为焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导请利用椭圆的第二定义推导PF12,QF2,PQ，并证明并证明:PF1为定值为定值2QF2yPFO2xQ改为改为：抛物线抛物线y2 2px(p 0)呢呢？例例1.1.（1010年全国年全国）已知椭圆已知椭圆C:x2y23221(a b 0)的离心率为的离心率为2，过右焦点过右焦点F且斜率为且斜率为k(k 0)的的直线与直线与C

2、相交于相交于A,B两点两点若若uAFuu ra 3uFBubu r，求求k。yBOFxA专业 word 可编辑.练习练习1.1.（1010年辽宁理科年辽宁理科）设椭圆设椭圆C C：x2y2a2b21(a b 0)的右焦点为的右焦点为F F，过点过点F F的直线的直线l与椭圆与椭圆C C相交于相交于A A，B B 两点两点，直线直线l的倾斜角为的倾斜角为 6060o o,uAFuu r 2uFBuu r，求椭圆求椭圆 C C 的离心率的离心率；例例 2.2.（0707 年全国年全国）已知椭圆已知椭圆x23y221的左的左、右焦点分别为右焦点分别为F1，F2过过F1的直线交椭圆于的直线交椭圆于B，

3、D两两点点，过过F2的直线交椭圆于的直线交椭圆于A，C两点两点，且且AC BD，垂足为垂足为P，求四边形求四边形ABCD的面积的最值的面积的最值练习练习 2.2.（0505 年全国年全国）P P、Q Q、MM、N N 四点都在椭圆四点都在椭圆x2y221上上，F F 为椭圆在为椭圆在 y y 轴正半轴上的焦点轴正半轴上的焦点.已知已知PF与FQ共线,MF与FN线,且PFMF 0.求四边形求四边形 PMQNPMQN 的面积的最小值和最大值的面积的最小值和最大值.例例 3.3.（0707 年重庆理年重庆理）如图如图，中心在原点中心在原点 O O 的椭圆的右焦点为的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线

4、右准线l的方程为的方程为x 12.（）（）求椭圆的方程求椭圆的方程；（）（）在椭圆上任取三个不同点在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3，使使P1FP2 P2FP3 P3FP1，证明证明：1|FP11为定值为定值，并求此定值并求此定值.1|FP2|FP3|：已知椭圆已知椭圆x2y2推广推广a2b21(a b 0),F是椭圆的右焦点是椭圆的右焦点,在椭圆上任取在椭圆上任取n个不同点个不同点P1,P2,Pn,若若nPFP12 P2FP3 Pn1FPn P1nFP1,则则n，你能证明吗你能证明吗？i1|PFi|ep练习练习 3.3.（0808 年福建理科年福建理科）如图如图，椭圆椭圆x2y2.a2b

5、21(a b 0)的一个焦点是的一个焦点是F F（1 1，0 0），），O O为坐标原点为坐标原点.（）（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程求椭圆的方程；（）（）设过点设过点F F的直线的直线l l交椭圆于交椭圆于A A、B B两点两点.若直线若直线l l绕点绕点F F任意转动任意转动，值有值有OA2 OB2 AB2,求求a a的取的取专业 word 可编辑.值范围值范围.作业作业 1.1.（0808 年宁夏文年宁夏文）过椭圆过椭圆x25y241的右焦点作一条斜率为的右焦点作一条斜率为 2 2 的直线与椭圆交于的直线

6、与椭圆交于A,B两点两点,O为坐为坐标原点标原点,则则OAB的面积为的面积为.作业作业 2.2.（0909 年全国年全国）已知椭圆已知椭圆C:x22 y21的右焦点为的右焦点为 F,F,右准线右准线l，点点Al，线段线段 AFAF 交交 C C 于点于点 B B。若若uFAuu r 3uFBuu r,求求uAFuu r。作作业业 3.3.（1515 年年四四市市二二模模）如如图图，在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOy中中，四四边边形形ABCD的的顶顶点点都都在在椭椭圆圆.x2y221(a b 0)上上，对角线对角线AC与与BD分别过椭圆的左焦点分别过椭圆的左焦点F1(1,0)和右焦点和右焦点

7、F2(1,0)，且且2uuu ruuu rabAC BD，椭圆的一条准线方程为椭圆的一条准线方程为x 4（1 1）求椭圆方程求椭圆方程；（2 2）求四边形求四边形ABCD面积的取值范围面积的取值范围。x2y2练习练习 4.4.（0808 年安徽文年安徽文）已知椭圆已知椭圆C:a2b21(ab0)，其相应于焦点其相应于焦点F F(2(2，0)0)的准线方程为的准线方程为x x=4.=4.（）（）求椭圆求椭圆C C的方程的方程；（）（）已知过点已知过点F F1 1(-2,0)(-2,0)倾斜角为倾斜角为的直线交椭圆的直线交椭圆C C于于A A，B B两点两点.求证求证：AB 4 22cos2；（）

