2023届江苏省南通市海门区高三上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 2023 届江苏省南通市海门区高三上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合1Ax x，24xBx，则AB（）AR B1,2 C2,D1,【答案】D【分析】先化简集合2Bx x，再利用并集的定义可求得结果.【详解】因为242xBxx x，1Ax x，故1ABx x1,.故选：D.2复数21 i（i 为虚数单位）的虚部为（）A1 B1 Ci Di【答案】B【分析】复数的分子分母同乘1 i，化简后，根据iab的虚部为b求解.【详解】2 1 i21 i1 i1 i1 i 1 i 的虚部为1 故选：B 3已知底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为 1 的球的表面积相等，则圆锥的母

2、线长为（）A2 B2 C2 2 D4【答案】C【分析】根据底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为 1 的球的表面积相等，利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解.【详解】解：设圆锥的母线长为 l，半径为 1 的球的表面积为4，因为底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为 1 的球的表面积相等，所以24l，解得2 2l，故选：C 第 2 页 共 21 页 4若向量a，b满足1a，2b，且2ab，则a b（）A1 B12 C12 D1【答案】B【分析】对2ab两边平方,结合1a，2b 计算a b即可求出答案【详解】由2ab可得2224aa bb，即1244a b，12a b ，故选：B 5我国油纸伞的制作工

3、艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC，且ABAC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈D已滑到D的位置，且A，B，D三点共线，40cmAD，B为AD的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为 24cm，则当伞完全张开时，BAC的余弦值是（）A1725 B4 2125 C35 D825【答案】A【分析】根据题意求出20AB cm，20BD cm，16AD cm，再根据余弦定理求出cosBAD，最后由二倍角的余弦公式可求出结果.【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，402416AD cm，因为B

4、为AD的中点，所以1202ABACADcm，当伞完全收拢时，40ABBDADcm，所以20BD cm，在ABD中，222cos2ABADBDBADAB AD40025640022 20 165，所以2coscos22cos1BACBADBAD417212525 .故选：A 第 3 页 共 21 页 6A、B两组各 3 人独立的破译某密码，A组每个人译出该密码的概率均为1p，B组每个人译出该密码的概率均为2p，记A、B两组中译出密码的人数分别为X、Y，且21211pp，则（）A E XE Y，D XD Y B E XE Y，D XYD C E XE Y，D XD Y D E XE Y，D XYD

5、【答案】B【分析】由题意分析X，Y均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.【详解】由题意可知：X服从二项分布13,Bp，所以 1113,31E XD Xppp.同理：Y服从二项分布23,Bp，所以 2223,31E XD Xppp.因为21211pp，所以1233pp，所以 E XE Y.对于二次函数31ypp，对称轴12p，所以在1,12上函数单调递减，所以当21211pp时，有11223131pppp，即 D XYD.故选：B 7在平面直角坐标系xOy中，已知点0,0O，点0,8A，点M满足5MAMO，又点M在曲线224yxx上，则MO（）A5 B2 2 C2 5 D10【答

6、案】B【分析】先判断出点M两个圆的公共点，求出2,2M，进而求出MO.【详解】设,M x y.因为点0,0O，点0,8A，且5MAMO，所以222285xyxy，整理化简得：22220 xy.而点M在曲线224yxx上，方程224yxx平方后，整理为一个圆2215xy，所以曲线224yxx为圆2215xy在 x 轴上方部分.则两个圆的公共弦为两圆的方程相减，整理得：260 xy.所以,M x y满足224260yxxxy，解得：22yx.即2,2M.第 4 页 共 21 页 所以22222 2MO.故选：B 8两条曲线2ln2xya与ln xyx存在两个公共点，则实数a的取值范围为（）A1,e

7、ln2 B10,eln2 C10,e D1,e【答案】C【分析】由题可得lnnl22xxxax 有两个不等正根，令20 xtx，即lntat有两个不等正根，然后利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.【详解】由题可知2lnln2xxxa有两个不等正根，即lnnl22xxxax 有两个不等正根，令20 xtx，则ln2nlln xxt，又22ln20 xxtx，2xtx在0,上单调递增，所以lntat有两个不等正根，设 ln,0thttt，则 21 lnth tt，由 0h t可得 0,e,th t单调递增，由 0h t可得 e,th t单调递减，且 1eeh，作出函数 lnth tt和ya的大

8、致图象，由图象可知当10,ea时，lntat有两个正根，即10,ea时，两条曲线2ln2xya与ln xyx存在两个公共点.故选：C.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；第 5 页 共 21 页（3）转化为两熟悉的函数图象的问题.二、多选题 9已知在正四面体ABCD中，E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则（）A/EF平面ACD BACBD CAB平面FGH DE、F、G、H四点共面【答案】ABD【分析】把正四面体ABCD放到正方体里，对于 A 项根据线面平行的判定定理证

