高考数学圆锥曲线知识点总结.pdf

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1、高考数学圆锥曲线知识点总结方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线 C1，C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)

2、f1(x0,y0)0是 C1，C2 的交点f2(x0,y0)0方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)一般方程：当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(DE,)22半径是 E2-4F4D2 E2 4 F2。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

3、 化为DED2(x+2)2+(y+2)2=DE当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2,-2);当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则MCr点 M 在圆 C 内，MC=r点 M 在圆 C 上，MCr点 M 在圆 C 内，其中MC=(x0-a)2(y0-b)2。直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0d Aa

4、 BbCA2 B2的距离与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆、双曲线、抛物线性质对比椭圆双曲线抛物线1到两定点F1,F2 1 到两定点 F1,F2 的距的距离之和为定值 离之差的绝对值为定值2a(2a|F1F2|)的 点 2a(02a|F1F2

5、|)的 点定义的轨迹的轨迹与定点和直线的距离相等的点的轨迹.2与定点和直线的2 与定点和直线的距离距离之比为定值 e 的 之比为定值 e 的点的轨点的轨迹.（0e1）点 集：(M 点集：MMF1-轨迹条件F 1F22a=2a,F2F22a.MF1+MF2=2a,MF2.点集M MF=点M 到直线 l 的距离.图形标x2y2212ab(a b0)x2y2212ab(a0,b0)y2 2px方 准方程程参数方x acosy bsin(参数为离心角）x asecy btan(参数为离心角）x 2pt2y 2pt(t 为参数)程axa，范围byb|x|a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0

6、）顶点(a,0),(a,0),(a,0),(a,0)(0,b),(0,b)(0,0)x 轴，y 轴；对称轴x 轴，y 轴;x 轴长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b.焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)pF(,0)2a2x=ca2x=cpx=-2准线准线垂直于长轴，且 准线垂直于实轴，且在在椭圆外.两顶点的内侧.准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距22a b2c（c=）22a b2c（c=）离心率e c(0 e 1)ae c(e 1)ae=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线x2y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x，离心率

7、e 2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.x2a2x2y222ab与x2y22 2ab互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：y2b2 0.x2y2b2共渐近线的双曲线系方程：a2(0)xy 0a的渐近线方程为b如果双曲线的渐近x2y2xy2(0)02abab线为时，它的双曲线方程可设为.【备注 2】抛物线：pp（1）抛物线y=2px(p0)的焦点坐标是(2,0)，准线方程 x=-2，开口向右；抛物线2ppy2=-2px(p0)的焦点坐标是(-2,0)，准线方程 x=2，开口向左；抛物线x2=2py(p0)pp的焦点坐标是(0,2)，准线方程

8、y=-2，开口向上；pp2抛物线x=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-2），准线方程 y=2，开口向下.（2）抛物线y=2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离y=-2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离22MF x0p2；抛物线MF p x02p（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2，顶2p点到准线的距离2，焦点到准线的距离为 p.2y（4）已知过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=x1 x2+p 或AB 2psin2

9、(为直线 AB 的倾斜p2px1x2,AF x1242(AF叫做焦半径).角)，y1y2 p，五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy 中的坐标是 9x,y)，(x,y).设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy 中的在新坐标系 x Oy中的坐标是x xhx xh

10、坐标是(h,k)，则y yk或y y k叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴椭圆(x-h)(y-k)a2+b2=122(c+h,k)ax=c+h2x=hy=k(x-h)(y-k)b2+a2=122(h,c+k)ay=c+k2x=hy=k(x-h)(y-k)a2-b2=122(c+h,k)ax=c+k2x=hy=k双曲线(y-k)(x-h)a2-b2=122(h,c+h)ay=c+k2x=hy=k(y-k)2=2p(x-h)p(2+h,k)px=-2+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)抛物线(x-h)2=2p(y-k)p(-2+h,k)px=

11、2+hy=kp(h,2+k)py=-2+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)p(h,-2+k)py=2+kx=h六、椭圆的常用结论：点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.x2y2x0 xy0y121222P0P0(x0,y0)abb若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是a.x2y2212P0(x0,y0)若在椭圆ab外，则过P0作椭圆的两条切线切点为 P

12、1、P2，则切点弦 P1P2x0 xy0y212ab的直线方程是.x2y2212ab椭圆(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为x2y21a2b2SF1PF2 b2tan2.椭圆（(ab0）的焦半径公式|MF1|aex0|MF2|aex0F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0).设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和

13、A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.x2y2b221kOMkAB 22(x,y)00a，即AB 是椭圆ab的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的中点，则KABb2x0 2a y0。x0 xy0yx02y02x2y22122222P0(x0,y0)bab；若在椭圆ab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是a【推论】：x2y2x2y2x0 xy0y2122222P0(x0,y0)ab。1、若在椭圆ab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是abx2y2212椭圆ab（abo）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于x2y2212P1、P2 时

14、 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是ab.x2y22122、过椭圆ab(a0,b0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBCb2x02a y0（常数）.x2y2212ab3、若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2 是焦点,ac tancotPF1F222.,PF2F1，则acx2y22124、设椭圆ab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任sinc e意一点，在PF1F2 中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有sinsina.x2y22125、若椭圆ab（ab0）的左、右

