三角恒等变换及解三角形.ppt

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1、会计学1三角三角(snjio)恒等变换及解三角恒等变换及解三角(snjio)形形第一页，共115页。【知识(zh shi)回顾】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()=_.(2)cos()=_.(3)tan()=_.sincoscossincoscossinsin第1页/共114页第二页，共115页。2.二倍角的正弦、余弦、正切(zhngqi)公式(1)sin2=_.(2)cos2=_=_=_.(3)tan2=_.2sincoscos2-sin2 2cos2-11-2sin2第2页/共114页第三页，共115页。3.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+),其中tan=.

2、4.正弦定理及其变形(bin xng)在ABC中,_=_=_=2R(R为ABC的外接圆半径).第3页/共114页第四页，共115页。变形(bin xng):a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=,sinB=,sinC=,abc=sinAsinBsinC.第4页/共114页第五页，共115页。5.余弦定理及其变形在ABC中,a2=_;变形:b2+c2-a2=_,cosA=_.6.三角形面积(min j)公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB.b2+c2-2bccosA2bccosA第5页/共114页第六页，共115页。【易错提醒】1.忽视(hsh)解的多

3、种情况:如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=,求C,再由正弦定理或余弦定理求边c,但解可能有多种情况.第6页/共114页第七页，共115页。2.忽略(hl)角的范围:应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时,要注意角的范围.3.忽视解的实际意义:求解实际问题,要注意解得的结果要与实际相吻合.第7页/共114页第八页，共115页。【考题回访(hufng)】1.(2016 全国卷)若tan=,则cos2+2sin2=()第8页/共114页第九页，共115页。【解析(ji x)】选A.cos2+2sin2=第9页/共114页第十页，共115页。2.(2016 山东(shn dn

4、)高考)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=()第10页/共114页第十一页，共115页。【解析(ji x)】选C.因为b=c,a2=2b2(1-sinA)所以cosA=即cosA=sinA.在ABC中,A=第11页/共114页第十二页，共115页。3.(2016 全国卷)在ABC中,B=,BC边上(bin shn)的高等于 BC,则cosA=()第12页/共114页第十三页，共115页。【解析】选C.设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得SABC=所以(suy)c=a.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=

5、a2+a2-2a a =a2.所以(suy)b=a.所以(suy)cosA=第13页/共114页第十四页，共115页。4.(2016 全国(qun u)卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=_.第14页/共114页第十五页，共115页。【解析】因为(yn wi)cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,由正弦定理得 ,解得 答案:第15页/共114页第十六页，共115页。5.(2014 全国卷)已知a,b,c分别为ABC的三个内角(ni jio)A,B,C的对边,a=

6、2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为_.第16页/共114页第十七页，共115页。【解析】由a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,即(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,所以(suy)b2+c2-a2=bc,又由余弦定理得cosA=第17页/共114页第十八页，共115页。所以(suy)A=60,所以(suy)b2+c2-4=bc,即b2+c2-bc=4,则bc4,所以(suy)SABC=bcsinA 4 =.答案:第18页/共114页第十九页，共115页。热

7、点考向一三角变换及求值命题解读:重点(zhngdin)考查利用三角恒等变换解决化简求值、求角问题.以选择题、填空题为主,有时解答题也有出现.第19页/共114页第二十页，共115页。【典例1】(1)(2016全国(qun u)卷)若 ,则sin2=()第20页/共114页第二十一页，共115页。(2)(2016莱芜(li w)二模)若 ,且-0,则 =()第21页/共114页第二十二页，共115页。(3)如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆O上,且点C位于第一(dy)象限,点B的坐标为 ,AOC=.若|BC|=1,则 cos2 -sin cos -的值为_.第22页/共114页第二

8、十三页，共115页。【解题导引】(1)利用诱导公式变换角,建立已知角和未知角的联系,利用三角恒等变换公式求值.(2)利用两角和的正切公式,求出tan的值,将所求式子进行(jnxng)化简求值.(3)利用三角函数的定义及三角变换公式求解.第23页/共114页第二十四页，共115页。【规范解答(jid)】(1)选D.因为sin2=(2)选A.由又-0,所以sin=-.故第24页/共114页第二十五页，共115页。(3)由题意得|OB|=|BC|=1,从而OBC为等边三角形,所以sinAOB=又因为(yn wi)答案:第25页/共114页第二十六页，共115页。【规律方法】1.化简求值的方法与思路(