9、明 对于 B 项，从正方体的角度上看易得 对于 D 项，证明四边形EFGH是平行四边形可验证 对于 C 项，反证法证明，矛盾点是AB与HE的夹角.【详解】把正四面体ABCD放到正方体里，画图为：对于 A 项，E、F分别为AB，BC的中点，/EFAC 又AC 平面ACD且EF 平面ACD/EF平面ACD，故 A 正确 对于 B 项，从正方体的角度上看易得ACBD，故 B 正确.对于 D 项，E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点/EFAC且12EFAC/GHAC且12GHAC 所以/,EFGH EFGH 所以四边形EFGH是平行四边形，故E、F、G、H四点共面，所以 D 正确.对于

10、C 项，若AB平面FGH成立，即AB平面EFGH 第 6 页 共 21 页 又因为HE 平面EFGH 所以ABHE 又因为E、H分别为AB，AD的中点，所以/EHBD 所以ABBD 而ABD为等边三角形，与ABBD矛盾，所以 C 不正确.故选：ABD 10已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左右焦点分别是1F，2F，过2F的直线交双曲线C的右支于P、Q两点，若1PQF为等腰直角三角形，则C的离心率可能为（）A2 21 B21 C52 2 D32 2【答案】BC【分析】分PQx和PQ与x轴不垂直两种情况，结合几何关系以及双曲线的定义、性质可求解.【详解】当PQx轴时，将xc代入2222

11、:1xyCab得2222:1cyCab解得2bya，所以22bPFa，且11PFQF，因为1PQF为等腰直角三角形，所以1245,PF F 所以212PFFF，所以22bca，则有222caac，即2210ee，解得12e （舍）或12e ，当PQ与x轴不垂直时，由于对称性，不妨设PQ倾斜角为锐角，且P在x轴上方，则可得111,90PFQFF PQ，所以由1PQF为等腰直角三角形可得，11,QFPQ QFPQ 根据双曲线的定义可得122,QFQFa所以222PQQFPFa，又因为122PFPFa，所以14PFa，第 7 页 共 21 页 又因为22221116QFPQPFa，所以12 2QFP

12、Qa，所以222 222(21)QFPQPFaaa，在直角三角形12QFF中，2221212QFQFF F，即222284214aac，整理得2252 2ca，解得52 2e，故选:BC.11设函数 sinf xx，xR，其中0，3.若1409f，419f，且 f x的最小正周期大于52，则（）A14 B6 C f x在2,3 上单调递增 D f x在0,3上存在唯一的极值点【答案】BC【分析】根据给定条件，讨论求出,值，判断 A，B；再探讨函数 f x在指定区间上的单调性、极值点判断 C，D 作答.【详解】函数 sinf xx的最小正周期为T，由1409f及419f得：414(21)()2,

13、N499Tkk，则8,N21Tkk，而52T，即有5822,N1kk，解得21,N10kk，即1k 或2k，当1k 时，18,4T，由419f得1114,Z492kk，有117,Z18kk，而3，显然不存在整数1k，使得3，当2k 时，83,34T，由419f得2234,Z492kk，有22,Z6kk，而3，于是得20,6k，符合题意，所以83,346T，A 不正确，B 正确；3()sin()46f xx，当23x时，532934612x，而函数sinyx在529(,)312上单调递增，所以函数 f x在2,3 上单调递增，C 正确；当03x时，32964612x，而函数sinyx在29(,)

14、612上两个极值点，一个极大值点，一第 8 页 共 21 页 个极小值点，所以函数 f x在0,3上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D 不正确.故选：BC 12若函数 f x是定义在0,上不恒为零的可导函数，对任意的x，yR均满足：f xyxfyyf x，22f，记 g xfx，则（）A 10f B 10g C444xgxg D 11221 2nknkfn【答案】ACD【分析】对于 A 选项，赋值即可判断；对于 B 选项，可根据题设条件，构造函数 ln0f xkx kx，求出解析式，即可判断；对于 C 选项，通过对 222fxf xx求导可得 21gxg x，即可判断；对于 D 选项

