2019高中数学 第一章第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用学案 新人教A版选修.doc

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1、1第第 2 2 课时课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用学习目标：1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点)2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题(重、难点)3.会根据实际问题的特征，合理地分类或分步(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题(2)区别：分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事分步乘法计数原理针对的是分步问

2、题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事2应用两个计数原理解决计数问题的标准(1)分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)某校高一年级共 8 个班，高二年级共 6 个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有 14 种( )(2)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有 43种( )(3)有三只口袋装有小球，一只装有 5 个

3、白色小球，一只装有 6 个黑色小球，一只装有7 个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有 36 种不同的取法( )解析 (1) 根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有 8614(种)(2) 因为每个项目中的冠军都有 3 种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有 34种不同的夺冠情况(3) 分为三类：一类是取白球、黑球，有 5630 种取法；一类是取白球、红球，有 5735 种取法；一类是取黑球、红球，有 6742 种取法所以由分类加法计数原理共有 303542107(种)不同的取法答案 (1) (2) (3)22从集合1,2,3,4

4、,5中任取 2 个不同的数，作为方程AxBy0 的系数A，B的值，则形成的不同直线有( )A18 条B20 条C25 条D10 条A A 第一步，取A的值，有 5 种取法；第二步，取B的值，有 4 种取法，其中当A1，B2 时与A2，B4 时是相同的方程；当A2，B1 时与A4，B2 时是相同的方程，故共有 54218 条3由 1,2,3,4 组成没有重复数字的三位数的个数为_. 【导学号：95032014】24 由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为 43224.4一个科技小组中有 4 名女同学，5 名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_种；若从中任选一名女同学和

5、一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_种9 20 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共 549 种选派方法，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共 5420 种选派方法合 作 探 究攻 重 难抽取与分配问题在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋现在从这 7 人中选 2 人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 【导学号：95032015】思路探究 本题应先分类，再分步确定分类标准确定类数逐类分步计算结论解 法一：分四类：第 1 类，从 3 名只会下象棋的学生中

6、选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，有选法 326(种)；第 2 类，从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，有选法 326(种)；第 3 类，从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，有选法 224(种)；第 4 类，从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中各选 1 名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有选法 212(种)故不同的选法共有 664218(种)3法二：分两类：第 1 类，从 3 名只会下象棋

7、的学生中选 1 名参加象棋比赛，这时 7 人中还有 4 人会下围棋，从中选 1 名参加围棋比赛有选法 3412(种)第 2 类，从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，这时 7 人中还有 3 人会下围棋，从中选 1 名参加围棋比赛有选法 236(种)故不同的选法共有12618(种)规律方法 求解抽取(分配)问题的方法1当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法2当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练13 个不同的小球

8、放入 5 个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解 法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有 5 种选择；第二步：放第二个小球有 4 种选择；第三步：放第三个小球有 3 种选择根据分步乘法计数原理得：共有方法数N54360.法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5，分成以下 10 类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有 3216(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有 3216(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有 3216(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3

9、,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 类，每一类都有 6 种方法根据分类加法计数原理得，共有方法数N66660(种)组数问题用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？ 【导学号：95032016】思路探究 (1)利用分步乘法计数原理；(2)数字“0”不能排在首位，先排首位，再用分步乘法计数原理；(3)注意到个位只能是“1 或 3” ，首位不能是“0” ，然后利用分步乘4法计数原理计算解 (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法；第二步，选取左边第二个位

10、置上的数字，有 4 种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N5432120 个(2)直接法：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字，有 4 种不同的选取方法；第二步，从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一个数字作百位数字，有 4 种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有 3 种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有 2

11、种不同的选取方法由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N443296 个间接法：将 5 个数字不重复排在 4 个位置上有 5432120 种排法，其中不合要求的有 43224 种排法所以排成无重复数字的四位数为 1202496 个(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步，定个位，只能从 1,3 中任取一个有 2 种方法；第二步，定首位，把 1,2,3,4 中除去用过的一个还有 3 个可任取一个有 3 种方法；第三步，第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排百位有3 种方法，再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理共有 233236 个规律方法 1对于组数

