2023届江苏省南京市、盐城市高三上学期期末联考数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 19 页 2023 届江苏省南京市、盐城市高三上学期期末联考数学试题 一、单选题 1“3962aaa”是“数列 na为等差数列”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案.【详解】如果数列 na是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有3962aaa，反之3962aaa成立，不一定有数列 na是等差数列，故选：B.2若复数z满足12z，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为（）A B2 C3 D4【答案】D【分析】根据复数的几何意义判断z在复平面对应的点是半径为 2 的

2、圆及圆内所有点，进而求出其面积.【详解】z在复平面对应的点是半径为 2 的圆及圆内所有点，4S，故选：D.3已知集合10 xAxxa.若*A N，则实数a的取值范围是（）A1 B,1 C1,2 D,2【答案】D【分析】对参数a进行分类讨论，求出集合A的解集即可求解.【详解】若1a，则1,Aa，故12a；若1,aA，满足条件；若1a，则,1Aa，满足条件.综上可知，实数a的取值范围是：,2.故选：D.第 2 页 共 19 页 4把 5 个相同的小球分给 3 个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（）A4 种 B6 种 C21 种 D35 种【答案】B【分析】元素相同问题用隔板法.【详解】利用

3、隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有24C6种.故选：B.5某研究性学习小组发现，由双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数0kykx的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线5yx的离心率为（）A2 B2 C5 D5【答案】A【分析】由双曲线5yx的渐近线垂直得其为等轴双曲线，从而可得离心率【详解】双曲线5yx两渐近线垂直，故为等轴双曲线，离心率为2，故选：A.6ABC中，AH为BC边上的高且3BHHC，动点P满足214AP BCBC，则点P的轨迹一定过ABC的（）A外心 B内心 C垂心 D重心【答案】A【分析】设4BCa，A

4、Hb，以H为原点，HC、HA方向为x、y轴正方向建立空间直角坐标系，根据已知得出点,A B C的坐标，设,P x y，根据214AP BCBC 列式得出点P的轨迹方程为xa，即可根据三角形四心的性质得出答案.【详解】设4BCa，AHb，以H为原点，HC、HA方向为x、y轴正方向如图建立空间直角坐标系，第 3 页 共 19 页 3BHHC，3BHa，HCa，则0,0H，3,0Ba，,0C a，0,Ab，则4,0BCa，设,P x y，则,APx yb，214AP BCBC，21444axa，即xa，即点P的轨迹方程为xa，而直线xa 平分线段BC，即点P的轨迹为线段BC的垂直平分线，根据三角形外

5、心的性质可得点P的轨迹一定过ABC的外心，故选：A.7若函数 32f xxbxcxd满足110fxfx对一切实数x恒成立，则不等式231fxfx的解集为（）A0,B,4 C4,0 D,40,【答案】C【分析】根据题意分析出 f x关于点1,0对称，进而求出不等式的解集.【详解】由110fxfx，对上式求导可得110fxfx，即11fxfx，所以 fx关于1x 对称，因为232fxxbxc，所以 fx图像的开口向上，对称轴为1x，由231fxfx，得23 11 1xx ，解得40 x.故选：C.8四边形 ABCD是矩形，3ABAD，点 E，F 分别是 AB，CD的中点，将四边形 AEFD绕EF旋

6、转第 4 页 共 19 页 至与四边形BEFC重合，则直线,ED BF所成角在旋转过程中（）A逐步变大 B逐步变小 C先变小后变大 D先变大后变小【答案】D【分析】根据初始时刻 ED 与 BF所成角可判断 BC，由题可知D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，进而某一时刻EPBF，可得DE与BF所成角为2，可判断 AD.【详解】由题可知初始时刻ED与BF所成角为 0，故B C,错误，在四边形 AEFD 绕EF旋转过程中，,EFDF EFFC，,DFFCF DF FC平面DFC，所以EF平面DFC，EF 平面EFCB，所以平面DFC平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF

7、上，所以一定存在某一时刻EPBF，而DP平面EFCB，DPBF，又,DPPEP DP PE平面DPE，所以BF 平面DPE，此时DE与BF所成角为2，然后开始变小，故直线,ED BF所成角在旋转过程中先变大后变小，故选项 A 错误，选项 D 正确.故选：D.二、多选题 9若2,XN，则下列说法正确的有（）A()()P XP X 第 5 页 共 19 页 B(2)(2)PXPX C()P X不随,的变化而变化 D(2)PX 随,的变化而变化【答案】AC【分析】根据正态分布的性质对选项一一验证即可.【详解】对于 A、B：根据正态分布的对称性可得出()()P XP X 与(2)(2)PXPX，故 A

