椭圆极坐标方程及其应用中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

《椭圆极坐标方程及其应用中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆极坐标方程及其应用中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf（4页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为且过椭圆2222:1(0)xyCabab 的右焦点2F的直线l交椭圆C于,P Q两点，椭圆C的离心率为e，焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导22,PF QFPQ，并证明:2211PFQF为定值 改为：抛物线22(0)ypx p 呢？例 1.（10年全国）已知椭圆2222:1(0)xyCabab 的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)k k 的直线与C相交于,A B两点若3AFFBuuu ruuu r，求k。练习 1.（10年辽宁理科）设椭圆 C：的右焦点为 F，过点 F的直线l与椭圆 C相交于 A，B两点，直线l的倾斜角为 60o,，求椭圆 C的离心

2、率；例 2.（07年全国）已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F过1F的直线交椭圆于BD，两点，过2F的直线交椭圆于A C，两点，且ACBD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值 练习 2.（05 年全国）P、Q、M、N 四点都在椭圆1222yx上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知.0,MFPFFNMFFQPF且线与共线与求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.例 3.（07年重庆理）如图，中心在原点 O的椭圆的右焦点为)0,3(F，右准线l的方程为12x.（）求椭圆的方程；（）在椭圆上任取三个不同点123,P P P，使133221FPPFPPFPP，证明：|1|1

3、|1321FPFPFP为定值，并求此定值.推广：已知椭圆22221(0)xyabab,F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点12,nP PP,若 122311nnnPFPP FPPFPP FP ,则11|niinPFep，你能证明吗？练习 3.（08年福建理科）如图，椭圆2222.1(0)xyabab 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222OAOBAB,求a的取值范围.Q y O x P 2F AyOxBF 作业 1.（08年宁夏文）过椭圆14522

4、yx的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于BA,两点,O为坐标原点,则OAB的面积为 .作业 2.（09年全国）已知椭圆22:12xCy的右焦点为 F,右准线l，点A l，线段 AF交 C于点 B。若3FAFBuuu ruuu r,求AFuuu r。作业 3.（15 年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆22221(0)xyabab 上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点1(1,0)F 和右焦点2(1,0)F，且ACBD，椭圆的一条准线方程为4x （1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD面积的取值范围。练习 4.（08年安徽文）已知椭圆2222:1(0)xy

5、Cabab，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.（）求椭圆C的方程；（）已知过点F1(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.求证：24 22cosAB；（）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求ABDE的最小值.作业 5.已知以 F为焦点的抛物线24yx上的两点 A、B满足3AFFBuuu ruuu r,求弦 AB的中点到准线的距离.参考答案：例 1.练习 1.例 2.练习 2.例 3.解：（）设椭圆方程为12222byax.因焦点为)0,3(F，故半焦距3c.又右 准线的方程为cax2，从而由已知 36,1222aca，因此3327,622

6、caba.故所求椭圆方程为1273622yx.（）方法一:记椭圆的右顶点为A,并设(1,2,3)iiAFPi,不失一般性 假设1203,且213124,33 椭圆的第二定义推导并证明为定值改为抛物线呢例年全国已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若求练习年辽宁理科设椭圆的右焦点为过点的直线与椭圆相交于两点直线的倾斜角为求椭圆的离心率例年全国已知四点都在椭圆上为椭圆在轴正半轴上的焦点已知且线与共线与求四边形的面积的最小值和最大值例年重庆理如图中心在原点的椭圆的右焦点为求椭圆的方程在椭圆上任取三个不同点右准线的方程为使证明为定值并求此定值推广已知知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成

7、正三角形求椭圆的方程设过点的直线交椭圆于两点若直线绕点任意转动值有取值围求的作业年宁夏文过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于两点为坐标原点则的面积为作业年全国又设点iP在l上的射影为iQ,因椭圆的离心率12cea,据椭圆第二定义得 2|(|cos)iiiiiaFPPQecFPec1(9cos)2iiFP(1,2,3)i 121(1cos)92iiFP(1,2,3)i.11112311121243(coscos()cos()9233FPFPFP 又11111111241313coscos()cos()coscossincossin0332222Q 12311123FPFPFP(定值)方法二