9、1)方法:采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类,做到三角函数名称的统一(tngy);通过三角恒等变换,化繁为简,便于化简求值;(2)基本思路:找差异,化同名(同角),化简求值.第26页/共114页第二十七页，共115页。2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系(gun x),正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.第27页/共114页第二十八页，共115页。(3)求解三角函数(snjihnsh)中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数(snjihnsh)值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.

10、第28页/共114页第二十九页，共115页。【题组过关(gugun)】1.(2016 枣庄二模)已知 则sin 的值是()第29页/共114页第三十页，共115页。【解析(ji x)】选D.第30页/共114页第三十一页，共115页。2.若tan=2tan ,则A.1 B.2C.3 D.4第31页/共114页第三十二页，共115页。【解析(ji x)】选C.第32页/共114页第三十三页，共115页。第33页/共114页第三十四页，共115页。3.(2016 日照(rzho)一模)若cos(2-)=-,sin(-2)=,0 ,则+的值为_.第34页/共114页第三十五页，共115页。【解析(j

11、i x)】因为cos(2-)=-且 2-,所以sin(2-)=.因为sin(-2)=且-2 ,所以cos(-2)=.第35页/共114页第三十六页，共115页。所以cos(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(-2)+sin(2-)sin(-2)=-+=.因为(yn wi)+,所以+=.答案:第36页/共114页第三十七页，共115页。【加固训练(xnlin)】1.(2015 全国卷)sin20cos10-cos160sin10=()第37页/共114页第三十八页，共115页。【解析(ji x)】选D.原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=.第38页/共

12、114页第三十九页，共115页。2.(2016 成都一模)=()A.4 B.2 C.-2 D.-4第39页/共114页第四十页，共115页。【解析(ji x)】选D.第40页/共114页第四十一页，共115页。2.(2016 德州一模)已知 ,则cos等于(dngy)()第41页/共114页第四十二页，共115页。【解析(ji x)】选A.因为 ,所以+因为 所以所以第42页/共114页第四十三页，共115页。热点考向二正弦定理与余弦定理命题解读:主要考查利用正弦、余弦定理求三角(snjio)形的边长、角与面积等基础问题,或将两个定理与三角(snjio)恒等变换相结合综合解三角(snjio)形

13、,或利用正、余弦定理解决实际问题,三种题型都有可能出现.第43页/共114页第四十四页，共115页。命题(mng t)角度一利用正、余弦定理进行边、角、面积的计算【典例2】(2016济南一模)在锐角ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,且 a=2csinA.(1)求角C的大小.(2)若c=,且ABC的面积为 ,求a+b的值.第44页/共114页第四十五页，共115页。【题目(tm)拆解】解答本例第(2)问,可拆解成两个小题:求ab的值;求a+b的值.第45页/共114页第四十六页，共115页。【规范解答】(1)由正弦定理得:sinA=2sinCsinA,因为(yn wi)A,C是锐角,所以

14、sinC=,所以C=60.(2)由已知得,ABC的面积S=absinC=,所以ab=6.第46页/共114页第四十七页，共115页。由余弦定理(y xin dn l)得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以(a+b)2=25,所以a+b=5.第47页/共114页第四十八页，共115页。【母题(m t)变式】1.在本例条件下,求sinA+sinB的取值范围.第48页/共114页第四十九页，共115页。【解析】由本例可知(k zh)C=60,所以A+B=120,所以sinA+sinB=sinA+sin(120-A)=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA 第49页/

15、共114页第五十页，共115页。又ABC为锐角三角形,所以(suy)0A90,即A+30 ,所以(suy)sin(A+30)故sinA+sinB的取值范围为 第50页/共114页第五十一页，共115页。2.在本例条件下,若c=,求ABC面积(min j)的最大值.【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,即7=a2+b2-ab2ab-ab,所以ab7,所以SABC=absinC 7sin60=.故ABC面积(min j)的最大值为 .第51页/共114页第五十二页，共115页。命题角度二应用正、余弦定理解决实际问题【典例3】(1)(2016成都一模)某气象仪器(y

