概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后答案(供参考).pdf

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1、文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二答案1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3 只，以X表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】【解】X的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为故所求分布律为XP30.140.350.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；(3)PX,P1 X,P1 X,P1 X 2.【解】【

2、解】X的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为故X的分布律为012123232（2）当x 0时，F(x)PX x0当0 x 1时，F(x)PX x PX 022353435当1 x 2时，F(x)PX x PX 0 PX 1当x 2时，F(x)PX x PX 0PX 1PX 21故X的分布函数(3)3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】【解】设X表示3次射击中击中目标的次数.则X的可能取值为0，1，2，3，显然X b(3,0.8)其取不同值的概率为故X的分布律为00.008

3、10.09620.38430.512X分布函数3 次射击中至少击中 2 次的概率为4.（1）设随机变量 X 的分布律为Px k a kk!，其中 k=0，1，2，0 为常数，试确定常数a.1word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。（2）设随机变量 X 的分布律为Px k试确定常数 a.【解】【解】（1）由分布律的性质知a，k=1，2，N，N故a e(2)由分布律的性质知即a 1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投 3 次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率

4、.【解】【解】设X、Y分别表示甲、乙投中次数，则X b(3,0.6),Y b(3,0.7)(1)PX YPX 0,Y 0PX 1,Y 1PX 2,Y 2PX 3,Y 3212222233(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)C30.7(0.3)+C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3(0.6)(0.7)(2)PX Y PX 1,Y 0PX 2,Y 0PX 3,Y 02322(0.6)3C130.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑

5、道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，根据题意有即kN1200k200kCk 0.01200(0.02)(0.98)利用泊松定理近似计算查表得 N9.故机场至少应配备 9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】【解】设 X 表示出事故的次数，则Xb（1000，0.0001）

6、8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足 PX=1=PX=2，求概率 PX=4.【解】【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故p 134所以P(X 4)C5()14210.332439.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；2word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。（2）进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】【解】设B表示指示灯发出信号（1）设 X 表示 5 次独立试验中 A

7、发生的次数，则X B(5,0.3)。所求概率为(2)令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则Y B(7,0.3)，所求概率为10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】【解】t的泊松分布，2t21.5ke1.53,k 0,1,2,（1）1.5PX kk!2k032从而P(X 0)e 0.22312.5ke2.55,k 0,1,2,(2)2.5PX kk!2k0kk2k11.设PX=

8、k=C C2p(1 p),k=0,1,2mm4mPY=m=C C4p(1 p),m=0,1,2,3,4分别为随机变量 X，Y 的概率分布，如果已知PX1=【解】【解】因为P(X 1)5，试求 PY1.954，所以P(X 1).99412即P(X 0)(1 p)，可得p.39从而P(Y 1)1P(Y 0)1(1 p)465 0.802478112.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书中恰有 5 册错误的概率.【解】【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松定理近似计算,31，失败的概率为.以 X

9、表示试验首次成功所需试44验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。13.进行某种试验，成功的概率为【解】【解】X的可能取值为1,2,3,，X的分布律为X取偶数的概率为14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡3word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000 元、

10、20000 元的概率.【解】【解】以“年”为单位来考虑.（1）在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为X，则X b(2500,0.002)，则所求概率为由于 n 很大，p 很小，=np=5，故用泊松定理近似计算，有(2)P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上P（保险公司获利不少于20000）P(300002000X 20000)P(X 5)即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae|x|,x+,求：（1）A 值；（2）P0X1;(3

11、)F(x).【解】【解】（1）由f(x)dx 1得1.211x11(2)p(0 X 1)e dx(1e)202x11exdx ex(3)当 x0 时，F(x)22x101x1e|x|dx exdxexdx当 x0 时，F(x)2202故A 1xe,2故F(x)11ex2x 0 x 016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为求：（1）在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】【解】（1）电子管寿命小于 150 小时的概率为150 小时内没有电子管损坏的概率为(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率为p

12、2 C3(3)当 x100 时 F（x）=0当 x100 时F(x)x11 224()3 39f(t)dt4word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。100,x 1001故F(x)xx 00,17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.【解】【解】由题意知 X0,a，密度函数为故当 xa 时，F（x）=1即分布函数18.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大

13、于 3 的概率.【解】【解】XU2,5，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求 PY1.【解】【解】依题意知X E()，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为1515Y b(5,e2),即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从 N（50，42）.（1）若动身时离火车开车

14、只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则若走第二条路，XN（50，42），则故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若 XN（40，102），则若 XN（50，42），则故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，22），（1）求 P2X5，P4X10，PX2，PX3;（2）确定 c 使 PXc=PXc.【解】【解】（1）P(2 X 5)P 23X 353222 X 3c3 X 3c3 P2222(2)由P(X c)P(X c)得P5word 格式支持编辑