15、，通过构造数列，结合裂项相消法以及等比数列求和公式即可求解.【详解】令1xy，得 111fff，即 10f，故 A 正确；因为 f xyxfyyf x，则 fxyfyfxxyyx，又因为 10f，f x是定义在0,上不恒为零的可导函数，所以可设 ln0f xkx kx，因为 22f，所以 2ln22fk，即1ln2k，则 1lnln2f xxx，所以 11 lnln2g xfxx，则 110ln2g，故 B 错误；令2y，所以 222fxxff x，所以 222fxf xx，所以 2222fxfx，所以 21fxfx，则 21gxg x，所以124xxgg，12xg xg，21gxg x，42

16、1gxgx，累加得：444xgxg，所以选项 C 正确；因为 222fxf xx，所以 0002 2222 2ff，1112 2222 2ff，2222 2222 2ff，第 9 页 共 21 页 1112 2222 2nnnff，累加得：0110011112 22 22 2222 2222 2222 2nnnffffff ，即 1201121222222222222nnnffffff，设 12222nnfffSnN，则 1122Sf，所以211111221 222222221 2nnnnnnnSSSS，即11112222nnnnnSS，所以11112222nnnnnSS，1212212222

17、nnnnnSS，2121112222SS，累加得11111211112211112121211122222212nnnnnSSnnn，所以112122nnnSn，即11 22nnSn 所以 1121 22nknkfn，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题属于综合题，难度较大，解决本题的关键是构造函数 ln0f xkx kx和构造数列 12222nnfffSnN，需熟悉基本初等函数的基础知识以及熟练运用数列求和的方法.三、填空题 13已知某班高三模拟测试数学成绩2109.5,14.5XN，若1240.16P X，则95109.5PX_.【答案】0.34【分析】由对称性得出所求概率.【详解】因为

18、1240.16P X，所以95109.5109.51240.51240.34PXPXP X.第 10 页 共 21 页 故答案为：0.34 14函数 sin2fxx在2x 处的切线与坐标轴围成的封闭三角形的面积为_.【答案】28【分析】根据导数几何意义求出切线方程，求出切线与坐标轴的交点，再求三角形得面积.【详解】sincos2fxxx，sinfxx，sin122f即切线的斜率为1，又cos022f，即切点为,02，根据导数几何意义得切线方程为012yx，即2yx，切线与x轴的交点为,02，与y轴的交点为0,2，所以围成三角形的面积为212228，故答案为：28 15 已知平行四边形ABCD中

19、，3AB，4BC，60ABC.若沿对角线AC将ABC折起到B AC的位置，使得13B D，则此时三棱锥BACD的外接球的体积大小是_.【答案】19 196#19 196【分析】求得13AC，根据三棱锥BACD的结构特征，将其补成一个长方体，设出其棱长,a b c，表示出2222()38abc，求得外接球半径，即可求得答案.【详解】如图示：在平行四边形ABCD中，3AB，4BC，60ABC，则2222cos609161213ACABBCAB BC,第 11 页 共 21 页 所以13AC,则在三棱锥BACD中，4,3,13B CADB ACDACB D，故可将三棱锥BACD中补成一个长方体，如图

20、示：则22222291613abacbc，故2222()38abc，由题意可知三棱锥BACD的外接球即为该长方体的外接球，设球的半径为 r,则2221922abcr，故外接球体积为3419 1936Vr，故答案为：19 196 16意大利数学家斐波那契于 1202 年写成计算之书，其中第 12 章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，.记该数列为 nF，则121FF，21nnnFFF，*nN.如图，由三个图（1）中底角为 60等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2）的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算22202520212022202320232024FFFFFF_.【答

21、案】3【分析】根据图示规律和数列递推关系即可求解.【详解】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，第 12 页 共 21 页 所以22453542111sin603sin60sin60222FFFFFF ，整理可得22635423FFFFF，由此可推断出2021202220232024,FFFF也可构成以下正三角形，所以22202320242022202420232021111sin603sin60sin60222FFFFFF ，整理可得22202520222024202320213FFFFF，所以22202520212022202320232024FFFFF

22、F 20232022230202220242022433()FFFFFF 故答案为：3.四、解答题 17已知公差大于 0 的等差数列 na满足2411a aa，35a.(1)求 na的通项公式；(2)在na与1na之间插入2n个 2，构成新数列 nb，求数列 nb的前 110 项的和110S.【答案】(1)21nan(2)244 【分析】（1）设公差为d，利用基本量代换求出2d，再利用通项公式即可得到答案；第 13 页 共 21 页（2）先判断出当有n次插入新数，共有122n个项，从而判断出 110 项应该介于6a和7a之间，即可求和.【详解】（1）设公差为d，0d，由题意得555 8ddd，