8、 正确，B 错误；对于 C、D：根据正态分布的性质可得出()P X与(2)PX 都不随,的变化而变化，表示的概率为定值，故 C 正确，D 错误；综上：选项 A、C 正确，故选：AC.10已知函数 3sin4cosf xxx.若 f，f分别为 f x的极大值与极小值，则（）Atantan Btantan Csinsin Dcoscos 【答案】BCD【分析】由辅助角公式得出 5sinf xx，即可根据已知得出122k，222k，1k、2k Z，则122 kk，设12kkk，则2k，kZ，再根据诱导公式对选项一一验证.【详解】3sin4cosf xxx根据辅助角公式可得：5sinf xx，其中4s

9、in5，3cos5，f，f分别为 f x的极大值与极小值，122k，222k，1k、2k Z，则122 kk，1k、2k Z，12kkZ，设12kkk，则2k，kZ，第 6 页 共 19 页 则2k，tantaa2nt nk，故 A 错误，B 正确；sinsii2ns nk，故 C 正确；coscoo2sc sk，故 D 正确；故选：BCD.11已知直线l的方程为2212220,axayaaOR为原点，则（）A若2OP，则点P一定不在直线l上 B若点P在直线l上，则2OP C直线l上存在定点P D存在无数个点P总不在直线l上【答案】BD【分析】利用点到直线距离公式进行判断.【详解】O到直线l的

10、距离为222222214aaa，所以l与圆224xy相切，因此选项 A 错误，B 正确，D 正确；由2212220axaya可得，22220axayx，若直线存在定点，则202020 xyx，这样的,x y不存在，因此直线l上不存在定点P，选项 C 错误.故选：BD.12如图，圆柱OO的底面半径为 1，高为 2，矩形ABCD是其轴截面，过点 A 的平面与圆柱底面所成的锐二面角为，平面截圆柱侧面所得的曲线为椭圆，截母线EF得点P，则（）A椭圆的短轴长为 2 Btan的最大值为 2 第 7 页 共 19 页 C椭圆的离心率的最大值为22 D1 costanEPAOE【答案】ACD【分析】短轴长为底

11、面圆直径，可以判断 A 选项；tan的最大值为tan1CAB，可以判断 B 选项；长轴长最长为AC时，可以判断 C 选项；利用几何关系判断 D 选项；【详解】椭圆在底面上的投影为底面圆O，所以短轴长为底面圆直径，即为 2，故 A 正确；当平面过 AC 时，tan的最大值为tan1CAB，故 B 错误；椭圆短轴长为定值 2，所以长轴长最长为AC时，离心率最大为22，故 C 正确；过E作椭圆所在平面和底面的交线垂线，垂足为G，连接 AE，设则AOE，由题意可得AOAG，由余弦定理可得 222cos22cosAEAOOEAO OE，由2222GAEOAE，则21 cossinsin22cossin2

12、2cos1 cos222EGAEGAEAE，由题意可得,PGEPEGE，所以1 costanEPAOE，故 D 正确.故选:ACD.三、填空题 13512xx展开式中3x的系数为_.【答案】80【分析】根据展开式通项公式进行求解.第 8 页 共 19 页【详解】因为展开式通项公式为：5 255+1551C(2)C 2kkkkkkkTxxx 所以3x的系数为145C 280.故答案为：80.14设函数 sin03f xx，则使 f x在,2 2上为增函数的的值可以为_.（写出一个即可）.【答案】13（答案不唯一，满足10,3即可）【分析】根据三角函数单调性求出函数 f x在52 2 66,kk，

13、Zk上单调递增，使 f x在,2 2上为增函数，令52 60260kk，Zk，解得151212k，则k取 0，此时函数 f x的单调递增为5,66，则56,2,62，即可列式得出13，即可得出答案.【详解】sin03f xx，令22 232kxk，Zk，解得52 2 66kkx，Zk 即函数 f x在52 2 66,kk，Zk上单调递增，而函数 f x在,2 2 上为增函数，令5260260kk，0，解得151212k，Zk，则k取 0，第 9 页 共 19 页 此时函数 f x的单调递增为5,66，则56,2,62，则52626，解得13，则使 f x在,2 2上为增函数的的值的范围为10,

14、3，故答案为：13（答案不唯一，满足10,3即可）15在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量,X Y的取值集合均为*0,1,2,3,nnN，则,X Y的散度0(|)lnniP XiD XYP XiP Yi.若X，Y的概率分布如下表所示，其中01p，则(|)D XY的取值范围是_.X 0 1 P 12 12 Y 0 1 P 1p p 【答案】0,【分析】根据已知公式得出11(|)ln241D XYpp，根据二次函数最值与不等式性质得出114(1)pp，即可根据对数函数性质得出11(|)ln024(1)D XYpp，即可得出答案.【详解】根据已知公式0(|)lnniP XiD

