概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案.pdf

《概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案.pdf（29页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计复旦大学出概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案版社第二章课后答案概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二答案1.1.一袋中有一袋中有 5 5 只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，在其中同时取在其中同时取 3 3 只，以只，以X表示取出的表示取出的 3 3 只球只球中的最大号码，写出随机变量中的最大号码，写出随机变量X的分布律的分布律.【解】【解】X的可能取值为的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为其取不同值的概率为故所求分布律为故所求分布律为X XP P3 30.10.14 40.30.35 50.60.62.2.设在设

2、在 1515 只同类型零件中有只同类型零件中有 2 2 只为次品，在其只为次品，在其中取中取 3 3 次，每次任取次，每次任取1 1 只，作不放回抽样，以只，作不放回抽样，以X X 表示取出的次品个数，求：表示取出的次品个数，求：（1 1）X X 的分布律；的分布律；（2 2）X X 的分布函数并作图；的分布函数并作图；33,P1 X,P1 X,P1 X 2.(3)(3)PX 1222【解】【解】X的可能取值为的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为其取不同值的概率为故故X的分布律为的分布律为X0 022P351 112352 2135（2 2）当）当x 0时，时，F(x)PX x022当当

3、0 x 1时，时，F(x)PX x PX 035当当1 x 2时，时，F(x)PX x PX 0 PX 13435当当x 2时，时，F(x)PX x PX 0PX 1PX 21故故X的分布函数的分布函数(3)(3)3.3.射手向目标独立地进行了射手向目标独立地进行了 3 3 次射击，每次击中次射击，每次击中率为率为 0.80.8，求，求 3 3 次射击中击中目标的次数的分次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求布律及分布函数，并求 3 3 次射击中至少击中次射击中至少击中 2 2次的概率次的概率.【解】设【解】设X表示表示 3 3 次射击中击中目标的次数次射击中击中目标的次数.则则X的可

4、能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，显然，显然X b(3,0.8)其取不其取不同值的概率为同值的概率为故故X的分布律为的分布律为X0 0P0.0080.008X1 10.0960.0962 20.3840.3843 30.5120.512分布函数分布函数3 3 次射击中至少击中次射击中至少击中 2 2 次的概率为次的概率为4.4.（1 1）设随机变量）设随机变量 X X 的分布律为的分布律为Px k a kk!，其中其中 k k=0=0，1 1，2 2，0 0 为常数，试为常数，试确定常数确定常数 a a.（2 2）设随机变量）设随机变量 X X 的分布律为的分布律为Px k

5、aN，k k=1=1，2 2，N N，试确定常数试确定常数 a a.【解】【解】（1 1）由分布律的性质知）由分布律的性质知故故a e(2)(2)由分布律的性质知由分布律的性质知即即a 1.5.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,0.6,0.7,今各投今各投 3 3 次，求：次，求：（1 1）两人投中次数相等的概率）两人投中次数相等的概率;（2 2）甲比乙）甲比乙投中次数多的概率投中次数多的概率.【解】设【解】设X、Y分别表示甲、乙投中次数，则分别表示甲、乙投中次数，则X b(3,0.6)Y b(3,0.7),+(1)(1)PX YPX 0,Y

6、0PX 1,Y 1PX 2,Y 2PX 3,Y 3212(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)C30.7(0.3)22C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3=0.243=0.243(2)(2)PX Y PX 1,Y 0PX 2,Y 0PX 3,Y 02322(0.6)3C130.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.36.6.设某机场每天有设某机场每天有 200200 架飞机在此降落，任一飞架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为机在某一时刻降落的概率设为 0.020.02，且设各飞且设各飞机降落是相互独立的机降落是相互独立的.试问该机场需配备多

7、少试问该机场需配备多少条跑道，条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于没有空闲跑道的概率小于 0.01(0.01(每条跑道只能每条跑道只能允许一架飞机降落允许一架飞机降落)？【解】设【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则为某一时刻需立即降落的飞机数，则X b(200,0.02)，设机场需配备，设机场需配备N条跑道，根据条跑道，根据题意有题意有即即CkN1200k200(0.02)k(0.98)200k 0.01利用泊松定理近似计算利用泊松定理近似计算查表得查表得N N9.9.故机场至少应配备故机场至少应配备9 9条跑道条跑道.7.7.有