16、q)研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器(yq)的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器(yq)的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,BAC=60,其中A到C的距离第52页/共114页第五十三页，共115页。比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC=15,A 地测得最高点H的仰角为HAO=30,则该仪器的垂直(chuzh)弹射高度CH为()A.210(+)米 B.140 米C.210 米 D.20(-)米第53页/共114页第五十四页，共115页。(2)(2016泰安二模)如图,从气球A上测得正前方的河

17、流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于_m.(用四舍五入法将结果(ji gu)精确到个位.参考数据:sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos370.80,1.73)第54页/共114页第五十五页，共115页。第55页/共114页第五十六页，共115页。(3)(2016烟台二模)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山项D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角(yngjio)为30,则此山的高度CD=_m.第56页/共114页第五十七页，共115页。【解题

18、导引】(1)利用余弦定理求AC,再利用正弦定理求仪器的垂直(chuzh)弹射高度CH.(2)结合图形构造适当的三角形,利用正弦定理求解.(3)结合图形,求出ACB的度数,再利用正弦定理求解.第57页/共114页第五十八页，共115页。【规范(gufn)解答】(1)选B.由题意,设AC=x,则BC=x-40,在ABC内,由余弦定理:|BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|CA|cosBAC,即(x-40)2=x2+10000-100 x,解得x=420.第58页/共114页第五十九页，共115页。在ACH中,|AC|=420,CAH=30+15=45,CHA=90-30=60,由正弦(zh

19、ngxin)定理:可得|CH|=|AC|米.第59页/共114页第六十页，共115页。(2)根据图中给出的数据构造适当的三角形求解(qi ji).根据已知的图形可得AB=.在ABC中,BCA=30,BAC=37,由正弦定理,得 所以BC2 0.60=60(m).答案:60第60页/共114页第六十一页，共115页。(3)由题意,在ABC中,BAC=30,ABC=180-75=105,故ACB=45.又AB=600m,故由正弦定理(dngl)得 解得BC=300 m.在RtBCD中,CD=BCtan30=答案:100 第61页/共114页第六十二页，共115页。【规律方法】1.正、余弦定理的适用

20、条件(tiojin)(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.第62页/共114页第六十三页，共115页。2.解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部(qunb)集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.第63页/共114页第六十四页，共115页。(2)实际问题经抽象概括(giku)后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求

21、的解.第64页/共114页第六十五页，共115页。【题组过关(gugun)】1.(2016 聊城二模)在ABC中,A=,AB=6,AC=3 ,点D在BC边上,AD=BD,则AD的长为()第65页/共114页第六十六页，共115页。【解析】选B.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3 )2+62-23 6cos =18+36-(-36)=90,所以a=3 .又由正弦(zhngxin)定理得sinB=第66页/共114页第六十七页，共115页。由题设知0BAD,所以AD=3.第74页/共114页第七十五页，共115页。(2)在AB

22、D中,由正弦(zhngxin)定理可知 又由cosBAD=,可知sinBAD=,所以sinADB=第75页/共114页第七十六页，共115页。因为(yn wi)ADB=DAC+C,DAC=.所以cosC=.第76页/共114页第七十七页，共115页。【加固(ji)训练】1.(2016 烟台一模)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为 ()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定第77页/共114页第七十八页，共115页。【解析】选A.由题可知sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2

23、A,sinA=sin2A,因为(yn wi)sinA0,所以sinA=1,因为(yn wi)0A,所以A=.所以ABC为直角三角形,故选A.第78页/共114页第七十九页，共115页。2.(2016 南昌一模)已知平面(pngmin)图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面(pngmin)四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则四边形ABCD面积S的最大值为()第79页/共114页第八十页，共115页。【解析(ji x)】选B.根据题意,连接BD,则S=23sinA+45sinC=3sinA+10sinC.根据余弦定理得,BD2=13-1