15、XYP XiP Yi，得111111(|)lnlnln22(1)2224(1)D XYpppp，24(1)44pppp，令244pyp，开口向下，对称轴为12p，第 10 页 共 19 页 244pp在01p上，24410pp，则114(1)pp，则11(|)ln024(1)D XYpp，故答案为：0,四、双空题 16已知数列 nnab满足121,21,2nnnankbank其中*k N，nb是公比为q的等比数列，则1nnaa_（用q表示）；若2224ab，则5a _.【答案】2q 1024【分析】根据已知得出21kkab，则12121nnnnabab，即可得出21nnaqa，根据已知得出23

16、ab，可得到1124bqq，根据已知得出3253,ab ba，结合条件即得.【详解】21nk时，12nnba，即21kkab，*k N，则12121nnnnabab，nb是公比为q的等比数列，22121nnbqb，即21nnaqa；20q，na中的项同号，2nk时，1nnba，10na，则 na中的项都为正，即0na，120nnba，0q，121,21,2nnnankbank，第 11 页 共 19 页 23ab，222324abbb，1124bqq，121,21,2nnnankbank，3253,ab ba，225bb，即22411b qbq，21bq，343124,1680qqqq，解得2

17、q，210541024abq.故答案为：2q；1024.五、解答题 17已知数列 na满足*113,34,nnaaan nN.(1)判断数列21nan是否是等比数列，并求 na的通项公式；(2)若121 2nnnnnba a，求数列 nb的前n项和nS.【答案】(1)证明见解析，21nan(2)122233nnSn 【分析】（1）由已知可得12 1 10a ，可知该数列不是等比数列，利用递推关系即可求出na；（2）利用裂项相消法即可求和.【详解】（1）1210a ，故数列21nan不是等比数列.134nnaan，121134211321nnnanannan 第 12 页 共 19 页 同理12

18、13211nnanan 212 2 132 1 10aa ，迭代得1121132 1 10nnana ，即123nan 所以21nan.（2）1121 221 22221232321nnnnnnnnnba annnn，所以1112222844222232121217553233nnnnnnSnnnnn.18在ABC中，2AC，3BAC，P为ABC内的一点，满足APCP，23APB.(1)若APPC，求ABC的面积；(2)若7BC，求AP.【答案】(1)32(2)3 【分析】（1）首先求出AP，再在APB中求出ABP，利用正弦定理求出AB，最后由面积公式计算可得；（2）在ABC中利用余弦定理求出

19、AB，令CAP，则2cosAP，表示出BAP，ABP，再由正弦定理求出tan，即可得解.【详解】（1）解：在APC中，因为APCP，且APCP，所以4CAP.由2AC，可得sin24APAC.又3BAC，则3412BAP.在APB中，因为23APB，12BAP，所以23124ABP，则22sinsin34AB，解得3AB，从而1133sin322222ABCSAB ACBAC.（2）解：在ABC中，由2742ABAB，第 13 页 共 19 页 解得3AB 或1AB （舍去）.令CAP，则在APC中2cosAP.在ABP中，3BAP，所以233ABP，则sinsinABAPAPBABP，即32

20、cos2sinsin3，得3tan3.因为0,3，所以6，从而3232AP.19为深入贯彻党的教方针，全面落实中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校从 2022 年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政烹饪手工园艺非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从 2022 年 1 月到 10 月每两个月从全校 3000 名学生中随机抽取 150 名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x 2 4 6 8 10 满意人数y 80 95 100 105 120 (1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与

21、月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程ybxa，并预测 12 月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10 月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意 不满意 合计 男生 65 10 75 女生 55 20 75 合计 120 30 150 请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：1122211,nniiiiiinniiiix ynxyxxyybaybxxnxxx.第 14 页 共 19 页 20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.706 3

22、.841 5.024 6.635 7.879 22()n adbcKabcdacbd，其中nabcd .【答案】(1)9732yx，2540(2)有95%的把握 【分析】（1）根据线性回归方程公式求出ba、，进而求出回归直线方程ybxa，预测出结果；（2）根据公式求出24.17K，判断出有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关.【详解】（1）由题意可得6,8095 1001051205100 xy，则 512680 1004695 10066100 100iiixxyy 86105100106120100180,52222221(26)(46)(66)(86)(106)40ii

23、xx 可得12118099,1006734022niiiniixxyybaxx，故y关于x的回归直线方程为9732yx.令12x，得127y，据此预测 12 月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为12730002540150人.（2）提出假设0H：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关.则222()150(652055 10)254.17120 30 75 756n adbcKabcdacbd.因为23.8410.05P K，而4.173.841，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关.第 15 页 共 19 页 20如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面,ABCD AB

