2019高中数学 第三章 3.1.2 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式学案 新人教A版必修4.doc

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1、1第第 1 1 课时课时 两角和与差的正弦、余弦公式两角和与差的正弦、余弦公式学习目标：1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法自 主 预 习探 新 知1两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R R两角和的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R R2两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()s

2、in()sin_cos_cos_sin_，R R两角差的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R R3重要结论辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为 0)，其中 cos a2b2，sin .aa2b2ba2b2基础自测1思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的( )(2)存在，R R，使得 sin()sin sin 成立( )(3)对于任意，R R，sin()sin sin 都不成立( )(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.( )解析 (1)正确根据公式的推导过程可得(2)正确当45，0时，sin()si

3、n sin .(3)错误当30，30时，sin()sin sin 成立(4)正确因为 sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确2答案 (1) (2) (3) (4)2cos 57cos 3sin 57sin 3的值为( )A0 B 1 2C Dcos 5432B B 原式cos(573)cos 60 .1 23若 cos ，是第三象限的角，则 sin_.3 5(a 4) cos ，是第三象限的角，2103 5sin ，1cos24 5sinsin cos .( 4)222222(4 5)22(3

4、5)210合 作 探 究攻 重 难给角求值问题(1)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为( )A B321 2C D1 232(2)若是第二象限角且 sin ，则 cos(60)_.5 13(3)求值：(tan 10). 3cos 10 sin 50(1 1)D D (2) (1)cos 200cos(18020)cos 20sin 125 32670，sin 40cos 50，原式cos 70sin 50(sin 70)cos 50sin(5070)sin 120.32(2)是第二象限角且 sin ，5 13cos ，1sin212 133cos(60) cos sin

5、1 232 1 2(12 13)325 13.125 326(3)原式(tan 10tan 60)cos 10 sin 50(sin 10 cos 10sin 60 cos 60)cos 10 sin 50sin50 cos 10cos 60cos 10 sin 502.规律方法 解决给角求值问题的策略1对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.2一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公

6、式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.跟踪训练1化简求值：(1)；sin 50sin 20cos 30 cos 20(2)sin(75)cos(45)cos(15)3解 (1)原式sin2030sin 20cos 30 cos 20sin 20cos 30cos 20sin 30sin 20cos 30 cos 20sin 30 .cos 20sin 30 cos 201 2(2)设15，则原式sin(60)cos(30)cos 3cos 0.(1 2sin 32cos ) (32cos 12sin )3给值求值、求角问题(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两

7、点，且分别位于第一象限4和第四象限，点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为，则 cosPOQ_.4 55 13(2)已知 cos ，sin()，且，.求：cos(2)551010(0， 2)的值；的值. 思路探究 (1)先由任意角三角函数的定义求xOP和xOQ的正弦、余弦值，再依据POQxOPxOQ及两角和的余弦公式求值(2)先求 sin ，cos()，依据 2()求 cos(2)依据()求 cos 再求.(1) (1)由题意可得，cosxOP ，56 654 5所以 sinxOP .3 5再根据 cosxOQ，5 13可得 sinxOQ，12 13所以 cosPOQcos(xOPxOQ)cosxO

8、PcosxOQsinxOPsinxOQ .4 55 133 5(12 13)56 65(2)因为，(0， 2)所以，又 sin()0，( 2，2)1010所以 0， 2所以 sin ，1cos22 55cos()，1sin23 1010cos(2)cos()cos cos()sin sin().553 10102 551010210cos cos()cos cos()sin sin()，553 10102 551010225又因为，所以.(0， 2) 4规律方法 给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的

9、代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.跟踪训练2已知锐角，满足 cos ，sin() ，求 sin 的值2 553 5解 因为，是锐角，即 0，0， 2 2所以， 2 2因为 sin() 0，3 5所以 cos() ，4 5因为 cos ，所以 sin ，2 5555所以 sin sin()sin cos()cos sin() .554 52 553 52 55辅助角公式的应用探究问题1能否将函数ysin xcos x(xR R)化为yAsin(x)的形式？(| (0， 2)提示：能ys

10、in xcos xsin.2(x 4)2如何推导asin xbcos xsin(x)公式a2b2(tan b a)提示：asin xbcos x，a2b2(aa2b2sin xba2b2cos x)令 cos ，sin ，则aa2b2ba2b2asin xbcos x(sin xcos cos xsin )a2b26sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由 tan a2b2确定，或由 sin 和 cos 共同确定)b aba2b2aa2b2(1)sincos_. 123 12(2)已知a a(，1)，b b(sin x，cos x)，xR R，f(x)abab，求函数f(x)的

11、周期，3值域，单调递增区间. 思路探究 解答此类问题的关键是巧妙构建公式 C()、C()、S()、S()的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值(1) (1)原式2.2(1 2sin 1232cos12)法一：(化正弦)原式2(cos 3sin12sin 3cos12)2(sin 12cos 3cos12sin 3)2sin2sin.( 12 3)( 4)2法二：(化余弦)原式2(sin 6sin12cos 6cos12)2(cos 6cos12sin 6sin12)2cos2cos.( 612) 42(2)f(x)sin xcos x32(sin x32cos x12)2(sin xcos

12、 6cos xsin6)2sin，(x 6)T2，值域2,22 由2kx2k，得递增区间，kZ Z. 2 6 2 32k，232k母题探究：1.若将例 3(2)中a a(，1)改为a a(1，)，其他条件不变如何解33答？7解 f(x)sin xcos x22cos，3(32cos x12sin x)(x 6)T2，值域为2,2，由2kx2k，得递增区间 6，kZ Z.7 62k，62k2若将例 3(2)中a a(，1)改为a a(m，m)其中m0，其他条件不变，应如何解3答？解 f(x)msin xmcos xmsin，2(x 4)T2，值域为m，m，22由2kx2k，得递增区间 2 4 2

13、，kZ Z.3 42k，42k规律方法 辅助角公式及其运用1公式形式：公式asin bcos sin或asin bcos a2b2cos将形如asin bcos a，b不同时为零的三角函数式a2b2收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.当 堂 达 标固 双 基1sin 245sin 125sin 155sin 35的值是( )A B321 2C D1 232B B sin 245sin(15590)cos 155，sin 125sin(9035)co

14、s 35，原式cos 155cos 35sin 155sin 35cos(15535)cos 120 .1 22化简cos xsin x等于( ) 26A2sin B2cos2( 6x)2( 6x)8C2sinD2cos2( 3x)2( 3x)D D cos xsin x2262(1 2cos x32sin x)22(cos 3cos xsin3sin x)2cos.2( 3x)3cos cos()sin sin()_.cos cos cos()sin sin()cos()cos .4(2018全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin()_.解析 sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin() .1 2答案 1 25已知，均为锐角，sin ，cos ，求. 551010解 ，均为锐角，sin ，cos ，551010sin ，cos .3 10102 55sin sin ，0， 2sin()sin cos cos sin ， .5510102 553 1010224