8、一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每每辆辆车车在在一一天天的的某某时时段段出出事事故故的的概概率率为为0.0001,0.0001,在某天的该时段内有在某天的该时段内有10001000 辆汽车通辆汽车通过，问出事故的次数不小于过，问出事故的次数不小于 2 2 的概率是多少的概率是多少（利用泊松定理）？（利用泊松定理）？【解】设【解】设 X X 表示出事故的次数，则表示出事故的次数，则 X X b b（10001000，0.00010.0001）8.8.已知在五重贝努里试验中成功的次数已知在五重贝努里试验中成功的次数 X X 满足满足P P X X=1=

9、1=P P X X=2=2，求概率，求概率 P P X X=4.=4.【解】设在每次试验中成功的概率为【解】设在每次试验中成功的概率为 p p，则，则故故p 13)所以所以P(X 4)C(134542103243.9.9.设事件设事件 A A 在每一次试验中发生的概率为在每一次试验中发生的概率为 0.30.3，当当 A A 发生不少于发生不少于 3 3 次时，指示灯发出信号，次时，指示灯发出信号，(2)(2)2.5ke2.55,k 0,1,2,2.5PX kk!2k011.11.设设 P P X X=k k=C Ck2pk(1 p)2km4,k k=0,1,2=0,1,2pm(1 p)4mP

10、P Y Y=m m=C C,m m=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4分别为随机变量分别为随机变量 X X，Y Y 的概率分布，如果已的概率分布，如果已5知知 P P X X1=1=9，试求，试求 P P Y Y1.1.54【解】因为【解】因为P(X 1)9，所以，所以P(X 1)9.即即P(X 0)(1 p)249.，可得，可得p 134从而从而P(Y 1)1P(Y 0)1(1 p)65 0.802478112.12.某教科书出版了某教科书出版了 20002000 册，因装订等原因造成册，因装订等原因造成错误的概率为错误的概率为 0.0010.001，试求在这试求在这 20002000

11、册书中册书中恰有恰有 5 5 册错误的概率册错误的概率.【解】令【解】令 X X 为为 20002000 册书中错误的册数，则册书中错误的册数，则XbXb(2000,0.001).(2000,0.001).利用泊松定理近似计算利用泊松定理近似计算,13.13.进行某种试验，成功的概率为进行某种试验，成功的概率为3，失败的，失败的4概率为概率为1.以以 X X 表示试验首次成功所需试验的次表示试验首次成功所需试验的次4数，试写出数，试写出X的分布律，并计算的分布律，并计算X取偶数的概率。取偶数的概率。【解】【解】X的可能取值为的可能取值为1,2,3,，X的分布律为的分布律为X取偶数的概率为取偶数

12、的概率为14.14.有有 25002500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡在一年中每个人死亡的概率为的概率为 0.0020.002，每个参加保险的人在，每个参加保险的人在 1 1 月月1 1 日须交日须交 1212 元保险费，而在死亡时家属可元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取从保险公司领取 20002000 元赔偿金元赔偿金.求：求：（1 1）保险公司亏本的概率）保险公司亏本的概率;（2 2）保险公司获利分别不少于）保险公司获利分别不少于 1000010000 元、元、2000020000 元的概率

13、元的概率.【解】以“年”为单位来考虑【解】以“年”为单位来考虑.（1 1）在）在 1 1 月月 1 1 日，保险公司总收入为日，保险公司总收入为 2500250012=3000012=30000 元元.设设 1 1 年中死亡人数为年中死亡人数为X，则，则X b(2500,0.002)，则，则所求概率为所求概率为由于由于 n n 很大，很大，p p 很小，很小，=npnp=5=5，故用泊松，故用泊松定理近似计算，有定理近似计算，有(2)(2)P P(保险公司获利不少于保险公司获利不少于 10000)10000)即保险公司获利不少于即保险公司获利不少于 1000010000 元的概率在元的概率在9

