2019高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式2 基本不等式的应用学案 苏教版必修5.doc

《2019高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式2 基本不等式的应用学案 苏教版必修5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式2 基本不等式的应用学案 苏教版必修5.doc（4页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1基本不等式的应用基本不等式的应用一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明基本不等式的应用1. 掌握基本不等式2baab （a0，b0） ；2. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式，即可解决的问题） ；3. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题。选择题填空题基本不等式是高中数学的重点，也是近几年高考的热点。注意应用均值不等式，求函数的最值三个条件缺一不可。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：对由基本不等式推导出的命题的理解，以及利用此命题求某些函数的最值。突破重点的关键是对基本不等式的理解。难点：难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正、二定、

2、三相等” 。考点：利用基本不等式求最值考点：利用基本不等式求最值1. 由两个重要不等式可推得下面结论：已知*, x yR，,xyS xyP，则 如果P是定值，那么当且仅当xy时，S取最小值2 P； 如果S是定值，那么当且仅当xy时，P取最小值22S。【要点诠释要点诠释】（1）利用基本不等式求函数的最值时，强调三要素：正数；定值；等号成立的条件。特别式子中等号不成立时，则不能应用重要不等式，而改用函数的单调性求最值。（2）不能仅仅关注基本不等式的形式构造，而应注意统一的整体变换。【核心突破核心突破】利用重要不等式求函数的最值时，定值条件的构造技巧：利用均值不等式求函数的最值应满足三个条件：即“一

3、正、二定、三相等一正、二定、三相等” 。“一正” ，是指所求最值的各项都是正值。“二定” ，是指含变量的各项的和或者积必须是常数。“三相等” ，是指具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值。在具体的题目中， “正数” 条件往往从题设条件中获得解决， “相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧，因此“定值定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题的关键。2 常用构造定值条件的技巧变换. 加项变换加项变换；. 拆项变换拆项变换；. 统一换元统一换元；. 平移后利用基本不等式平移后利用基本不等式。 利用基本不等式求最值的实质是：

4、有界并能达到有界并能达到。2. 其他形式：（1）若aR R，bR R，则a2b22ab，当且仅当ab时等号成立；（2）若a0，b0，则ab2)2(22 2baba，当且仅当ab时等号成立； （3）若a0，b0，则ab2222baba，当且仅当ab时等号成立。3. 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形，比如：（1）当x2 时，x21 x（x2）21 x2224。（2）当 0x38时，x（83x）31（3x） （83x）312)2383(xx316。【随堂练习随堂练习】 已知正数a、b满足abab3，求ab的取值范围是_。思路分析：思路分析：思路一：将b13 aa代入消元

5、； 思路二：利用基本不等式2baab 得关于ab的不等式。答案：答案：法一 由abab3，得b13 aa，由b0，得13 aa0，a0，a1，aba13 aa132 aaa2(1)5(1)4 1aa a （a1）14 a52141aa59，当且仅当a114 a，即a3 时，取等号，此时b3，ab的取值范围是9，） 。法二：由于a、b为正数，ab2ab，abab32ab3，即（ab）22ab30，ab3，故ab9，当且仅当ab3 时，取等号，ab的取值范围是9，） 。技巧点拨：技巧点拨：1. 本题中，要求ab的取值范围，在使用已知条件等式的方法上灵活多样，但最终都归结为基本不等式的应用。2. 利

6、用基本不等式，求字母参数的取值范围，关键是怎样由等式通过放缩得出不等式。3例题例题 1 1 （基本不等式的变形应用）（基本不等式的变形应用）求yxx11的最大值。思路分析：思路分析：由22)1()1(xx2（定值） ，利用基本不等式的变形：ab2222baba，可求。答案：答案：由 0101 xx，知定义域为x1,1， 又22)1()1(xx1x1x2（定值） ，yxx11411 222xx2，当且仅当 1x1x即x0 时，等号成立。ymax2。技巧点拨：技巧点拨：1. 本例中，由于22( 1)( 1)xx2（定值） ，因而不宜不宜使用基本不等式，应该使用不等式的变式2222abab。2. 对

7、于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证保证一侧为定值，并保证等号等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式。例题例题 2 2 （利用基本不等式求函数的最值）（利用基本不等式求函数的最值）（1）已知x2，求yx21 x的最小值；（2）已知 0x21，求y21x（12x）的最大值。思路分析：思路分析：（1）将原式变形为yx221 x2，再利用基本不等式；（2）将原式变形为y412x（12x） ，再利用基本不等式。答案：答案：（1）x2，x20，yx21 xx221 x22212xx24， 当且仅当x221 x（x2） ，即x3 时，ymin4。（2）0x21，12x0，y21x

8、（12x）412x（12x）161 41 41)2212(412xx， 当且仅当 2x12x（0x21） ，即x41时，ymax161。4技巧点拨：技巧点拨：本例中，对要求最值的函数式，通过适当地变形，使式子变为和为定值或积为定值的式子，然后运用基本不等式求最值。【易错警示易错警示】多次使用基本不等式时，等号不同时成立致误多次使用基本不等式时，等号不同时成立致误忽视最值取得的条件致误忽视最值取得的条件致误例题例题 已知a、b均为正实数，且ab1，求y)1)(1(bbaa的最小值。易错分析：易错分析：在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到。思路分析：思路分析：（

9、1）求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等” ，而且还要符合已知条件。 （2）可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围。答案：答案：方法一：y)1)(1(bbaa22)314()1(2)1()()1(abababababababba ab abab425)234()23142(2ba abab当且仅当ab21时，y)1)(1(bbaa取最小值，最小值为425方法二：y)1)(1(bbaaab ba abab1ababba abababba abab211222ab2ab2，令tab41)2(2ba，即t41, 0(，又f（t）t2t在41, 0(上是单调递减的，当t41时，f（t）min433，此时，ab21，当ab21时，y有最小值425技巧点拨：技巧点拨：（1）这类题目感到比较容易下手，但是解这类题目却又常常出错。 （2）利用基 本不等式求最值，一定要注意应用条件：即“一正、二定、三相等” 。否则，求解时会出现 等号成立、条件不具备而出错。 （3）本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立等号成立 的条件。