8、:记椭圆的右顶点为A,并设(1,2,3)iiAFPi,不失一般性假设1203,且 213124,33 ,另设点(,)iiP x y,则|cos3,|siniiiiiixPFyPF Q点iP在椭圆上,22(|cos3)(|sin)13627iiiiPFPF 11(2cos)9iiFP(1,2,3)i,以下同方法一 12311123FPFPFP(定值)推广：引理 1:(1)sincos()22coscos()cos(2)cos()sin2nnn .证明:1cossinsin()sin()2222-(1)13cos()sinsin()sin()2222-(2)12121cos()sinsin()si

9、n()2222nnn-(1n)将上述1n个式子相加得 1211coscos()cos()sinsin()sin()2222nn (1)sincos()22coscos()cos()sin2nnn 证明:记椭圆的右顶点为A,并设(1,2,)iiAFPin,不失一般性 假设120n,且2131124,nnnnn 又设点iP在l上的射影为iQ,据椭圆第二定义得 2|(|cos)iiiiiaFPPQecFPec(1,2,)in 21(1cos)iiaeFPb(1,2,)in.11121122(1)coscos()cos()|niiannePFbnn 在引理1中,令12,n,则11122(1)cosco

10、s()cos()nnn 11(1)(1)sincos()sincos()220sinsin2nnnnn 211|niinaPFb.练习 3.解法一：()设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形，所以32OFMN,即 13 2,3.23bbg解得 2214,ab 因此，椭圆方程为221.43xy ()设1122(,),(,).A x yB xy ()当直线 AB与x轴重合时，2222222222,4(1),.OAOBaABaaOAOBAB因此，恒有 ()当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：22221,1,xyxmyab代入 整理得22222222()20,ab myb myb

11、a b 所以222212122222222,b mba byyy yab mab m 因为恒有222OAOBAB，所以AOB恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OBx yxyx xy yuuu r uuu rgg恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x xy ymymyy ymy ym yy 椭圆的第二定义推导并证明为定值改为抛物线呢例年全国已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若求练习年辽宁理科设椭圆的右焦点为过点的直线与椭圆相交于两点直线的倾斜角为求椭圆的离心率例年全国已知四点都在椭圆上为椭圆在轴正半轴上的焦点已知且线与共线与求四边形的面积的最

12、小值和最大值例年重庆理如图中心在原点的椭圆的右焦点为求椭圆的方程在椭圆上任取三个不同点右准线的方程为使证明为定值并求此定值推广已知知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形求椭圆的方程设过点的直线交椭圆于两点若直线绕点任意转动值有取值围求的作业年宁夏文过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于两点为坐标原点则的面积为作业年全国 2222222222222222222222(1)()210.mba bb mab mab mm a bba baab m 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为 0，所以a2-

13、a2b2+b20.a2a2b2-b2,a20,b0,所以a0,解得a152或a152,综合（i）(ii)，a的取值范围为（152，+）.解法二。作业 1.作业 2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解:过点 B作BMl于 M,并设右准线l与 X轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意3FAFBuuu ruuu r,故2|3BM.又由椭圆的第二定义,得2 22|233BF|2AF.作业 3.作业 4.作业 5.83 椭圆的第二定义推导并证明为定值改为抛物线呢例年全国已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若求练习年辽宁理科设椭圆的右焦点为过点的直线与椭圆相交于两点直线的倾斜角为求椭圆的离心率例年全国已知四点都在椭圆上为椭圆在轴正半轴上的焦点已知且线与共线与求四边形的面积的最小值和最大值例年重庆理如图中心在原点的椭圆的右焦点为求椭圆的方程在椭圆上任取三个不同点右准线的方程为使证明为定值并求此定值推广已知知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形求椭圆的方程设过点的直线交椭圆于两点若直线绕点任意转动值有取值围求的作业年宁夏文过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于两点为坐标原点则的面积为作业年全国