高考数学圆锥曲线知识点总结40356.pdf

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1、 -1-高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C上f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0

2、)是C1，C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)一般方程：当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+2D

3、)2+(y+2E)2=44F-ED22 当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E);当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则MCr点M在圆C内，MC=r点 M 在圆 C 上，MCr点 M 在圆 C 内，其中MC=2020b)-(ya)-(x。直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离22BA

4、CBbAad与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：-2-椭圆、双曲线、抛物线性质对比 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹

5、.（0e1）1到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件 点 集：(M MF1+MF2=2a,F 1F22a 点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点 M 到直线 l 的距离.图形 方 程 标 准方程 12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)pxy22 参 数方程 为离心角）参数(sincosbyax 为离心角）参数(tansecbyax ptyptx222(t 为参数)X 围 axa，byb|x|a，yR x0 中心 原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,

6、b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴 x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴 焦点 F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF 准 线 x=ca2 准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=ca2 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c=22ba）2c （c=22ba）-3-离心率)10(eace)1(eace e=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双

7、曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为0byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0)的焦点坐标是(2p,0)，准线方程 x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0)的焦点坐标是(-2p,0)，准线方程 x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0)的焦点坐标是(0,2p)，准线方程 y=-2p，开口向上；抛物线2x=-

8、2py（p0）的焦点坐标是（0,-2p），准线方程 y=2p，开口向下.（2）抛物线2y=2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为 p.（4）已知过抛物线2y=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p 或2sin2pAB(为直线 AB 的倾斜角)，221pyy，2

9、,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径).五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是),(yx.设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k)，则 kyyhxx或kyyhxx -4-叫做

10、平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 22h)-(xa+22k)-(yb=1(c+h,k)x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1(h,c+k)y=ca2+k x=h y=k 双曲线 22h)-(xa-22k)-(yb=1(c+h,k)x=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1(h,c+h)y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k)x=-2p+h y=k(y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k)x=2p+h y=k(x-h)2=

11、2p(y-k)(h,2p+k)y=-2p+k x=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-2p+k)y=2p+k x=h 六、椭圆的常用结论：点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条

12、切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是00221x xy yab.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.-5-椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)F c00(,)M xy).设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2

13、为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MFNF.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab；【推论】：1、若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab。椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交

14、椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是22221xyab.2、过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3、若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2 是焦点,12PF F,21PF F，则tant22accoac.4、设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2 中，记12FPF,12PF F,12FF P，则有sinsinsincea.5、

15、若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6、P为 椭 圆22221xyab（a b 0）上 任 一 点,F1,F2为 二 焦 点，A为 椭 圆 内 一 定 点，则2112|2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立.7、椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 -6-2222200()A aB bAxByC.8、已知椭圆22221xyab（ab0），O 为坐标原点，

16、P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.9、过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN.10、已知椭圆22221xyab（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.11、设 P 点是椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记12FPF，则(1)2

17、122|1cosbPFPF.(2)1 22tan2PF FSb.12、设 A、B 是椭 圆22221xyab（a b 0）的 长 轴 两 端 点，P 是 椭 圆 上的 一 点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13、已知椭圆22221xyab（ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相

18、交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角.2、PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨

19、迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）-7-5、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.6、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦P1P2 的直线方程是00221x xy yab.7、双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点1

20、2FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.8、双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)F c）当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa；当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa。9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P

21、 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11、AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.13、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.【推论】：1、双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a

22、，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是22221xyab.2、过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3、若 P 为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2 是焦点,12PFF,-8-21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.4、设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1

23、F2中，记12FPF,12PF F,12FF P，则有sin(sinsin)cea.5、若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.6、P为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A F P三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立.7、双曲线22221xyab（a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC.8、已知双曲线

24、22221xyab（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba.9、过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN.10、已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220abxa.11、设 P 点是双曲线22221xyab（a

25、0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记12FPF，则(1)2122|1 cosbPFPF.(2)1 22cot2PF FSb.12、设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.-9-(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13、已知双曲线22221xyab（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC

26、 经过线段 EF 的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线的常用结论：xcbyay2顶点)244(2ababa

27、c.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.pxy22 pxy22 pyx22 pyx22 图形 yxO yxO yxO yxO 焦点)0,2(pF)0,2(pF )2,0(pF)2,0(pF 准线 2px 2px 2py 2py X 围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点（0,0）离心率 1e 焦点 12xpPF 12xpPF 12ypPF 12ypPF 圆锥曲线的性质对比 圆锥

28、曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0 y2=2px p0 -10-X 围 x-a,a y-b,b x(-,-aa,+)yR x0,+)yR 对称性 关于 x 轴,y 轴,原点对称 关于 x 轴,y 轴,原点对称 关于 x 轴对称 顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)【其中 c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中 c2=a2+b2】(p/2,0)准线 x=(a2)/c x=(a2)/c x=-p/2 渐近线 y=(b/a

29、)x 离心率 e=c/a,e(0,1)e=c/a,e(1,+)e=1 焦半径 PF1=a+ex PF2=a-ex PF1=ex+aPF2=ex-a PF=x+p/2 焦准距 p=(b2)/c p=(b2)/c p 通径(2b2)/a(2b2)/a 2p 参数方程 x=acos y=bsin，为参数 x=asec y=btan,为参数 x=2pt2 y=2pt,t 为参数 过圆锥曲线上一点(x0 x/a2)+(y0y/b2)=1 (x0,y0)的切线方程(x0 x/a2)-(y0y/b2)=1 y0y=p(x+x0)斜率为 k的切线方程 y=kx(a2)(k2)+b2 y=kx(a2)(k2)-b2 y=kx+p/2k