双层玻璃的功效.ppt

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1、 报告或答卷论文的写作原则：原则：假设的合理性 建模的创造性 结果的合理性 表述的清晰性 论文的结构论文的结构 标题标题 作者作者 摘要摘要 关键词关键词 引言引言正文正文 问题的叙述，问题的分析，背景的分析；模型的假设，符号说明;模型的建立（问题分析，推导，模型）;模型的求解 计算方法设计或选择；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验 模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广.结论结论 参考文献参考文献 附录附录 计算框图、程序、使用说明；详细图表、背景知识。需要一个完整的报告来描述问题的分析解决过程，使得别人对模型的假设

2、的合理性、模型的有效性和结果的可用性理解、赞同、和欣赏，从而使得我们的模型能得到认可和广泛应用。总之：答卷是展示自己工作的窗口；答卷是个人成绩结晶的书面形式；写好答卷是科技写作的一种基本训练；答卷是成绩评定的基本依据答卷论文要尽量答卷论文要尽量简单易懂简单易懂 数学建模面临的、要解决的是实际问题实际问题，不追求数学上：高、深、难。能用初等方法初等方法解决的、就不用高级方法，能用简单方法简单方法解决的，就不用复杂方法，能用被更多人看懂、理解更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。特别：特别：在大的公式前后加一些解释，帮助别人阅读和理解。崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带

3、着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。记崖高为记崖高为h假定空气阻力不计，可以利用自由落体运动的公式来计算。假定空气阻力不计，可以利用自由落体运动的公式来计算。我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵

4、呵。得更好，呵呵。简单想法简单想法简单想法简单想法例如，例如，设测得时间为设测得时间为t t=4=4秒，秒，g g=9.81=9.81米米/秒秒2 2，则可求得，则可求得 h h 78.578.5(米米)进一步考虑进一步考虑进一步考虑进一步考虑 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气空气阻力阻力。根据力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落。根据力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数的速度，阻力系数 r 为常数。为常数。由牛顿第二定律可得：由牛顿第二定律可得：令令k=r/m，解得解得(1)若设k=0.05,并仍设 t=4秒，则

5、可求得h 73.6米。令令k 0+，即可得出前面即可得出前面不考虑空气阻力时的结果不考虑空气阻力时的结果 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间。深入考虑深入考虑深入考虑深入考虑 假如仍设假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为秒，扣除反应时间后应为3.9秒，秒，代入式代入式(1)(1)求得求得 h69.9（米）米）多测几次，取平均值多测几次，取平均值不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间为为0.1秒。秒。进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑 为此，令石块下落的真正时间为为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的声音

6、传回来的时间记为时间记为t2，得一个方程组：得一个方程组：这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不容易。解不容易。为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性方程组非线性方程组似乎不合情理似乎不合情理 声音传回需时间声音传回需时间 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用前一方法先求一次可用前一方法先求一次 h，再由，再由声速公式得声速公式得t2=h/340，和，和t=t1+t2 校正校正t。近似求解近似求解仍设扣除反应时间后为仍设扣除反应时间后为t t=3.93.9秒，代入式秒，代入式(1)(1)求得求得 h h69.969.9（

7、米）米）则则回声回声传回时间传回时间为为 t t2 2=h=h/340340 0.210.21（秒）秒）故故 t t1 1=t-t=t-t2 2 3.693.69求得求得 h62.3（米）米）包饺子问题通常，1公斤面，1公斤馅，包100个饺子 今天，今天，1公斤面不变，馅比公斤面不变，馅比 1公斤多了公斤多了0.4公斤，问：公斤，问：是否可以多包几个（小一些），或少包几个（大一些）是否可以多包几个（小一些），或少包几个（大一些）将这些馅仍用将这些馅仍用1公斤面包完？公斤面包完？多包：皮小一些；少包：皮大一些。面积 体积问题问题 面积为S的一个皮，包成体积为V的饺子。若分成n个皮，每个圆面积为s

8、，包成体积为v。V和 nv 哪个大?SsssVvvv(共n个)定性分析定性分析V比 nv大或小多少?定量分析定量分析假设假设1.皮的厚度一样2.饺子的形状一样模型模型应用应用若若100100个饺子包个饺子包1 1公斤馅公斤馅,则则5050个饺子可以包个饺子可以包 公斤馅公斤馅R 大皮 的半径；r 小皮的半径V是 nv的 倍1.41.4在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺理成章地找到解决实际问题的钥匙。猜测也是一种想象力。理成章地找到