14、8%98%以上以上P P（保保 险险 公公 司司 获获 利利 不不 少少 于于2000020000）P(300002000X 20000)P(X 5)即保险公司获利不少于即保险公司获利不少于 2000020000 元的概率约元的概率约为为 62%62%15.15.已知随机变量已知随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为f f(x x)=)=A Ae e|x x|,x x+,求：求：（1 1）A A 值；值；（2 2）P P00X X1;1;(3)(3)F F(x x).).【解】【解】（1 1）由）由f(x)dx 1得得故故A1.2(2)(2)p(0 X 1)11x11e dx(1e)022

15、x(3)(3)当当 x x00 时，时，F(x)1x1e dx ex22x当当 x x0 0 时，时，F(x)故故 1xe,2F(x)11ex2x 0 x 001x11|x|edx exdxexdx220216.16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命管使用寿命 X X 的密度函数为的密度函数为求：求：（1 1）在开始在开始 150150 小时内没有电子管损坏的概小时内没有电子管损坏的概率；率；（2 2）在这段时间内有一只电子管损坏的概）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；率；（3 3）F F（x x）.【解】【解】（1 1）电子管寿命小于）

16、电子管寿命小于 150150 小时的概率为小时的概率为150150 小时内没有电子管损坏的概率为小时内没有电子管损坏的概率为(2)(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率在这段时间内有一只电子管损坏的概率为为p21 224 C1()33 39(3)(3)当当 x x100100 时时 F F（x x）=0=0当当 x x100100 时时F(x)f(t)dtx故故100,x 1001F(x)xx 00,17.17.在区间在区间0 0，a a上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X X表示这质点的坐标，设这质点落在表示这质点的坐标，设这质点落在0 0，a a中任意小区间内的概率与这小区间

17、长度成中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求正比例，试求 X X 的分布函数的分布函数.【解】由题意知【解】由题意知 X X 0,0,a a，密度函数为，密度函数为故当故当 x x0 a a 时，时，F F（x x）=1=1).某顾客在窗口等某顾客在窗口等分钟计）服从指数分布分钟计）服从指数分布E(15待服务，若超过待服务，若超过 1010 分钟他就离开分钟他就离开.他一个月他一个月要到银行要到银行 5 5 次，次，以以 Y Y 表示一个月内他未等到表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出服务而离开窗口的次数，试写出 Y Y 的分布的分布律，并求律，并求 P P Y Y1.1

18、.)，即其密度函数为，即其密度函数为【解】依题意知【解】依题意知X E(15该顾客未等到服务而离开的概率为该顾客未等到服务而离开的概率为Y b(5,e2),即其分布律为即其分布律为20.20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X X服从服从 N N（4040，10102 2）；第二条路程较长，但阻；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间塞少，所需时间 X X 服从服从 N N（5050，4 42 2）.（1 1）若动身时离火车开车只有）若动身时离火车开车只有 1 1 小时，问应小时，问应

19、走哪条路能乘上火车的把握大些？走哪条路能乘上火车的把握大些？（2 2）又若离火车开车时间只有又若离火车开车时间只有 4545 分钟，分钟，问应问应走哪条路赶上火车把握大些？走哪条路赶上火车把握大些？【解】【解】（1 1）若走第一条路，）若走第一条路，XNXN（4040，10102 2），则，则若走第二条路，若走第二条路，XNXN（5050，4 42 2），则，则故走第二条路乘上火车的把握大些故走第二条路乘上火车的把握大些.（2 2）若）若 XNXN（4040，10102 2），则，则若若 XNXN（5050，4 42 2），则，则故走第一条路乘上火车的把握大些故走第一条路乘上火车的把握大些.2

20、1.21.设设 X X N N（3 3，2 22 2），（1 1）求）求 P P22X X 55，P P 44X X 1010，P P X X22，P P X X3;3;（2 2）确定）确定 c c 使使 P P X Xc c=P P X Xc c.23X 353【解】【解】（1 1）P(2 X 5)P222(2)(2)由由P(X c)P(X c)得得 X 3c3 X 3c3P P2222c3 c3 c3即即1，0.5，故，故c 3.22222.22.由由 某某 机机 器器 生生 产产 的的 螺螺 栓栓 长长 度度（cmcm）X X N N（10.05,0.0610.05,0.062 2）,规

