2019高中数学 第三章 3.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教A版必修4.doc

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1、13.1.13.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算(重点、易混点)自 主 预 习探 新 知两角差的余弦公式公式cos()cos_cos_sin_sin_适用条件公式中的角，都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反基础自测1思考辨析(1)cos(6030)cos 60cos 30.( )(2)对于任意实数，cos()cos cos 都不成立( )(3)对任意，R R，cos()cos c

2、os sin sin 都成立( )(4)cos 30cos 120sin 30sin 1200.( )解析 (1)错误cos(6030)cos 30cos 60cos 30.(2)错误当45，45时，cos()cos(4545)cos(90)0，cos cos cos(45)cos 450，此时cos()cos cos .(3)正确结论为两角差的余弦公式(4)正确cos 30cos 120sin 30sin 120cos(12030)cos 900.答案 (1) (2) (3) (4)2cos(15)的值是( )A. B.6 226 22C. D.6 246 24D D cos(15)cos

3、15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30 .2232221 26 243cos 65cos 20sin 65sin 20_.cos 65cos 20sin 65sin 20cos(6520)cos 45.22222合 作 探 究攻 重 难给角求值问题(1)cos的值为( )13 12A B6 246 24CD2 646 24(2)求下列各式的值：cos 75cos 15sin 75sin 195；sin 46cos 14sin 44cos 76； cos 15sin 15. 1 232【导学号：84352295】(1 1)D D (1)coscoscos13 12

4、( 12) 12cos( 46)coscossinsin 4 6 4 6 .2232221 26 24(2)cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60 .1 2sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.32 cos 15sin 151 232cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)co

5、s 45.223规律方法 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值2两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把所得的积相加跟踪训练1化简下列各式：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313.解 (1)原式cos21(24)cos 45.22(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36

6、047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).32给值(式)求值问题探究问题1若已知和的三角函数值，如何求 cos 的值？提示：cos cos()cos()cos sin()sin .2利用()可得 cos 等于什么？提示：cos cos()cos cos()sin sin()(1)已知 sin sin 1，cos cos ，则 cos()( )321 2A B321 2C D1 232(2)已知 sin，求 cos 的值. ( 3)12 13( 6，23)【导学号：84352296】4思路探究 (1)

7、先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C()求 cos()(2)由已知角与所求角的关系即寻找解题思路 3( 3) 3(1 1)D D (1)因为 sin sin 1，32所以 sin22sin sin sin22， (132)因为 cos cos ，所以 cos22cos cos cos22， 1 2(1 2)，两式相加得 12cos()11 33 41 4所以2cos()3所以 cos().32(2)，( 6，23)， 3( 2，)cos( 3)1sin2(3).1(1213)25 13，( 3) 3cos cos( 3)3coscossinsin .( 3) 3( 3) 3

8、5 131 212 133212 3526母题探究：1.将例 2(2)的条件改为“sin ，且” ，如何解答？( 4)4 5 43 4解 sin ，且，( 4)4 5 43 4， 2 4cos ，( 4)1(45)23 5cos cos( 4) 45coscos sinsin ( 4) 4( 4) 4 .3 5224 5222102将例 2(2)的条件改为“sin，” ，求 cos的( 3)12 13( 6，56)( 12)值解 ， 65 6 2 3 6又 sin0，( 3)12 130，cos， 2 3( 3)1sin2(3)5 13coscoscoscossin( 12)( 12)( 3)

9、422( 3)22( 3)22.5 1322(12 13)7 226规律方法 给值求值问题的解题策略1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：； 2 22；2.给值求角问题已知 sin()，cos()，0，求角的大小.4 3713 14 2【导学号：84352297】思路探究 求cos 、sin求cos cos求解 因为 sin()，4 37所以 sin .因为 0，4 37 26所以 cos .1sin21 7因为 cos()，13

10、14且 0，所以 0， 2 2所以 sin()，1cos23 314所以 cos cos()cos cos()sin sin() .因为 0，所以.1 713 144 373 3141 2 2 3规律方法 已知三角函数值求角的解题步骤1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.3结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.跟踪训练2已知，均为锐角，且 cos ，cos ，求的值2 551010解 ，均为锐角，sin ，sin ，553 1010cos()cos cos sin s

11、in .2 551010553 101022又 sin sin ，0，0， 2 2故. 4当 堂 达 标固 双 基1sin 14cos 16sin 76cos 74( )【导学号：84352298】A B321 2CD321 27B B sin 14cos 76，cos 74sin 16原式cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 60 .1 22若 sin sin 1，则 cos()的值为( )A0 B1 C1 D1B B 由 sin sin 1，得 cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.3已知为锐角，为第三象限角，且 cos ，s

12、in ，则 cos()的12 133 5值为( ) 【导学号：84352299】A B63 6533 65C D63 6533 65A A 为锐角，cos ，sin ，12 131cos25 13为第三象限角，sin ，cos ，3 51sin24 5cos()cos cos sin sin .12 13(4 5)5 13(3 5)63 654cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_.原式cos(35)(25)1 2cos(60)cos 60 .1 25已知 sin ，sin ，且 180270，90180，求4 55 13cos()的值. 【导学号：84352300】解 因为 sin ，180270，4 5所以 cos .3 5因为 sin ，90180，5 13所以 cos ，12 138所以 cos()cos cos sin sin (3 5) (12 13) (4 5)5 13.366520651665