9、解决实际问题的钥匙。猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做出具有创新性的结果。没有合理而又大胆的猜测，很难做出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）并非一眼就能看出的，开普勒的三大定律（尤其是后两条）并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，隐含在第谷记录下来的它们隐含在行星运动的轨迹之中，隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例子实在太多了。在获得一大堆数据之中。历史上这样的例子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常常会先去猜测某些结果，了一定数量的资料数据后，人们常常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证明就成了定理，而定理一然

10、后试图去证明它。猜测一经证明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被推广出许多更为广泛的结旦插上想象的翅膀，又常常会被推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，结果也决不是一无所获的果。即使猜测被证明是错误的，结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入的了解。失败而常常是对问题的更为深入的了解。瓷砖问题瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺如下图所示形状的地面,但当时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无法铺好.试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢?首先必须解决可能性问题 在图上黑白相间地染色，共有19个白

11、格和21个黑格.一块长方形瓷砖可以盖住一黑一白两个方格。所以铺上19块长方形瓷砖后,总要剩下2个黑格无法铺,因一块长方形瓷砖是无法盖住两个黑格的。唯一的解决办法是把最后一块瓷砖分为两个正方形瓷砖去盖住两个黑格.方法：奇偶校验法说明：任何改变铺设方式的努力都是徒劳 棋子颜色的变化棋子颜色的变化 任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个,排成一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?各次的颜色的数确定：可见：最多经过可见：最多经过8

12、 8次变换以后，各个数都变次变换以后，各个数都变成了成了+1+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后，这意味着所有棋子都是黑色，且以后重复上述过程，颜色也就不再变化了。重复上述过程，颜色也就不再变化了。杨辉三角形法方法2：穷举法（借助于计算机）问题的推广问题的推广 对任意对任意n n颗棋子讨论颜色变化的情颗棋子讨论颜色变化的情况，尝试况，尝试给出一些结论给出一些结论七桥问题七桥问题普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛,岛旁流过一条河的两条支流,七座桥跨在河的两支流上.A表示岛,B表示河左岸,C表示右岸,D为两支流间地区,a,b,c,d,e,f,g分别表示七座桥.问一个人能否经过每座桥一次且恰好经过每座桥

13、一次并最后回到原出发点?抓住问题关键!将七桥图转化为下图：此问题引出一个重要数学分支：图论问题归结为一笔画问题椅子的稳定性 4 4条腿长度相等的椅子条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上放在起伏不平的地面上,问问4 4条腿能否同时着地而条腿能否同时着地而放稳放稳?分析分析 “放稳放稳”：4 4条腿能否条腿能否同时着地同时着地。量化：任意三点共面，量化：任意三点共面，三条腿可以同时着地，三条腿可以同时着地，关键在第四关键在第四条腿是否也能着地？条腿是否也能着地？将其转化为两对腿将其转化为两对腿是否能同时着地？是否能同时着地？总有一对腿能同时着地，总有一对腿能同时着地，另一对腿另一对腿是否也能着地

14、？是否也能着地？用数学语言将椅腿用数学语言将椅腿着地的条件与着地的条件与结论表示出来结论表示出来1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地模型假设ABCDtABCDOx模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图)t 椅子绕中心点O旋转角度f(t)A,C两脚与地面距离之和g(t)B,D两脚与地面距离之和 f(t),g(t)0由假设1，知f和g都是连续函数由假设3，椅子在任何位置至

15、少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxABCDABCDt最后，因为f(t)g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)0和h()0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0（0t00可知g()0,f()=0双层玻璃的功效双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗

16、户上装两层玻璃夹着一层空气，如图所示。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。试建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗的热量传导进行对比。一.一.模型假设模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流只有传导，没有对流。即假定 窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是 不流动的；2.室内温度和室外温度保持不变不变，热传导过程已 处于稳定稳定状态。即沿热传导方向，单位时间通 过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀均匀，热传导系数是常数常数。二二.引入符号引入符号T1 室内温度T2 室外温度d 单层玻璃厚度l 两层玻璃之间的空气