21、定长度在规定长度在 10.0510.050.120.12 内为合内为合格品格品,求一螺栓为不合格品的概率求一螺栓为不合格品的概率.X 10.050.12【解】【解】P(|X 10.05|0.12)P0.060.0623.23.一工厂生产的电子管寿命一工厂生产的电子管寿命 X X（小时）（小时）服从正态服从正态分布分布 N N（160160，2 2），若要求若要求 P P120120X X2002000.80.8，允许，允许最大不超过多少？最大不超过多少？120160X 160200160【解】【解】P(120 X 200)P4031.25故故1.2924.24.设随机变量设随机变量 X X 分

22、布函数为分布函数为F F（x x）=A Bext,x 0,(0),x 0.0,（1 1）求常数）求常数 A A，B B；（2 2）求）求 P P X X22，P P X X33；（3 3）求分布密度）求分布密度 f f（x x）.【解】【解】（1 1）由）由lim F(x)1xlim F(x)lim F(x)x0 x0A1得得B 1（2 2）P(X 2)F(2)1e2(3)(3)ex,x 0f(x)F(x)x 00,25.25.设随机变量设随机变量 X X 的概率密度为的概率密度为f f（x x）=x,2 x,0,0 x 1,1 x 2,其他其他.求求 X X 的分布函数的分布函数 F F（x

23、 x），并画出，并画出 f f（x x）及及 F F（x x）.【解】当【解】当 x x00 时时 F F（x x）=0=0当当 0 0 x x11 时时F(x)f(t)dt xx0f(t)dt f(t)dt0 x当当 1 1x2x0;0;bx,1f(x)2,x0,0 x 11 x 2其它试确定常数试确定常数 a a,b b，并求其分布函数，并求其分布函数 F F（x x）.【解】【解】（1 1）由）由|x|xf(x)dx 1知知1aedx 2aedx 02a故故a 2即密度函数为即密度函数为xe,x 02f(x)exx 02x当当 x x0 0 时时F(x)当当 x x00 时时F(x)故其

24、分布函数故其分布函数(2)(2)由由1xf(x)dx 01exdx ex22xf(x)dx 2exdxx20exdxf(x)dx bxdx01211b1dx x222得得 b b=1=1即即 X X 的密度函数为的密度函数为当当 x x0 0 时时 F F（x x）=0=0当当 00 x x11 时时F(x)f(x)dx x0f(x)dxf(x)dx0 x当当 1 1x x200 时，时，F(y)P(Y y)P(eYx y)P(X ln y)故故dFY(y)111ln2yfY(y)fx(ln y)e,y 0dyyy222(2)(2)由由Y 2X 11可知可知Y当当 y y1 1 时，时，F(y

25、)P(Y y)0当当 y y11 时，时，F(y)P(Y y)P(2XY21 y)故故d1fY(y)FY(y)dy42fXy 1y 1y 1 fX22(3)(3)由由 Y Y=X X可知可知P(Y 0)1当当 y y0 0 时时F(y)P(Y y)0Y当当 y y00 时时F(y)P(|X|y)P(y X y)Y故故fY(y)dFY(y)fX(y)fX(y)dy31.31.设随机变量设随机变量 X X U U（0,10,1），试求：，试求：（1 1）Y e的分布函数及密度函数；的分布函数及密度函数；X（2 2）Z 2ln X的分布函数及密度函数的分布函数及密度函数.【解】【解】X的概率密度为的

26、概率密度为X1,0 x 1fX(x)0,其它（1 1）由）由P(0 X 1)1,Y e,得得P(1Y e)1当当y 1时，时，F(y)P(Y y)0Y当当 11y yee 时，时，F(y)P(eYX y)P(X ln y)当当 y ye e 时，时，F(y)P(eYX y)1即分布函数即分布函数故故 Y Y 的密度函数为的密度函数为（2 2）由由 P P（00X X100 时，时，F(z)P(Z z)P(2ln X z)Z即分布函数即分布函数故故 Z Z 的密度函数为的密度函数为32.32.设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为试求试求 Y Y=sin=sinX X 的密度函数

