2019高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和学案5.doc

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1、- 1 -第第 1 1 课时课时 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和学习目标：1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题自自 主主 预预 习习探探 新新 知知1等比数列前n项和公式等比数列的前n项和公式思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?提示可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数2错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列an的前n项和可写为：Sna1a1qa1q2a1qn1， 用公比q乘的两边，可得qSna1

2、qa1q2a1qn1a1qn， 由，得(1q)Sna1a1qn，整理得Sn(q1)a11qn 1q(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列anbn前n项和的求解，其中an为等差数列，bn为等比数列，且q1.思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？提示 根据等比数列的定义，有：q，a2 a1a3 a2a4 a3an an1再由合比定理，则得q，a2a3a4an a1a2a3an1- 2 -即q，进而可求Sn.Sna1 Snan基础自测基础自测1思考辨析(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求( )a11qn 1q(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则

3、其前n项和为Snna.( )(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0 且q1，nN N*)，则此数列一定是等比数列( )答案 (1) (2) (3) 提示：(1)错误在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为 1，若q1，可直接套用，否则应讨论求和(2)正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Snna.(3)正确根据等比数列前n项和公式Sn(q0 且q1)变形为Sna11qn 1qa1 1qqn(q0 且q1)，若令a，则和式可变形为Snaaqn.a1 1qa1 1q2等比数列an中，a11，q2，则S5_.3131 S531.a11q5 1q125

4、 123数列 ，的前 10 项的和S10_.1 22 43 84 16【导学号：91432215】S10 ，5 50 09 9 2 25 56 61 22 43 89 2910 210则S10 .1 21 42 89 21010 211两式相减得，S10 ，所以S10.1 21 21 41 81 21010 2111 21(1 2)1011210 211509 2564某厂去年产值为a，计划在 5 年内每年比上一年的产值增长 10%，从今年起 5 年内，该厂的总产值为_11(1.151)a 去年产值为a，从今年起 5 年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a

5、.所以1.1a1.12a1.13a1.14a1.15aa11(1.151)a.1.11.16 11.1合合 作作 探探 究究攻攻 重重 难难- 3 -等比数列基本量的运算在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；(2)a1a310，a4a6 ，求S5；5 4(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q. 【导学号：91432216】解 (1)由题意知Error!解得Error!或Error!从而Sn 5n1 或1 45 4Sn.1 080 1(5 6)n 11(2)法一 由题意知Error!解得Error!从而S5.a11q5 1q31 2法二 由(a1a3)q3a4a6

6、，得q3 ，从而q .1 81 2又a1a3a1(1q2)10，所以a18，从而S5.a11q5 1q31 2(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280 的两根从而Error!或Error!又Sn126，所以q为 2 或 .a1anq 1q1 2规律方法 1在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用2在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1 或q1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论跟踪训练跟踪训练1在等比数列an中，- 4 -(1)若a1，an16

7、，Sn11，求n和q；222(2)已知S41，S817，求an.【导学号：91432217】解 (1)由Sn得 11，q2，a1anq 1q2216 2q1q又由ana1qn1得 16(2)n1，22n5.(2)若q1，则S82S4，不合题意，q1，S41，a11q4 1qS817，a11q8 1q两式相除得171q4，1q8 1q4q2 或q2，a1或a1 ，1 151 5an2n1或 (2)n1.1 151 5等比数列前n项和公式的实际应用借贷 10 000 元，以月利率为 1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161

8、.061,1.0151.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少解 法一：设每个月还贷a元，第 1 个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，- 5 -a61.01a5a1.016a011.011.015a.

