2019高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案5.doc

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1、- 1 -第第 1 1 课时课时 等比数列等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)自自 主主 预预 习习探探 新新 知知1等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)(2)符号语言：q(q为常数，q0，nN N*)an1 an思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？提示 不能2等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列(2)结论：G

2、叫做a，b的等比中项(3)满足的关系式：G2ab.思考：当G2ab时，G一定是a，b的等比中项吗？提示 不一定，如数列 0,0,5 就不是等比数列3等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为anqn，而yqx(q1)是一个不为 0 的常数与指a1 qa1 qa1 q数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列qn中的各项的点是函数yqx的图象上的孤a1 qa1 q立点思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式提示 还可以用累乘法当n2

3、时，q，q，q，an an1an1 an2a2 a1ana1a1qn1.a2 a1a3 a2an1 an2an an1- 2 -基础自测基础自测1思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( )(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( )(3)常数列一定为等比数列( )(4)任何两个数都有等比中项( )答案 (1) (2) (3) (4) 提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列(4)错误当两数同号时

4、才有等比中项，异号时不存在等比中项2下列数列为等比数列的序号是_2,22,322； ， ， ， ，(a0)；s1，(s1)2，(s1)3，(s1)4，(s1)1 a1 a21 a31 a41 a55；0,0,0,0,0. ，所以不是等比数列；是首项为 ，公比为 的等比数列；中，当22 23 22 221 a1 as1 时，数列为 0,0,0,0,0，所以不是等比数列；显然不是等比数列3等比数列an中，a22，a5 ，则公比q_.1 4【导学号：91432189】由定义知q，则a2a1q2，1 1 2 2a2 a1a3 a2a4 a3a5 a4a5a4qa3q2a2q3a1q4 ，1 4所以得q

5、3 ，所以q .1 81 24在等比数列an中，a427，q3，则a7_.729729 由等比数列定义知q.a7 a6a6 a5a5 a4所以a5a4q27(3)81，a6a5q81(3)243，a7a6q243(3)729.合合 作作 探探 究究攻攻 重重 难难等比数列的通项公式及应用- 3 -在等比数列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.【导学号：91432190】解 (1)由等比数列的通项公式得，a63(2)6196.(2)设等比数列的公比为q，那么Error!解得Error!所以ana1qn152n1.规律方法 1等比数列的通项公式涉及 4 个

6、量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算跟踪训练跟踪训练1在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为 5，15,45，求a5；(2)若a42，a78，求an.解 (1)a5a1q4，而a15，q3，a5405.a2 a1(2)因为Error!所以Error!由得q34，从而q，

7、而a1q32， 34于是a1 ，2 q31 2所以ana1qn12.2n5 3等比中项(1)等比数列an中，a1 ，q2，则a4与a8的等比中项是( )1 8- 4 -A4 B4 C D.1 41 4(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项. 【导学号：91432191】思路探究：(1)用定义求等比中项(2)证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可(1 1)A A 由an 2n12n4知，a41，a824，所以a4与a8的等比中项为4.1 8(2)证明：b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b

8、4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项规律方法 等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知 G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比G ab Gab中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0).跟踪训练跟踪训练2若 1，a,3 成等差数列，1，b,4 成等比数列，则 的值为( )a bA B. C1

9、 D11 21 2D D 由题知 2a13，a2.由b24 得b2 1.a b3设等差数列an的公差d不为 0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )【导学号：91432192】A2 B4 C6 D8B B an(n8)d，又aa1a2k，2k(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.- 5 -等比数列的判断与证明探究问题探究问题1若数列an是等比数列，易知有q(q为常数，且q0)或an1 anaanan2(an0，nN N*)成立反之，能说明数列an是等比数列吗？2n1提示：能若数列an满足q(q为常数，q0)或aanan2(an0，nN N*)都an1 an2

10、n1能说明an是等比数列2若数列an是公比为q的等比数列，则它的通项公式为ana1qn1(a，q为非零常数，nN N*)反之，能说明数列an是等比数列吗？提示：能根据等比数列的定义可知已知数列的前n项和为Sn2na，试判断an是否是等比数列思路探究：如何由求和公式得通项公式？a1是否适合anSnSn1(n2)？需要检验吗？解 anSnSn12na2n1a2n1(n2)当n2 时2；an1 an2n 2n1当n1 时，.an1 ana2 a12 2a故当a1 时，数列an成等比数列，其首项为 1，公比为 2；当a1 时，数列an不是等比数列母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为

11、“Sn2an” 求证数列an是等比数列证明 Sn2an，Sn12an1，an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an.1 2又S12a1，a110.又由an1an知an0，1 2 ，an1 an1 2an是等比数列2(变条件变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a11，an12an1”证明数列an1是等比数列，并求出数列an的通项公式- 6 -解 因为an12an1，所以an112(an1)由a11，知a110，从而an10.所以2(nN N)，所以数列an1是等比数列an11 an1所以an1是以a112 为首项，2 为公比的等比数列，所以an122n12n，即an2n1

12、.规律方法 判断一个数列an是等比数列的方法：(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且an1 anan an1不为零)，则数列an是等比数列.(2)等比中项法：对于数列an，若anan2且an0，则数列an是等比数列.a2n1(3)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列.当当 堂堂 达达 标标固固 双双 基基1下列数列是等比数列的是( )【导学号：91432193】A2,2，2，2,2,2，2，2，B1,1，1,1，1，C0,2,4,6,8,10，Da1，a2，a3，a4，B B A.从第 2 项起，每一项与前一项

13、的比不是同一常数，故不选 A.B由等比数列定义知该数列为等比数列C等比数列各项均不为 0，故该数列不是等比数列D当a0 时，该数列不是等比数列；当a0 时，该数列为等比数列2若 2a，b,2c成等比数列，则函数yax2bxc的图象与x轴的交点个数是( )A0 B1C2 D0 或 2B B 由题意，得b24ac，故函数yax2bxc的图象与x轴相切3在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为( )【导学号：91432194】A B21 2- 7 -C. D21 2D D 因为q38，故q2.a5 a24在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于 21，则该数列的通项公式an_.4n1 由题意知a14a116a121，解得a11，所以通项公式an4n1.5已知数列an是首项为 2，公差为1 的等差数列，令bnan ，求证数列bn是等比数(1 2)列，并求其通项公式.【导学号：91432195】解 依题意an2(n1)(1)3n，于是bn3n.而12.(1 2)bn bn1(1 2)3n(1 2)4n(1 2)数列bn是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn2n3.