17、厚度Ta 内层玻璃的外侧温度Tb 外层玻璃的内侧温度k 热传导系数Q 热量损失三三.模型建立与求解模型建立与求解 由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q，与T成正比，与d成反比，即 其中k为热传导系数。1.1.双层玻璃的热量流失双层玻璃的热量流失 内窗玻璃的外侧温度为Ta，外层玻璃的内侧温度为Tb，玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，由(1)式知单位时间单位面积的热量传导(热量流失)为：（1）（2）由及可得:再代入变形可得：2.2.单层玻璃的热量流失单层玻璃的热量流失

18、 对于厚度为d的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：3.3.单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较（3）（4）有：（3）（4）（5）显然。进一步从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数（焦耳/厘米.秒.度）常用玻璃的热传导系数（焦耳/厘米.秒.度）则我们作最保守的估计，即取由（3）（5）可得：（6）(6)式反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效,它只与h=l/d 有关。下图给出了相应的曲线，当h由0增加时，迅速下降，而当超过一定值（比如 ）后下降缓慢,可见h不宜选得过大。四四.结果分析结果分析 通常，建筑规范要求 ,按照这个模型有 即双层玻璃窗比用同样多的

19、玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增 加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些。一个摆渡人F希望用一条小船把一只狼 W,一头羊 G 和一篮白菜 C 从一条河的左岸渡到右岸去,而船小只能容纳 F、W、G、C中的两个,且决不能在无人看守的情况下,留下狼和羊在一起,羊和白菜在一起,应怎样渡河才能将狼、羊、白菜都运过去?人、狼、羊、菜人、狼、羊、菜 渡河问题渡河问题将人

20、、狼、羊、菜依次用一个四维向量表示:当一物在左岸时,记相应的分量为1,否则记为0,如A(1,0,1,0)表示人和羊在左岸,称为一个状态。智力游戏 状态转移 模型 算法 可取状态：(1,1,1,1)(1,1,1,1)，(0,0,0,0)(0,0,0,0)，(1,1,1,0)(1,1,1,0)，(0,0,0,1)(0,0,0,1)，(1,1,0,1)(1,1,0,1)，(0,0,1,0)(0,0,1,0)，(1,0,1,1)(1,0,1,1)，(0,1,0,0)(0,1,0,0)，(1,0,1,0)(1,0,1,0)，(0,1,0,1)(0,1,0,1)。船：可取运载B共4 4个 (1,1,0,0

21、),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)(1,0,0,1),(1,0,0,0)。不合题意 (1,1,0,0)(0,0,1,1)N(1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,0,1)Y (1,0,0,1)(0,1,1,0)N (1,0,0,0)(0,1,1,1)N 第一次渡河第一次渡河第二次渡河第二次渡河 (1,1,0,0)(1,0,1,1)U(0,1,0,1)+(1,0,1,0)=(1,1,1,1)R (1,0,0,1)(1,1,0,0)U (1,0,0,0)(1,1,0,1)Y 渡河过程：运算渡河过程：运算 可取状态向量与一

22、个可取运载向量相加，相加时每一分量按二进制法则二进制法则进行计算。例如 (1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,0,1)?从(1,1,1,1)经过若干次运算化为(0,0,0,0)(1,1,0,0)(0,0,0,1)Y(1,1,0,1)+(1,0,1,0)=(0,1,1,1)N (1,0,0,1)(0,1,0,0)Y (1,0,0,0)(0,1,0,1)R.计算机编程计算，从(1,1,1,1)转化为(0,0,0,0)，最后将整个运算过程“翻译”回去，就可以得到结果。第三次渡河第三次渡河1）记录可取状态A和运载向量B;2）将(1,1,1,1)与运载向量B相加（1-4循环）；3）判断相加的

23、结果是否在可取状态A中：对可取的状态记录相应的运载向量和相加的结果；4）对可行的相加结果继续循环进行加法运算，直到出现(0,0,0,0)为止；5）显示每次的运载向量和运算结果（翻译）注意注意：1）要用一个数组记录每一步可行的运算结果；2）当偶数次的运算时要判断运算向量是否可取。编程步骤编程步骤：商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人 3名随从河小船(至多2人)随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求要求在安全的前提下(两岸

24、的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河类似问题类似问题:模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策D=(u,v)u+v=1,2 允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S按按转移律转移律由由s1=(3,3)到达到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110 穷举法 编程上机图图解解法法状态s=(x,y)16个格点 10个 点允许决策D 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态SS=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2D=(u,v)u+v=1,2