15、焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e2 1时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.x2y22126、P 为椭圆ab（ab0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2a|AF2|PA|PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.(x x0)2(y y0)2122ab7、椭 圆与 直 线Ax By C 0有 公 共 点 的 充 要 条 件 是A2a2 B2b2(Ax0 By0C)2.x2y22128、已知椭圆ab（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ.2211114a b

16、222222S|OP|OQ|ab（1）;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为a b;（3）OPQ的最小值a2b222是a b.x2y22129、过椭圆ab（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦MN 的|PF|e|MN|2.垂直平分线交 x 轴于 P，则x2y2212ab10、已知椭圆（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线a2b2a2b2 x0P(x0,0)aa.与 x 轴相交于点,则x2y221211、设 P 点是椭圆ab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点2b22|PF1|PF2|S b tanPF1F2F1PF21cos2.记

17、，则(1).(2)x2y221212、设 A、B 是椭圆ab（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,2ab2|cos|PA|222PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)a c cos.(2)tantan1e2.(3)SPAB2a2b22cot2b a.x2y2212ab13、已知椭圆（ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的

18、端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角.2、PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ 为直

19、径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）x2y2212P0(x0,y0)ab5、若在双曲线（a0,b0）上，则过P0的双曲线的切线方程是x0 xy0y212ab.x2y2212P0(x0,y0)ab6、若在双曲线（a0,b0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点x0 xy0y212ab为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是.x2y22127、双曲线ab（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2 b2cot2.x2y22128

20、、双曲线ab（a0,bo）的焦半径公式：(F1(c,0),F2(c,0)）当M(x0,y0)在右支 上 时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a；当M(x0,y0)在 左 支 上 时，|MF1|ex0a|MF2|ex0a,。9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.x2y221211、AB 是

21、双曲线ab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为 AB 的中点，则KOMKABb2x0b2x02KAB2a y0，即a y0。x2y2212P0(x0,y0)ab12、若在双曲线（a0,b0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是x0 xy0yx02y02222a2bab.x2y2212P0(x0,y0)ab13、若在双曲线（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x0 xy0y22a2b2ab.【推论】：x2y22121、双曲线ab（a0,b0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线x2y2212交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与

22、 A2P2 交点的轨迹方程是ab.x2y22122、过双曲线ab（a0,bo）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBCb2x0 2a y0（常数）.x2y22123、若 P 为双曲线ab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2caca tancot tancot22（或ca22）.是焦点,PF1F2,PF2F1，则cax2y2212ab4、设双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线 上 任 意 一 点，在 PF1F2 中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则 有sinc e(s

23、insin)a.x2y2212ab5、若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当1e2 1时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.x2y22126、P 为双曲线ab（a0,b0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在 y 轴同侧时，等号成立.x2y22127、双曲线ab（a0,b0）与 直线Ax By C 0有公共点的 充要 条件 是A2a2 B2b2 C2.x2y22128、已知双曲线ab（ba 0），O 为坐标原点

24、，P、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ.2211114a b222222S|OP|OQ|ab（1）;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为b a;（3）OPQ的最小值a2b222是b a.x2y22129、过双曲线ab（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，|PF|e|MN|2.弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则x2y2212ab10、已知双曲线（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平a2b2a2b2x0 x0P(x0,0)a.a分线与 x 轴相交于点,则或x2y221211、设 P 点是双曲线ab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点

25、,F1、F2 为其焦2b22|PF1|PF2|S b cotPF1F2F1PF21cos2.点记，则(1).(2)x2y221212、设 A、B 是双曲线ab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有2ab2|cos|PA|222|a c cos|.(1)2a2b22cot2b a.2tantan1e(2).(3)SPABx2y2212ab13、已知双曲线（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.1

26、4、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线的常用结论：4acb2b()ay2by c x4a2a.顶点y2 2px(p 0)则

27、焦点半径PF xP2;x2 2py(p 0)则焦点半径为PF y P2.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.x 2pt2y2 2pxx2 2py（或）的参数方程为y 2ptx 2pt2（或y 2pt）（t为参数）.y2 2pxy2 2pxx2 2pyx2 2pyyyyy图形xOxOxOxO焦点pF(,0)2F(p,0)2F(0,p)2pF(0,)2准线x p2x p2y p2y p2范围x 0,yRx 0,yRxR,y 0 xR,y 0对称轴x轴y轴顶点（0,0）离心率e 1焦点PF px12PF p x12PF py12PF p y12圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程

28、(x2/a2)+(y2/b2)=1ab0(x2/a2)-(y2/b2)=1a0,b0y2=2px p0范x-a,ay-b,bx(-,-aa,+)yx0,+)y围RR对称性关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴,y 轴,原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)【其中 c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中 c2=a2+b2】(p/2,0)准线x=(a2)/cx=(a2)/cx=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1)e=c/a,e(1,+)e=1焦半径PF1=a+ex PF2=a-exPF1=ex+aPF2=ex-aPF=x+p/2焦准距p=(b2)/cp=(b2)/cp通径(2b2)/a(2b2)/a2p参数方程x=acosy=bsin，为参数x=asecy=btan,为参数x=2pt2y=2pt,t 为 参数过圆(x0 x/a2)+(y0y/b2)=1(x0,y0)的切线方程(x0 x/a2)-(y0y/b2)=1y0y=p(x+x0)锥曲线上一点斜率为k的切线方程y=kx(a2)(k2)+b2y=kx(a2)(k2)-b2y=kx+p/2k