15、，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。即1 c3 c3 c3，0.5，故c 3.22222.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在 10.050.12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】【解】P(|X 10.05|0.12)P X 10.050.120.060.0623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布 N（160，2），若要求 P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】【解】P(120 X 200)P120160X 160200160故24.设随机变量 X 分布

16、函数为40 31.251.29A Bext,x 0,F（x）=(0),x 0.0,（1）求常数 A，B；（2）求 PX2，PX3；（3）求分布密度 f（x）.lim F(x)1A1x【解】【解】（1）由得lim F(x)lim F(x)B 1x0 x02（2）P(X 2)F(2)1eex,x 0(3)f(x)F(x)x 00,25.设随机变量 X 的概率密度为 x,f（x）=2 x,0,0 x 1,1 x 2,其他其他.求 X 的分布函数 F（x），并画出 f（x）及 F（x）.【解】【解】当 x0 时 F（x）=0当 0 x1 时F(x)当 1x0;bx,1(2)f(x)2,x0,0 x 1

17、1 x 2其它试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】（1）由f(x)dx 1知1ae|x|dx 2aexdx 02a故a 2xe,x 02即密度函数为f(x)exx 02当 x0 时F(x)当 x0 时F(x)故其分布函数(2)由1xxf(x)dx 01exdx ex22xf(x)dx 122e dxxx20exdxf(x)dx bxdx011b1dx 2x22得b=1即 X 的密度函数为当 x0 时 F（x）=0当 0 x1 时F(x)xf(x)dx 0f(x)dxf(x)dx0 x当 1x0 时，FY(y)P(Y y)P(e y)P(X ln y)8word 格式支持编辑，如

18、有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。dFY(y)111ln2yfx(ln y)e,y 0故fY(y)dyyy2(2)由Y 2X211可知当 y1 时，FY(y)P(Y y)02当 y1 时，FY(y)P(Y y)P(2X 1 y)2d1FY(y)故fY(y)dy4(3)由 Y=X可知P(Y 0)12fXy 1y 1y 1 fX22当 y0 时FY(y)P(Y y)0当 y0 时FY(y)P(|X|y)P(y X y)故fY(y)dFY(y)fX(y)fX(y)dy31.设随机变量 XU（0,1），试求：（1）Y e的分布函数及密

19、度函数；（2）Z 2ln X的分布函数及密度函数.X1,0 x 1【解】【解】X的概率密度为fX(x)0,其它（1）由P(0 X 1)1,Y e,得P(1Y e)1当y 1时，FY(y)P(Y y)0X当 1ye 时，FY(y)P(e y)P(X ln y)X当 ye 时，FY(y)P(e y)1X即分布函数故 Y 的密度函数为（2）由 P（0X0 时，FZ(z)P(Z z)P(2ln X z)9word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。即分布函数故 Z 的密度函数为32.设随机变量 X 的密度函数为试求 Y

20、=sinX 的密度函数.【解】【解】因为P(0 X)1,由Y=sinX可知P(0 Y 1)1，当 y0 时，FY(y)P(Y y)0当 0y1 时，FY(y)P(Y y)P(sin X y)当 y1 时，FY(y)1故 Y 的密度函数为33.设随机变量 X 的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项.【解】【解】由limF(x)1知填 1。xF(x)F(x0)1知x0 0，故为 0。由右连续性lim+xx0从而亦为 0。即34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6 点为止，求抛掷次数 X 的分布律.【解】【解】设 Ai=第 i 枚骰子出现 6 点。（i=1,2）,P(Ai)=抛掷出现 6 点

21、。则1.且 A1与 A2相互独立。再设C=每次6k1X可能的取值为 1,2,3 25，分布律为Px k3611,k 1,2,3,36故抛掷次数X服从参数为11的几何分布。3635.随机数字序列要多长才能使数字0 至少出现一次的概率不小于0.9?【解】【解】令 X 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则Xb(n,0.1)n即(0.9)0.1解得n22即随机数字序列至少要有22 个数字。36.已知0,1F（x）=x,21,则 F（x）是（）随机变量的分布函数.x 0,10 x,21x.210word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格

22、式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。（A）连续型；（B）离散型；（C）非连续亦非离散型.【解】【解】因为 F（x）在（,+）上单调不减右连续，且lim F(x)0 xxlim F(x)1,所以 F（x）是一个分布函数。但是 F（x）在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间a,b上，随机变量X 的密度函数为 f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b等于（）(A)0,/2;(B)0,;(C)/2,0;(D)0,3.2/2【解】【解】在0,上 sinx0，且sin xdx 1.故 f(x)是密度函数。02在0,