9、由题意，可知a60，即 1.016a011.011.015a0，a.1.016 102 1.01611.0161.061，a1 739.1.061 102 1.0611故每月应支付 1 739 元法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还贷a元，分 6 个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)a10.0161 1.011由S1S2，得a.1.016 102 1.0161以下解法同法一，得a1 739，故每月应支付 1

10、 739 元规律方法 解数列应用题的具体方法步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少.弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.跟踪训练跟踪训练2一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%. 这个热

11、气球上升的高度能超过 125 m 吗？【导学号：91432218】解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，4 5因此，数列an是首项a125，公比q 的等比数列4 5热气球在前n分钟内上升的总高度为- 6 -Sna1a2an125125.a11qn 1q25 1(4 5)n1451(4 5)n故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.错位相减法求和探究问题探究问题1对于S641248262263，用 2 乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?提示：比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S642641.1

12、264 122由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？提示：由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n.3在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？提示：在等式Sn121222323n2n两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1得：Sn1212223242nn2n1(212

13、2232n)n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法已知等比数列an满足：a1 ，a1，a2，a3 成等差数列，公比q(0,1)，1 21 8(1)求数列an的通项公式(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Sn.思路探究：(1)根据a1，a2，a3 成等差数列求得公比q，写出通项公式；1 8(2)由bnnan可知利用错位相减法求和解 (1)设等比数列an的公比为q，a1 ，1 2- 7 -因为a1，a2，a3 成等差数列，所以 2a2a1a3 ，即得 4q28q30，

14、解得q 或1 81 81 2q ，又因为q(0,1)，所以q ，3 21 2所以an n1.1 2(1 2)1 2n(2)根据题意得bnnan，n 2nSn ，1 22 223 23n 2nSn，1 21 222 233 24n 2n1作差得Sn ，Sn2(n2)n.1 21 21 221 231 2nn 2n1(1 2)母题探究：1.本题中设cn，求数列cn的前n项和Sn.n an解 由题意知cnn2n所以Sn121222323(n2)2n2(n1)2n1n2n2Sn122223324(n2)2n1(n1)2nn2n1两式相减得：Sn1212223242n12nn2n1n2n1(1n)2n1

15、2，所以Sn(n1)2n12.212n 122本题中设dn(2n1)an，求数列dn的前n项和Tn.解 由题意可得：Tn1 3(2n1)，Tn13(2n3)(2n1)1 21 221 2n1 21 221 231 2n，1 2n1 两式相减得Tn1 22(2n1) (2n1) 1 21 21 221 2n1 2n11 21 211 2n11121 2n13 21 2n12n1 2n1所以Tn33.4 2n2n1 2n2n3 2n规律方法 错位相减法的适用题目及注意事项：（1）适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.- 8 -（2）注意事项：利用“错位相减

16、法”时，在写出Sn与qSn的表达式时， 应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出1qSn的表达式.利用此法时要注意讨论公比q是否等于 1 的情况.当当 堂堂 达达 标标固固 双双 基基1已知等比数列an的首项a13，公比q2，则S5等于( )A93 B93 C45 D45A A S593.a11q5 1q3125 122在等比数列an中，已知a1a2a36，a2a3a43，则a3a4a5a6a7等于( )【导学号：91432219】A. B. C. D.11 819 169 83 4A A q ，a2a3a4 a1a2a3a21qq2 a11qq2a2 a11 2由a1a2a36，且q ，得a

17、18，1 2可得a2a1q84，(1 2)a3a4a5a6a7S7a1a2a1a28(4).a11q7 1q81(12)71(12)11 83在公比为整数的等比数列an中，如果a1a418，a2a312，则这个数列的前 8 项之和S8_.510510 a1a4a1(1q3)18，a2a3a1(qq2)12，两式联立解得q2 或 ，而q为整1 2数，所以q2，a12，代入公式求得S8510.2128 124某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的2 倍，则需要的最少天数n(nN N*)等于_6 6 由题意知，第n天植树 2n棵，则前n天共植树 222

18、2n(2n12)棵，令2n12100，则 2n1102，又 2664,27128，且2n1单调递增，所以n6，即n的最小值为 6.5求和： .1 23 45 87 162n1 2n- 9 -【导学号：91432220】解 设Sn 1 23 45 87 162n1 2n ，1 23 225 237 242n3 2n12n1 2n则Sn.1 21 223 235 242n3 2n2n1 2n1，得Sn 1 21 22 222 232 242 2n2n1 2n1 1 21 21 221 2n12n1 2n1 1 21 21 2n11 21122n1 2n13 21 2n12n1 2n1 ，Sn3.322n32n12n32n