24、2cosA=41-40cosC,得10cosC-3cosA=7,两边同时平方得100cos2C+9cos2A-60cosCcosA=49,得100sin2C+9sin2A=60-60cosCcosA,第80页/共114页第八十一页，共115页。而S2=(3sinA+10sinC)2=100sin2C+9sin2A+60sinCsinA=60-60cosAcosC+60sinCsinA=60-60cos(C+A)120,所以(suy)S2 .第81页/共114页第八十二页，共115页。3.(2016 潍坊二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(1)求A的大小(dxio).(

25、2)若a=6,求b+c的取值范围.第82页/共114页第八十三页，共115页。【解析(ji x)】(1)因为 所以 cosA=sinA,所以tanA=,因为0A,所以A=.第83页/共114页第八十四页，共115页。(2)因为(yn wi)所以b=4 sinB,c=4 sinC,所以b+c=4 sinB+4 sinC=4 sinB+sin(-A-B)第84页/共114页第八十五页，共115页。因为(yn wi),所以6c.已知 =2,cosB=,b=3.求:a和c的值;cos(B-C)的值.第88页/共114页第八十九页，共115页。【解题导引】(1)利用等差数列(dn ch sh li)的性

26、质及三角恒等变换求解.(2)结合向量的数量积公式,将 转化为cacosB的形式,再根据题目所给条件由余弦定理可列出关于a与c的方程组,然后求解出a,c的值,由同角基本关系式结合正弦定理及两角差的余弦公式,可求出cos(B-C)的值.第89页/共114页第九十页，共115页。【规范解答(jid)】(1)选D.由条件,得tanC=tanB,tanA=tanB,所以ABC为锐角三角形.又tanA=-tan(C+B)=第90页/共114页第九十一页，共115页。得tanB=2,所以(suy)tanA=1,所以(suy)tan(B-A)=因为BA,所以(suy)cos(B-A)=第91页/共114页第九

27、十二页，共115页。(2)由 =2,得cacosB=2,又cosB=,所以(suy)ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以(suy)a2+c2=9+26 =13.因为ac,所以(suy)a=3,c=2.第92页/共114页第九十三页，共115页。在ABC中,sinB=由正弦定理,得sinC=因为a=bc,所以(suy)C是锐角.因此cosC=第93页/共114页第九十四页，共115页。则cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC第94页/共114页第九十五页，共115页。【易错警示】解答(jid)本题(2)易出现以下三种错误(1)解题中易忽略条件“a

28、c”,而产生增解.(2)解题中易忽略角B为三角形内角,即sinB0,而产生增解.(3)未注明角C的限制条件而产生错解.第95页/共114页第九十六页，共115页。【规律方法】与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择(xunz)正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换公式.第96页/共114页第九十七页，共115页。【题组过关】1.(2016 肇庆一模)ABC中角A,B,C的对应(duyng)边分别为a,b,c,满足 1,则角A的范围是()第97页/共114页第九十八页，共115页。【解析(ji x)】选A.由 1,得b(a+b)+c(a+

29、c)(a+c)(a+b),化简,得b2+c2-a2bc,即 即cosA (0A),所以0A ,故选A.第98页/共114页第九十九页，共115页。2.(2014 山东(shn dn)高考)在ABC中,已知 =tanA,当A=时,ABC的面积为_.第99页/共114页第一百页，共115页。【解析】令角A,B,C的对边分别(fnbi)为a,b,c,答案:第100页/共114页第一百零一页，共115页。3.(2016 成都一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别(fnbi)为a,b,c,向量q=(2a,1),p=(2b-c,cosC),且pq.(1)求sinA的值.(2)求三角函数式 的取值范围.

30、第101页/共114页第一百零二页，共115页。【解析】(1)因为pq,所以2acosC=2b-c,根据(gnj)正弦定理,得2sinAcosC=2sinB-sinC.又因为A+B+C=,所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以 sinC=cosAsinC.第102页/共114页第一百零三页，共115页。因为(yn wi)0C,所以sinC0,所以cosA=.又因为(yn wi)0A,所以A=,所以sinA=.第103页/共114页第一百零四页，共115页。(2)=1-2cos2C+2sinCcosC=sin2C-cos2C=第104页/共114页第一百零五页，共115页。因为(yn wi)0CAD,所以AD=3.。(2)结合内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换公式.第一百一十五页，共115页。