27、的密度函数.【解解】因因为为P(0 X)1,由由 Y Y=sin=sinX X 可可知知P(0 Y 1)1，Y当当 y y0 0 时，时，F(y)P(Y y)0当当 00y y11 时，时，F(y)P(Y y)P(sin X y)Y当当 y y1 1 时，时，F(y)1Y故故 Y Y 的密度函数为的密度函数为33.33.设随机变量设随机变量 X X 的分布函数如下：的分布函数如下：试填上试填上(1),(2),(3)(1),(2),(3)项项.【解】由【解】由limF(x)1知填知填 1 1。x由右连续性由右连续性lim F(x)F(x)1知知x+xx000 0，故为故为 0 0。从而亦为从而亦

28、为 0 0。即。即34.34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 6 点为点为止，求抛掷次数止，求抛掷次数 X X 的分布律的分布律.【解解】设设 A Ai i=第第 i i 枚枚 骰骰 子子 出出 现现 6 6 点点 。（i=1,2i=1,2）,P P(A Ai i)=)=1.且且 A A1 1与与 A A2 2相互独立。相互独立。6再设再设 C C=每次抛掷出现每次抛掷出现 6 6 点点。则。则X可可 能能 的的 取取 值值 为为1,2,31,2,3k1，分分 布布 律律 为为 25Px k3611,k 1,2,3,36故抛掷次数故抛掷次数X服从参数为服从

29、参数为11的几何分布。的几何分布。3635.35.随机数字序列要多长才能使数字随机数字序列要多长才能使数字 0 0 至少出现至少出现一次的概率不小于一次的概率不小于 0.9?0.9?【解】【解】令令 X X 为为 0 0 出现的次数，出现的次数，设数字序列中要包设数字序列中要包含含 n n 个数字，则个数字，则XbXb(n n,0.1),0.1)即即(0.9)n 0.1解得解得n n2222即随机数字序列至少要有即随机数字序列至少要有 2222 个数字。个数字。36.36.已知已知F F（x x）=0,1x,21,x 0,10 x,21x.2则则 F F（x x）是（）随机变量的分布函数）是（

30、）随机变量的分布函数.（A A）连续型；）连续型；（B B）离散型；）离散型；（C C）非连续亦非离散型）非连续亦非离散型.【解】因为【解】因为 F F（x x）在（）在（,+,+）上单调不减右）上单调不减右连续，且连续，且lim F(x)0 xxlim F(x)1,所以所以 F F（x x）是一个分布函数。）是一个分布函数。但是但是 F F（x x）在）在 x x=0=0 处不连续，也不是阶处不连续，也不是阶梯状曲线，故梯状曲线，故 F F（x x）是非连续亦非离散）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（型随机变量的分布函数。选（C C）37.37.设在区间设在区间 a a,b b 上，

31、随机变量上，随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为f f(x x)=sin)=sinx x，而在而在 a a,b b 外，外，f f(x x)=0)=0，则区间则区间 a a,b b 等于（）等于（）(A A)(B B)0,0,;.(C C)/2,0;(D)0,/2,0;(D)0,320,0,/2;/2;【解】在【解】在0,2上上 sinsinx x0 0，且，且/20sin xdx 1.故故 f f(x x)是密是密度函数。度函数。在在0,上上0sin xdx 2 1.故故 f f(x x)不是密度函数。不是密度函数。,0上上sin x 0，故，故 f f(x x)不是密度函数。不是密度

32、函数。在在23上，当上，当 x 时，时，sinsinx x000）=1=1，故，故 0101 e e 2 2X X11，即，即 P P（00Y Y11）=1=1当当 y y0 0 时，时，F FY Y（y y）=0=0当当 y y1 1 时，时，F FY Y（y y）=1=1当当 00y y11 时，时，F(y)P(Y y)P(eY2x1 y)即即 Y Y 的密度函数为的密度函数为即即 YUYU（0 0，1 1）41.41.设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为f f(x x)=)=13,0 x 1,2,3 x 6,9其他.0,若若 k k 使得使得 P P X Xk k=2/

33、3=2/3，求，求 k k 的取值范围的取值范围.(2000(2000 研考研考)1【解】由【解】由 P P（X Xk k）=2知知 P P（X X k k）=33若若 k k0,0,P P(X X k k)=0)=0若若 0 0k k1,1,P P(X X k k)=)=当当 k k=1=1 时时 P P（X X k k）=13若若 1 1k k3 3 时时 P P（X X k k）=10k11dx0dx 03131k01k1dx 333dx若若 33k k6 6，则则 P P（X X 6,6,则则 P P（X X k k）=1=1故只有当故只有当 1 1k k3 3 时满足时满足 P P（