12、问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解2解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则跟踪训练28 张卡片上写着 0,1,2，7 共 8 个数字，取其中的三张卡片排放在一起(1)可组成多少个不同的三位数？(2)可组成多少个不同的三位偶数？解 (1)先排放百位，从 1,2，7 共 7 个数中选一个有 7 种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的 7 个数(包括 0)中选一个，有 7 种取法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩

13、余的 6 个数中选一个，有 6 种选法由分步乘法计数原理共可以组成776294(个)不同的三位数(2)首先分两类，第一类是 0 排个位，由分步乘法计数原理得 17642 个5第二类是 2,4,6 排个位，由分步乘法计数原理得 366108 个，所以由分类加法计数原理为 42108150 个涂色与种植问题探究问题1用 3 种不同颜色填涂图 111 中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？ABCD图 111提示 涂A区有 3 种涂法，B，C，D区域各有 2 种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有 322224(种)不同方

14、案2在探究 1 中，若恰好用 3 种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？提示 恰用 3 种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色由分类加法计数原理可得恰用 3 种不同颜色涂四个区域共32132132118(种)不同的方案3在探究 1 中，若恰好用 2 种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？提示 若恰好用 2 种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B、D区域必同色先从 3 种不同颜色中任取两种颜色，共 3 种不同的取法，然后用所取的 2 种颜色涂四个区域共 2 种不同的涂法

15、由分步乘法计数原理可得恰好用 2 种不同颜色涂四个区域共有326(种)不同的涂色方案将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图 112 所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【导学号：95032017】图 112思路探究 给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有 4 种不同的涂色方法，B区域有 3 种，C区域有 2 种，D区域有 2 种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有 2 种，如果不相同，那么只有 1 种因此应先分类后分步解 法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示当B与D同色时，有 4321248 种当B与D不同色时

16、，有 4321124 种6故共有 482472 种不同的涂色方法法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用 4 种颜色此时B，D区域或A，E区域同色，则共有 2432148种不同涂法第二类，用 3 种颜色此时B，D同色，A，E同色，先从 4 种颜色中取 3 种，再涂色，共 432124 种不同涂法由分类加法计数原理共 482472 种不同涂法母题探究：1.如图 113 所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为( )图 113A96 B84C60D48B B 法一：分为两类第一类：当花坛A、C

17、中花相同时有 431336 种第二类：当花坛A、C中花不同时有 432248 种共有 364884 种，故选 B.法二：分为四步第一步：考虑A，有 4 种；第二步：考虑B，有 3 种；第三步：考虑C，有两类，一是A与C同，C的选法有 1 种，这样第四步D的选法有 3种二是A与C不同，C的选法是 2 种，此时第四步D的选法也是 2 种共有 43(1322)84(种)规律方法 求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)

18、对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题跟踪训练3.将 3 种作物种植在如图 114 所示的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试7验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？图 114解 从左往右 5 块试验田分别有 3,2,2,2,2 种种植方法，共有 3222248种方法，其中 5 块试验田只种植 2 种作物共有 321116 种方法，所以有48642 种不同的种植方法当 堂 达 标固 双 基1定义集合A与B的运算AB如下：AB(x，y)|xA，yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，则集合AB的元素个数为( )A34 B43 C12 D16C C 确定AB中元素

19、(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有 3 种方法；第二步，确定y，有 4 种方法，根据分步乘法计数原理，共有 3412 种不同的方法2某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有( ) 【导学号：95032018】A3 种 B6 种 C7 种 D9 种C C 买一本，有 3 种方案；买两本，有 3 种方案；买三本，有 1 种方案因此共有购买方案 3317(种)33 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有_种64 每名同学都有 4 种不同的报名方案，共有 44464 种不同的方法4现有 4 种不同的颜色要对如图 115

20、所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有_种图 1-1-548 按ABCD顺序分四步涂色，共 432248 种不同的着色方法5从 0、1、2、3、4、5 这些数字中选出 4 个，问能形成多少个无重复数字且能被 5整除的四位数？ 【导学号：95032019】解 满足条件的四位数可分为两类第一类是 0 在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步确定首位有 5 种方法第二步确定百位有 4 种方法，第三步确定十位有 3 种方法第一类共有 54360 个8第二类是 5 在末位，前三位数也分三步完成第一步确定首位有 4 种方法，第二步确定百位有 4 种方法，第三步确定十位有 3 种方法第二类共有 44348 个满足条件的四位数共有 6048108 个