8、（）过点过点F F1 1(-2,0)(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆作两条互相垂直的直线分别交椭圆C C于点于点A A、B B和和D D、E E，求求AB DE的最小值的最小值.专业 word 可编辑.作业作业 5.5.已知以已知以 F F 为焦点的抛物线为焦点的抛物线y2 4x上的两点上的两点 A A、B B 满足满足AF 3FB,求弦求弦 ABAB 的中点到准线的距离的中点到准线的距离.参考答案参考答案：例例 1.1.练习练习 1.1.例例 2.2.专业 word 可编辑.练习练习 2.2.1112(定值定值)FPFP2FP3312,且且3方法二方法二:记椭圆的右顶点为记椭圆的右

9、顶点为A,并设并设AFPii(i 1,2,3),不失一般性假设不失一般性假设0 124|cosi3,yi|PF|sini,另设点另设点P(xi,yi),则则xi|PF,31ii3322(|PF|cos3)(|PF|sin)iiQ点点Pi在椭圆上在椭圆上,ii1362711(2cosi)(i 1,2,3),以下同方法一以下同方法一FPi921x2y2例例 3.3.解解：（）：（）设椭圆方程为设椭圆方程为221.ab因焦点为因焦点为F(3,0)，故半焦距故半焦距c 3.又右又右1112(定值定值)FPFP2FP331推广推广：引理引理 1:1:coscos()cos(2)cos(n)sin(n1)

10、ncos()22.sin2a2准线准线l的方程为的方程为x，从而由已知从而由已知ca212,a236，c因此因此a 6,b 证明证明:cossin1sin()sin()-(1)-(1)222213cos()sinsin()sin()-(2)-(2)2222cos(n)sina2c2273 3.x2y21.故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为3627（）（）方法一方法一:记椭圆的右顶点为记椭圆的右顶点为A,并设并设AFPii(i 1,2,3),不失一般性不失一般性224假设假设0 1,且且21,31333c1又设点又设点Pi在在l上的射影为上的射影为Qi,因椭圆的离心率因椭圆的离心率e,据椭圆第二定

11、义得据椭圆第二定义得a2a21|FPi|PQ|e (c|FP|cos)e(9 FPicosi)(i 1,2,3)iiiic2121(1cosi)(i 1,2,3).FPi9212n12n1sin()sin()-(-(n1)2222将上述将上述n1个式子相加得个式子相加得1112 124 3(cos1cos(1)cos(1)FPFP2FP392331241313)cos(1)cos1cos1sin1cos1sin1 033222212n11sin()sin()2222(n1)nsincos()22coscos()cos(n)sin2证明证明:记椭圆的右顶点为记椭圆的右顶点为A,并设并设AFPii

13、n)1n 0sin2sinnn1PFnai1|i|b2.练习练习 3.3.解法一解法一：()设设MM，N N为短轴的两个三等分点为短轴的两个三等分点，因为因为MNFMNF为正三角形为正三角形，所以所以OF 32MN,即即 1 132g2b3,解得b 3.a2 b21 4,因此因此，椭圆方程为椭圆方程为x2y2431.()设设A(x1,y1),B(x2,y2).()当直线当直线ABAB与与x x轴重合时轴重合时，OA2 OB2 2a2,AB2 4a2(a21),因此，恒有 OA2 OB2 AB2.()当直线当直线ABAB不与不与x x轴重合时轴重合时，设直线设直线ABAB的方程为的方程为：x m

14、y 1,代入x2y2a2b21,整理得整理得(a2b2m2)y22b2my b2a2b2 0,所以所以y2b2mb2a2b21 y2a2b2m2,y1y2a2b2m2因为恒有因为恒有OA2 OB2 AB2，所以所以AOBAOB恒为钝角恒为钝角.即即uOAuu rguOBuu r(x1,y1)g(x2,y2)x1x2 y1y20恒成立恒成立.x1x2 y1y2(my11)(my21)y1y2(m21)y1y2 m(y1 y2)1(m21)(b2a2b2)2b2a2b2m2m2a2b2m21m2a2b2b2a2b2a2a2b2m2 0.又又a a2 2+b b2 2mm2 20,0,所以所以-mm

15、2 2a a2 2b b2 2+b b2 2-a a2 2b b2 2+a a2 20 a a2 2-a a2 2b b2 2+b b2 2对对mmR R 恒成立恒成立.当当mmR R 时时，a a2 2b b2 2mm2 2最小值为最小值为 0 0，所以所以a a2 2-a a2 2b b2 2+b b2 20.0.a a2 2 a a2 2b b2 2-b b2,2,a a2 2(0,0,b b0,0,所以所以a a 0,-10,解得解得a a 152或或a a 152,综合综合（i i）(ii)(ii)，a a的取值范围为的取值范围为（152，+）.解法二解法二。.作业作业 1.1.作业作业 2 2【解析解析】本小题考查椭圆的准线本小题考查椭圆的准线、向量的运用向量的运用、椭圆的定义椭圆的定义，基础题基础题。解解:过点过点B B 作作BM l于于M,M,并设右准线并设右准线l与与 X X轴的交点为轴的交点为N N，易知易知FN=1.FN=1.由题意由题意uFAuu r 3uFBuu r,故故|BM|23.又由又由椭圆的第二定义椭圆的第二定义,得得|BF|2 22233|AF|2.作业作业 3.3.专业 word 可编辑.作业作业 4.4.作业作业 5.5.83

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