24、AD，平面PAC 平面,2PBD ABADAP，四棱锥PABCD的体积为 4.(1)求证：BDPC；(2)求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1919 【分析】（1）设ACBDO，在平面PAC内过点A作AHPO，垂足为H,利用面面垂直的性质定理可得AH 平面PBD，再根据线面垂直的性质定理和判断定理求解即可；（2）以,AP AB AD为,z x y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）设ACBDO，在平面PAC内过点A作AHPO，垂足为H,因为平面PAC 平面PBD，平面PAC平面PBDPO，所以AH 平面PBD，又BD平面PBD，

25、所以BDAH，因为PA 平面,ABCD BD 平面ABCD，所以BDPA,因为,BDAH PAAHA PA平面,PAC AH 平面PAC，所以BD平面PAC，又因为PC平面PAC，所以BDPC.第 16 页 共 19 页（2）在ABD中，由2,ABADABAD，可得2 2BD，4DAC，由（1）知BDAC，则1112 224332P ABCDABCDVSPAAC，解得3 2AC，因为PA 平面ABCD，,AB AD 平面ABCD，所以,AP AB AD两两垂直，以,AP AB AD为,z x y轴建立如图所示空间直角坐标系，所以0,0,0,2,0,0,0,2,0,3,3,0,0,0,2ABDC

26、P，设平面PAD的一个法向量为1,0,0n，设平面PCD的一个法向量为,mx y z，又0,2,2,3,3,2PDPC，则2203320PD myzPC mxyz解得1,3,3m ，所以119cos,19119n mn mn m，所以平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值为1919.21 如图，已知椭圆2214xy的左右顶点分别为,A B，点C是椭圆上异于,A B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点,M N AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点,P Q，点,P C M在x轴的上方.第 17 页 共 19 页(1)当5AC 时，求cosPOM；(2)求PQMN的最大值.【答案】(1

27、)35(2)10 【分析】（1）根据题意求出14ACODkk，根据5AC 分析出点C满足的方程，求出点C坐标，进而求出cosPOM；（2）利用弦长公式求出PQ和MN，再利用基本不等式求出最值.【详解】（1）由题知2,0A,设00,C x y，则002,22xyD，则2000200011142244 ACODxyykkxxx.因为5AC，所以C在圆22(2)5xy上，又C在椭圆2214xy上，所以00,C x y满足2222(2)514xyxy，所以22(2)154xx，23404xx，所以00 x 或01623x （舍去），又C在x轴上方，所以0,1C，所以直线AC的斜率为12，故直线OD的斜

28、率为12，所以直线AC与直线OD关于y轴对称.设直线AC的倾斜角，22222222sincostan13coscos2cos2sincos2sincostan15POM （2）当直线MN斜率为0,k k，则直线:MNykx，直线1:4PQ yxk，1122,M x yN xy满足2214ykxxy，所以22224414,41kxxk，所以22216141MNkk，第 18 页 共 19 页 同理222224 1611111164114kPQkkk，所以22222216 44 16141kkMNPQk22222222244 161164 20521004141kkkkk 所以10MNPQ，当且仅

29、当2244161kk，即12k 时取“”，所以PQMN的最大值为 10.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题 22已知函数 1exxf x.(1)当1x 时，求函数 21g xf xx的最小值；(2)已知 1212,xxf xf xt，求证：122 1xxt.【答案】(1)0(2)证明见解析 【分析】（1）利用导函数求 g x单调性进而求最小值即可；（2）利用 f x单调性可得当 12f xf xt时，

30、不妨设120 xx，由 210f xf x可得11x ，再利用（1）中结论得 2111tf xx，2221tf xx 求解即可.【详解】（1）由题意可得 2e12eexxxxxgxx，令 0fx，则0 x 或ln2x ，列表如下：x 1,ln2 ln2 ln2,0 0 0,g x 0 0 g x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 第 19 页 共 19 页 当x趋近于1时，g x趋近于 10,00gg 所以 min()00g xg.（2）由题意可得 exxfx，所以当0 x 时，0fx，即 f x在,0上单调递增，当0 x 时，0fx，即 f x在0,上单调递减，所以 max01f xf，因为 12f xf x，不妨设120 xx，因为20 x 时，220,0,1f xtf x，所以 120f xf x，所以11x ，由（1）知1x，且0 x 时，210g xf xx，所以 21f xx，则 2111tf xx，解得11xt，2221tf xx，解得21xt，所以12212 1xxxxt.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，第（2）问思路，利用（1）中结论当1x，且0 x 时，210g xf xx，得 21f xx，分析12,x x的范围解不等式即可求解.