34、X Xk k）=2.342.42.设随机变量设随机变量 X X 的分布函数为的分布函数为F F(x x)=)=求求X Xx 1,0,0.4,1 x 1,0.8,1 x 3,x 3.1,分分布布.的的概概率率（19911991 研考）研考）【解】由离散型随机变量【解】由离散型随机变量 X X 分布律与分布函数分布律与分布函数之间的关系，可知之间的关系，可知 X X 的概率分布为的概率分布为X XP P 1 10.40.41 10.40.43 30.20.243.43.设三次独立试验中，事件设三次独立试验中，事件 A A 出现的概率相等出现的概率相等.若已知若已知 A A 至少出现一次的概率为至少

35、出现一次的概率为 19/2719/27，求，求A A 在一次试验中出现的概率在一次试验中出现的概率.【解】令【解】令 X X 为三次独立试验中为三次独立试验中 A A 出现的次数，出现的次数，若设若设P(A)p,则则3 38由由 P P（X X1 1）=19知知 P P（X X=0=0）=（1 1 p p）=2727故故 p p=1344.44.若随机变量若随机变量 X X 在（在（1 1，6 6）上服从均匀分布，）上服从均匀分布，则方程则方程 y y2 2+XyXy+1=0+1=0 有实根的概率是多少？有实根的概率是多少？【解】【解】X X 的密度函数为的密度函数为1,1 x 6f(x)50

36、,其他+方程方程 y y2 2+XyXy+1=0+1=0 有实根的概率为有实根的概率为45.45.若随机变量若随机变量X N(2,)，且，且 P P22X X4=0.34=0.3，则，则2P P X X0=.0=.2X 242)【解】由【解】由0.3 P(2 X 4)P(22)0.8得得(22)()因此因此P(X 0)P(X2046.46.假设一厂家生产的每台仪器，假设一厂家生产的每台仪器，以概率以概率 0.70.7 可以可以直接出厂；以概率直接出厂；以概率 0.30.3 需进一步调试，经调需进一步调试，经调试后以概率试后以概率 0.80.8 可以出厂，以概率可以出厂，以概率 0.20.2 定

37、为定为不合格品不能出厂不合格品不能出厂.现该厂新生产了现该厂新生产了n n(n n2)2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）立）.求求（1 1）全部能出厂的概率）全部能出厂的概率；（2 2）其中恰好有两台不能出厂的概率）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3 3）其中至少有两台不能出厂的概率）其中至少有两台不能出厂的概率.【解】设【解】设 A A=需进一步调试需进一步调试，B B=仪器能出厂仪器能出厂，则则A=能直接出厂能直接出厂，ABAB=经调试后能出厂经调试后能出厂 由题意知由题意知 B B=AABAB，且，且令令 X X 为新生产的为新生产的 n n

38、 台仪器中能出厂的台台仪器中能出厂的台数，则数，则 X X66（n n，0.940.94）,故故47.47.某地抽样调查结果表明，某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩考生的外语成绩（百（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为分制）近似服从正态分布，平均成绩为 7272分，分，9696 分以上的占考生总数的分以上的占考生总数的 2.3%2.3%，试求，试求考生的外语成绩在考生的外语成绩在 6060 分至分至 8484 分之间的概分之间的概率率.【解】设【解】设 X X 为考生的外语成绩，则为考生的外语成绩，则X)0.977故故(24 2,即即=12=12查表知查表知24近似 N(72,2)，从而从

39、而X近似 N(72,122)6072X 728472故故P(60 X 84)P12121248.48.在电源电压不超过在电源电压不超过 200V200V、200V240V200V240V 和超过和超过240V240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为率分别为 0.10.1，0.0010.001 和和 0.20.2（假设电源电压（假设电源电压X X 服从正态分布服从正态分布 N N（220220，25252 2）.试求：试求：（1 1）该电子元件损坏的概率）该电子元件损坏的概率;(2)(2)该该 电电 子子 元元 件件 损损 坏坏 时时，电电 源源 电电