23、上在0sin xdx 2 1.故 f(x)不是密度函数。,0上sin x 0，故 f(x)不是密度函数。233在0,上，当 x 时，sinx0）=1，故 01e2X1，即 P（0Y1）=1当 y0 时，FY（y）=0当 y1 时，FY（y）=12x当 0y1 时，FY(y)P(Y y)P(e1 y)即 Y 的密度函数为即 YU（0，1）41.设随机变量 X 的密度函数为 13,0 x 1,2f(x)=,3 x 6,9其他.0,若 k 使得 PXk=2/3，求 k 的取值范围.(2000 研考)【解】【解】由 P（Xk）=21知 P（Xk）=33k若 k0,P(Xk)=01k1dx 03331当

24、 k=1 时 P（Xk）=311k1若 1k3 时 P（Xk）=dx0dx 031311k2211若 3k6，则 P（Xk）=dxdx k 0339933若 0k1,P(X6,则 P（Xk）=1故只有当 1k3 时满足 P（Xk）=42.设随机变量 X 的分布函数为2.3x 1,0,0.4,1 x 1,F(x)=0.8,1 x 3,x 3.1,求 X 的概率分布.（1991 研考）【解】【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为XP10.410.430.212word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑

25、，如有帮助欢迎下载支持。43.设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率为19/27，求 A在一次试验中出现的概率.【解】【解】令 X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P(A)p,则由 P（X1）=故 p=198知 P（X=0）=（1p）3=27271344.若随机变量 X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少？【解】【解】X 的密度函数为1,1 x 6+f(x)50,其他方程 y2+Xy+1=0 有实根的概率为245.若随机变量X N(2,)，且 P2X4=0.3，则PX0=.【解】由【解】由0.3 P(2 X 4)P(

26、22X 242)得()0.82因此P(X 0)P(X 2022)()46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7 可以直接出厂；以概率0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率.【解】【解】设 A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则A=能直接出厂，AB=经调试后能出厂由题意知 B=AAB，且令 X 为新生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则X6（n，0.94）,故47.某地抽样调查结果

27、表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96 分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率.【解】【解】设 X 为考生的外语成绩，则X N(72,)，故(近似224)0.97713word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。查表知从而X N(72,12)故P(60 X 84)P近似224 2,即=12 6072X 72847212121248.在电源电压不超过 200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为 0

28、.1，0.001 和 0.2（假设电源电压 X 服从正态分布 N（220，252）.试求：（1）该电子元件损坏的概率;(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V 的概率【解】【解】设 A1=电压不超过 200V，A2=电压在 200240V，A3=电压超过 240V，B=元件损坏。由 XN（220，252）知由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度 fY(y).【解】【解】X的概率密度为fX(x)1,1 x 20,其它因为 P（1X2）=1,故 P（e2Ye4）=1当 ye2时，FY（y）=P(Yy)=0.2X当

29、e2y1 时，FY(y)P(Y y)P(e y)P(X ln y)11,y即FY(y)0,分布函数关于y求导，得Y概率密度51.设随机变量 X 的密度函数为fX(x)=y1y 11,(1 x2)求 Y=13x的密度函数 fY(y).【解】【解】对任意实数y，分布函数分布函数关于y求导，得Y概率密度52.假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为 t 的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布（分布函数）；（2）求在设备已经无故障工作8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q.（1993研考）【解】【解】（1）当 tt与N(t)=0等价，有1et

30、,t 0即FT(t)t 00,即间隔时间 T 服从参数为的指数分布。P(T 16)（2）Q P(T 16|T 8)e168 e8P(T 8)e53.设随机变量X的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1X1出现的条件下，X在1,1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数 F（x）=PXx.(1997 研考)【解】【解】显然，当x 1时，分布函数F(x)0；当x 1时，F(x)1由题知P(1 X 1)1115848x1（区间1,x的长度为x1）2当1 x 1时，P(X x|1 X 1)此时此时分布函数F(x)P(X x)15word 格式支持编辑，

31、如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。故X的分布函数2254.设随机变量X服从正态分布N(1,1),Y服从正态分布N(2,2)，且PX 11 PX 21，试比较 1与 2的大小.(2006 研考)解：解：依题意X 11N(0,1)，Y 22X 1N(0,1)，则P X 11 P1Y 211，PY 21 P因为PX 11 PY 21，即212.PX 11111 P1Y 1212(11)(12)，所以有12，即12.55 设F1(x)与F2(x)为两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度f1(x)和f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是（）。解 由题意知F1(x)f1(x)，F2(x)f2(x)，对选择题(D)项有故选D.16word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。