《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第五章.pdf

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1、习题五习题五1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P10X1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？2【解】【解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2）从而 301000.2 PX 301PX 301 1000.20.8 1(2.5) 10.9938 0.0062.6. 某药厂断言， 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于75 人治愈，就接受这一断言，否则

2、就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？1,第i人治愈,【解】【解】Xi0,其他.令X i 1,2,100.X .ii1100(1) XB(100,0.8)， 751000.8 PXi 751PX 751i1 1000.80.2 1(1.25) (1.25) 0.8944.(2) XB(100,0.7)，100 751000.7 PXi 751PX 751i1 1000.70.3 1(1005) 1(1.09) 0.1379.217. 用 Laplace 中心极限

3、定理近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000 件，其中有20 件废品的概率.【解】【解】令 1000 件中废品数 X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故PX 2011 205030 6.8956.89547.547.5 1306 4.510 .6.8956.8958. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命 T1，T30服从参数 =0.1单位： （小时）-1的指数3分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用， 以此类推.令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率.【解】【解】E(Ti) 1

4、1110,D(Ti) 2100,0.1E(T) 1030 300,D(T) 3000.故3503005 PT 350111(0.913) 0.1814.3000 30 9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为8 小时）.【解】【解】设至少需 n 件才够用.则 E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而P故T 3068 0.95,即0.05 ii1n306810n.10 nn244.8,n10n24480.95 ,10 n1.64 n 272.所以需 272

5、a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？（2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于340 的概率.【解】【解】 （1） 以 Xi(i=1,2,400)记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为Xi012P0.050.8易知 E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而X 0.15Xi400i,由中心极限定理得

6、400iXi4001.14000.19X 4001.1近似地N(0,1).419于是PX 4501PX 45011(1.147) 0.1357. 4504001.1419(2) 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则 YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得4 3404000.8 PY 340 (2.5) 0.9938.4000.80.2 11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】【解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000.由中心极限定理有 5

7、000100000.515 PX 5000 (3)1(3) 0.00135. 100000.5150.485 12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】【解】用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）.令Sn=X1+X2+X1000.(1) 设至少有 m 人能够进入掩蔽体，要求PmSn10000.95，事件S 900 m10000.9m Snn.90 10000.90.1由中心极限定理知： m10000.9 Pm Sn1PSn m1 0.

8、95. 10000.90.1从而 m900 0.05,90m900 1.65,90故所以m=900-15.65=884.35884 人(2) 设至多有 M 人能进入掩蔽体，要求P0SnM0.95. M 900PSn M 0.95.90查表知M 900=1.65,M=900+15.65=915.65916 人.9013. 在一定保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000 元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000 元的概率为多大？【解】【解】设 X

9、为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB（10000，0.006）.5(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=1000012”即“X=120”.于是所求概率为PX 1201120100000.006100000.0060.994 100000.0060.994 1 (60/1e259.6459.64)2116059.6459.64 2 0.0517e30.1811 0(2) 因为“公司利润60000”当且仅当“0X60”于是所求概率为60100000.0060100000.006P0 X 60 100000.0060.994 100000.0060.994 (0)60 0.5.59.64 14

10、. 设随机变量 X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5 试根据契比雪夫不等式给出 P|X-Y|6的估计.（2001 研考）【解】【解】令 Z=X-Y，有E(Z) 0,D(Z) D(X Y) D(X)D(Y)2XPD(X)所以D(Y) 3.P| Z E(Z)| 6 P| X Y | 6D(X Y)31.26361215. 某保险公司多年统计资料表明， 在索赔户中，被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出 X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14 户且不多于 30 户的

11、概率近似值.（1988 研考）【解】【解】 （1） X 可看作 100 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是 0.2，因此，XB(100,0.2)，故 X 的概率分布是kPX k C1000.2k0.8100k,k 1,2,100.(2) 被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率即为事件14X30的概率.由中心极限定理，得 301000.2 141000.2 P14 X 30 1000.20.8 1000.20.8 (2.5)(1.5) 0.9949.33 0.927.16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重 50 千克，标

12、准差为 5 千克， 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运， 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.6【解】设 Xi（i=1,2,n）是装运 i 箱的重量（单位：千克） ，n 为所求的箱数，由条件知，可把 X1，X2，Xn视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量 Tn=X1+X2+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：E(Xi) 50,D(Xi) 5,E(Tn) 50n,D(Tn) 5 n.依中心极限定理，当 n 较大时，Tn50n近似地5 nN(0,1),故箱数 n 取决于条件PTT 50n500050nn5000 Pn5 n5 n 100010nn 0.977 (2).因此可从100010nn 2解出 n98.0199,即最多可装 98 箱.7