简谐运动位移公式推导.pdf

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1、简谐运动位移公式推导问题：质量为 m 的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m 物体将作往复运动，试求位移 x 与时间 t 的函数关系式。图（a）分析：m 物体在弹力 F 的作用下运动，显然位移 X 与弹力 F 有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力 F 替换成关于 X 与 t 的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置 O 为坐标原点,物体运动轨迹为 X 轴，向右为正。设弹力为 F,由胡克定律,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m 物体加速度a=可令=-x(1)=(

2、2)代入（a）,得=X或X=0(3)显然，想求出位移 X 与时间 t 的函数关系式，须解出此微分方程求解：对于X=0，即X+X=0(4)(4)式属可将阶的二阶微分方程，若设 X=u，消去 t,就要把把 X”转化为关于 X 与 t 的函数，那么X=u,u+X=0,uX下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得=得=+C，即+C1(5)u=x,x=(6)再次分离变量，(7)两边积分，右边=t，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X=(7)式左边化为=-,两边积分，得-=t+C2=dt由此可得，X=即其中t+),X=At+)(8)A,皆为常数此方程即为简谐运动方程若=0,X-t 为余弦曲线，如图（b）所示图（b）验证：通过高频照相机拍摄后发现m 的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X=A所示。t+)图像基本吻合，故可判断X=At+)即为所求,如图（c）图（c）