40、压压 在在200240V200240V 的概率的概率【解】设【解】设 A A1 1=电压不超过电压不超过 200V200V，A A2 2=电压在电压在200240V200240V，A A3 3=电压超过电压超过 240V240V，B B=元件损坏元件损坏。由由 X X N N（220220，25252 2）知）知由全概率公式有由全概率公式有由贝叶斯公式有由贝叶斯公式有49.49.设随机变量设随机变量 X X 在区间（在区间（1 1，2 2）上服从均匀分）上服从均匀分布，试求随机变量布，试求随机变量 Y Y=e=e2 2X X的概率密度的概率密度 f fY Y(y y).).【解】【解】X的概率

41、密度为的概率密度为f1,1 x 2(x)X0,其它因为因为 P P（11X X22）=1,=1,故故 P P（e e2 2 Y Yee4 4）=1=1当当 y ye e2 2时，时，F FY Y（y y）=P P(Y Yy y)=0.)=0.当当 e e2 2 y ye11 时，时，F(y)P(Y y)P(eYX y)P(X ln y)即即11,FY(y)y0,y1y 1分布函数关于分布函数关于y求导，得求导，得Y概率密度概率密度51.51.设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为1f fX X(x x)=)=(1,x)2求求 Y Y=1=1 x的密度函数的密度函数 f fY Y

42、(y y).).3【解】对任意实数【解】对任意实数y，分布函数，分布函数分布函数关于分布函数关于y求导，得求导，得Y概率密度概率密度52.52.假设一大型设备在任何长为假设一大型设备在任何长为 t t 的时间内发生的时间内发生故障的次数故障的次数 N N（t t）服从参数为）服从参数为 t t 的泊松分的泊松分布布.（1 1）求相继两次故障之间时间间隔）求相继两次故障之间时间间隔 T T 的概的概率分布（分布函数）率分布（分布函数）；（2 2）求在设备已经无故障工作）求在设备已经无故障工作 8 8 小时的情小时的情形下，再无故障运行形下，再无故障运行 8 8 小时的概率小时的概率Q Q.（19

43、931993 研考）研考）【解】【解】（1 1）当）当 t t0 t t 与与 N N(t t)=0)=0等价，有等价，有即即1et,t 0FT(t)t 00,即间隔时间即间隔时间 T T 服从参数为服从参数为的指数分布。的指数分布。（2 2）Q P(T 16|T 8)P(T 16)e168 e8P(T 8)e53.53.设设 随随 机机 变变 量量X的的 绝绝 对对 值值 不不 大大 于于1 1，P P X X=1=1/81=1/8，P P X X=1=1/4.=1=1/4.在事件在事件 11X X11出现的条件下，出现的条件下，X在在1,1内任一子区间上取内任一子区间上取值的条件概率与该子

44、区间长度成正比，值的条件概率与该子区间长度成正比，试求试求X的的 分分 布布 函函 数数F F（x x）=P P X X x x.(1997(1997 研考研考)【解】显然，当【解】显然，当x 1时，分布函数时，分布函数F(x)0；当当x 1时，时，F(x)115由题知由题知P(1 X 1)118481当当1 x 1时，时，P(X x|1 X 1)x2（区间（区间1,x的的长度为长度为x1）此时分布函数此时分布函数F(x)P(X x)故故X的分布函数的分布函数54.54.设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布N(,),Y服从正服从正211态分布态分布N(,)，且，且222PX 11 P

45、X 21，试试比比较较 1 1与与 2 2的的大大小小.，Y2(2006(2006 研考研考)解：依题意解：依题意X11N(0,1)2N(0,1)，则，则P X 11 PX 11Y 211，PY 21 P212.因为因为PX P11 PY 21，即，即1X 11111 PY 122(11)(12)，所以有所以有1112，即，即212.5555 设设F(x)与与F(x)为两个随机变量的分布函数，其为两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度相应的概率密度f(x)和和f(x)是连续函数，是连续函数，则必为概则必为概12率密度的是（）率密度的是（）。解由题意知解由题意知F(x)f(x)，F(x)f(x)，对选择题，对选择题(D)项有项有1122故选故选D.