23、化简得28200dd，解得2d 或10d（舍去），所以3352621naandnn.（2）由（1）知在21n与21n之间插入2n个 2，所以当忽略数列 na中的项，则当有n次插入新数，共有12312 1 22222221 2nnn个项，当5n 时，有 62 个数；当6n 时，共有 126 个数，所以 110 项应该介于6a和7a之间，即11062642，表示共有 104 个 2 和原先 na中前 6 项之和，所以1101 3579 11 1042244S .18某公司开发了一款可以供n（3n或4n）个人同时玩的跳棋游戏.每局游戏开始，采用掷两颗质地均匀的骰子（骰子出现的点数为 1，2，3，4，

24、5，6），两个骰子的点数之和除以n所得的余数对应的人先走第一步.两个骰子的点数之和除以n的余数 0，1，2，1n分别对应游戏者1A，2A，3A，nA.(1)当3n时，在已知两个骰子的点数之和为偶数的条件下，求3A先走第一步的概率；(2)当4n 时，求两颗骰子点数之和除以n的余数X的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公平.【答案】(1)13(2)分布列见解析，149E X，不公平 【分析】（1）列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解；（2）根据试验，分析出当4n 时，两颗骰子点数之和除以n的余数X可能为 0，1，2，3，分别求概率，得到分布列，即可判断.【详解】（1）因为掷两

25、颗质地均匀的骰子所得点数之和有如下 36 种基本样本点（表）：1 2 3 4 5 6 第 14 页 共 21 页 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 在已知两个骰子点数之和为偶数的条件下，共有基本事件 18 个，设事件“3A先走第一步”为D，表示和被3n除后的余数为 2 的基本事件有和为 2，8 对应的情形有 6个，依据古典概型可知：61183P D，即3A先走第一步的概率为13.（2）当4n 时，两颗骰子点数之和除以n的余数X可能为 0，1，2，3，

26、且 35 110364P X 4421369P X 1 5312364P X 262533618P X 所以随即变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 14 29 14 518 故 1215140123494189E X ；由于和被 4 除所得余数（即随即变量X取值）的概率大小不完全相同，说明该方法对每个游戏者不公平.19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PBC平面PAB，22PBPA，CP CB，M，N分别为PB，CD的中点，且PAMN.第 15 页 共 21 页 (1)证明：PACD；(2)若四棱锥PABCD的体积为 1，求异面直线MN与AB所成角的余弦值.【答案】

27、(1)证明见解析(2)55 【分析】（1）根据平面PBC平面PAB得到CMPA，再根据PAMN得到PA 平面CMN即可.（2）以A为坐标原点，AP，AB方向为x，y轴正方向建立空间直角坐标系，求解.【详解】（1）证明：如图，连接CM，因为CPCB，M为PB中点，所以CMPB，由CM 平面PBC，平面PBC平面PAB，平面PBC平面PABPB，故CM 平面PAB；因为PA 平面PAB，所以CMPA；因为PAMN，CMPA，且CMMNM，,CM MN 平面CMN 所以PA 平面CMN；而CD 平面CMN，所以PACD.（2）由（1）PACD，且ABCD为平行四边形，所以PAAB，因为22PBPA，

28、所以3AB 由于四棱锥PABCD的体积为21P ABCDP ABCVV，第 16 页 共 21 页 故11113322P ABCC PABVVCM，解得3CM；如图，以A为坐标原点，AP，AB方向为x，y轴正方向建立空间直角坐标系，则3,0,0B，1,0,0P，3 1,022M，3 1,322C 因为N为CD的中点，且3,0,0CDBA，所以13,0,022CNCD，所以33,0,00,0,3,0,322MNCNCM ，设异面直线MN与AB所成角为，0,2，则3352cos53334MN ABMN AB，所以异面直线MN与AB所成角的余弦值为55 20已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、

29、b、c，3c，4ab，点D满足2ADDB.(1)若CD为ACB的角平分线，求ABC的周长；(2)求23CD的取值范围.【答案】(1)33 2(2)8 26,27 【分析】（1）由sinsinADACACDADC和sinsinBDBCBCDBDC，根据CD为ACB的角平分线，得到ADACbBDBCa，再与4ab 求解.(2)由2221cos2 1CDbADCCD 和2222cos2 2CDaBDCCD，得到222326CDba，再结合4ab，得到2223236CDaa求解.【详解】（1）在ADC中，sinsinADACACDADC，在BCD中，sinsinBDBCBCDBDC，因为CD为ACB的

