简谐运动位移公式推导.docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上简谐运动位移公式推导问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。图（a）分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F,由胡克定律 F=-kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dvdt=d2Xdt2=Fm=-km

2、x (1)可令km=2 (2)代入（a）,得d2Xdt2=-2X或d2Xdt2+2X=0 (3)显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程求解：对于d2Xdt2+2X=0，即X+ 2X=0 (4)(4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么X=dXdt= dudxdxdt=ududx ,u dudx+2X=0, u dudx=-2X下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得udu=-2Xdx得 12u2=- 122 x2+C，即u2=- 2 x2+C1 (5)u=x,x=C1- 2 x2 =dxdt (6)再次分离变量，dxC1- 2 x2=dt (7)两边积分，右边=t，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X=C1cosz(7)式左边化为dcoszsinz=-sinzdzsinz=-dz,两边积分，得 -z=t+C2由此可得， X=C1cos(t+C2),即 X=Acos(t+) (8)其中 A, 皆为常数此方程即为简谐运动方程若=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示图（b）验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X=Acos(t+)图像基本吻合，故可判断X=Acos(t+)即为所求,如图（c）所示。图（c）专心-专注-专业