2019高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式1 基本不等式的证明学案 苏教版必修5.doc

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1、1基本不等式的证明基本不等式的证明一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明基本不等式的证明1.掌握基本不等式2baab （a0，b0） ；2.能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式，即可解决的问题）选择题填空题基本不等式的证明中要注意多次运用公式等号能否同时取到，这一章节也是不等式的难点。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式证明不等式。难点：难点：理解基本不等式等号成立的条件。考点一：基本不等式考点一：基本不等式如果a，b是正数，那么2baab （当且仅当ab时取“” ） ，我们把不等式2baab称为基本不等式。【要点诠释要点诠释】

2、对于正数a，b，我们把2ba 称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 对于“=”的理解应为若ab，则2abab且若2abab，则ab，也就是说当ab时，2abab。 注意222abab与2abab成立的条件是不同的，前者是, a bR，后者是*, a bR。考点二：基本不等式的其他形式考点二：基本不等式的其他形式基本不等式的四种形式 222abab；（, a bR） ； 222abab（, a bR） ； 2abab（*, a bR） ；2 22abab（, a bR） 。【

3、要点诠释要点诠释】两种形式的前提是, a bR，两种形式的前提是*, a bR；四种形式等号成立的条件都是ab。考点三：利用基本不等式证明不等式考点三：利用基本不等式证明不等式（1）注意均值不等式的前提条件前提条件；（2）通过加减项加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；（3）注意“1”的代换；（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用。如2 2 (0)bab aa；2 2(0)bba aa（5）合理配组，反复应用不等式。基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结

4、构特点，选择好利用基本不等式的切入点。【随堂练习随堂练习】若 0a1,0b1，且ab，则ab,2，2ab，a2b2中最大的一个是ab_。思路分析：思路分析：（1）利用特殊值法判断；（2）利用基本不等式判断大小。答案：答案：方法一：取11,23ab，则2252 6113,2,2,66336abababab。显然ab最大。方法二： 因为 0a1,0b1，ab，所以ab2，a2b22ab，所以四个ab数中最大的数应从ab，a2b2中选择而a2b2（ab）a（a1）b（b1） ，又因为 0a1,0b1，所以a（a1）0，b（b1）0，所以a2b2（ab）0，即a2b2ab，所以ab最大。技巧点拨：技巧

5、点拨：特殊值法是解决客观题的一种简单实用的方法；基本不等式是比较大小的一种途径。例题例题 1 1 （基本不等式的简单证明）（基本不等式的简单证明）已知abc，求证：cacbba411。思路分析：思路分析：不等式左侧分式含a，b，c三个字母，右侧只有a，c，把ac用abbc表达，然后利用配凑法、基本不等式，把分式缩为整式。 答案：答案：abc，ab0，bc0，acabbc0，所证不等式等价于)11(cbba（ac）4。3又)11(cbba（ac） cacbbacbba bacbcbba bacbcbcbba bacbbacbca baca4114222技巧点拨：技巧点拨：在解题过程中，把数值或代

6、数式拆成两项或多项，或是恒等地配凑成适当的数或式子是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧。例题例题 2 2 （多次利用基本不等式证明简单不等式）（多次利用基本不等式证明简单不等式）已知a，b，c为不全相等的正数，求证：abc。abbcca思路分析：思路分析：分析不等式结构利用基本不等式同向不等式相加分析等号是否成立。答案：答案： a0，b0，c0， ab2ab，bc2bc，ca2ac，2（abc）2（cabcab） ，即abccabcab，由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立。abccabcab。 技巧点拨：技巧点拨： 本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不

7、等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意基本不等式的使用条件，对“当且仅当时取等号”这句话要搞清楚。例题例题 3 3 （含条件的不等式的证明）（含条件的不等式的证明）已知a，b，cR R，且abc1，求证：cba1119。思路分析：思路分析：利用“1”的代换，把cba111中的 1 用abc代换，然后利用分数性质和基本不等式解决。答案：答案：abc1，ccba bcba acba cba1114)()()(33cb bc ca ac ba abcb ca bc ba ac ab32229。当且仅当abc31时，取等号。技巧点拨：技巧点拨：使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注

8、意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立。【拓展训练拓展训练】一道综合不等式的证明一道综合不等式的证明【满分训练满分训练】 设实数x，y满足yx20，且 0a1，求证：loga（axay）81loga2。思路分析：思路分析：通过代换减少变量，利用基本不等式和一元二次函数的最值解决。答案：答案：ax0，ay0，axay2yxa，又0a1，loga（axay）loga2yxa21logaaxyloga221（xy）loga2。因为yx20，loga（axay）21（xx2）loga221（x21）2 81loga281loga2，又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证。 技巧点拨：技巧点拨：注意：在利用基本不等式和一元二次不等式时，求最值中等号不能同时取到。