30、角平分线，所以ACDBCD，所以sinsinACDBCD，因为ADCBDC，所以sinsinADCBDC，第 17 页 共 21 页 所以ADACbBDBCa，又因为2ADDB，所以12ba，又因为4ab，所以2 2a，2b，所以ABC的周长为33 2.（2）在ACD中，2221cos2 1CDbADCCD，在BDC中，2222cos2 2CDaBDCCD，因为ADCBDC，所以coscos0BDCADC，所以222326CDba，因为4ab，所以2223236CDaa，因为ABC，所以3,3,3,abbaab 所以43,43,43,aaaaaa所以14a，令2ta，则116t，则 326f

31、ttt，116t，224 24 2321ttfttt，当14 2t 时，0ft，当 4 2t 时，0ft，所以在1,4 2上单调递减，在4 2,16上单调递增 所以 8 26,27f t，所以23CD的取值范围为8 26,27.21已知抛物线2:20C ypx p经过点1,2.(1)求抛物线C的方程；(2)动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为1k，2k，为非零的常数.第 18 页 共 21 页 从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：P点坐标为2,2；122kk；直线AB经过点2,0.【答案】(1)24yx(2)证明见解析 【分析】

32、（1）将1,2代入抛物线C即可求解；（2）选择，证：设直线:AB xmyn，与抛物线进行联立可得124yym，124y yn，利用两点的斜率公式即可求证；选择，证和选择，证，设设直线AB的方程为2xmy，与抛物线进行联立可得124yym，2124y y，利用两点的斜率公式即可求证；【详解】（1）因为抛物线2:20C ypx p经过点1,2，所以42p，所以2p，所以抛物线C的方程为24yx；（2）设211,4yAy，222,4yBy，方案一：选择，证 因为1122112424ykyy，2222222424ykyy，所以121221212416224yykky yyy，所以2124y y，由已知

33、可知AB与x轴不平行，设直线:AB xmyn，联立24xmynyx消去x可得2440ymyn，216160mn，所以124yym，124y yn，所以2n，所以直线AB的方程为2xmy，所以AB经过2,0；方案二：选择，证 设直线AB的方程为2xmy，联立224xmyyx 消去x可得22440ymy，所以2216160m，124yym，2124y y，第 19 页 共 21 页 因为1122112424ykyy，2222222424ykyy，所以1212222121241616162244244yymkky yyym；方案三：选择，证 设直线AB的方程为2xmy，联立224xmyyx 消去x可

34、得22440ymy，所以2216160m，124yym，2124y y，设200,4yPy，则011220110444yykyyyy，222002202444kyyyyyy，所以1200122221020120120004816844244yyymykkyyyyy yyyyymyy，所以22000168882mymyy，整理可得2004420ymym，因式分解可得002240yym对任意的m恒成立，所以02y，所以P点坐标为2,2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,x yxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到

35、关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx、12x x（或12yy、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.22已知函数 2322ln32axaxfxx，Ra.(1)当4a 时，求 f x的极值；(2)当102a时，设函数 f x的两个极值点为1x，2x，证明：121212233f xf xaxxa.【答案】(1)112ln212f x 极大值，无极小值(2)证明见解析 第 20 页 共 21 页【分析】（1）求出导函数，令 0fx得12x，列表判断12x 两边的导函数符号，进而可得答案；（2）当102a时，设函数 f x的两个

36、极值点为1x，2x，可得1x，2x是方程2220axx的两根，则122xxa，122x xa，令120,1xtx，构造函数 21ln1th ttt，01t，利用导数求解即可.【详解】（1）当4a 时，32432ln,03xf xxx x，则 3222 2312460 xxfxxxxx 令 221210 xxfxx，得12x，列表：x 10,2 12 1,2 fx+0-f x 极大值 所以 1112ln2212fxf 极大值，无极小值.（2）322222121122axaxaxxxxfxaxaxxxx 2122xaxxx，当102a时，设函数 f x的两个极值点为1x，2x所以1x，2x是方程2

37、220axx的两根，则122xxa，122x xa，不妨设1210 xxa，则 2212112212121212121222 lnln32aaxxxx xxxxxxxxf xf xxxxx 212121212122 lnln232xxaaxxx xxxxx 第 21 页 共 21 页 121212122 lnln2 lnln4221213333xxxxaaxxaxx 要证：121212233f xf xaxxa，只要证：12122 lnln121223333xxaaxxa 只要证：1212lnlnxxaxx 只要证：121212lnln2xxxxxx 只要证：1212122lnxxxxxx 只要证：12112221ln1xxxxxx 令120,1xtx，21ln1th ttt，01t，即证：120 xhx，因为 222114011th tttt t，所以 h t在0,1上单调递增，所以 10h th，所以120 xhx，得证.【点睛】求函数 f x极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 fx；(3)解方程 0,fx求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查 fx在 0fx的根0 x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 f x在0 x处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 f x在0 x处取极小值.