理论攻坚-数学运算讲义 笔记公共科目含答案.pdf

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1、1 理论攻坚理论攻坚- -数学运算数学运算 2 2（讲义）（讲义） 第四节 经济利润问题 一、基础经济 1.公式：利润=售价-成本，利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本，售价=成本*（1+利润率），打折率=折后价/折前价，总利润=总收入-总成本=单利*销量。 2.方法： （1）方程法。 （2）赋值法。 【例 1】某服装店老板卖出一件皮衣可赚 10%的利润，但如果他用比原来进价低 10%的价格买进，而以赚 20%的利润卖出，那么他就少卖 25 元。那么这件皮衣的现价为（ ）元。 A.1665 B.1550 C.1375 D.1250 【例 2】小张收购一台手机，然后转手卖出，赚取了 30%的

2、利润。一星期后，客户要求退货，小张和客户达成协议，以当时交易价格的 90%回收了这台手机，后来小张又以最初的收购价格将其卖出。小张在这台手机交易中的利润率是（ ）。 A.27% B.20% C.17% D.13% 【例 3】某水果店销售一批水果，按原价出售，利润率为 25%。后来按原价的九折销售，结果每天的销售量比降价前增加了 1.5 倍。则打折后每天销售这批水果的利润比打折前增加了（ ）。 A.15% B.20% C.25% D.30% 2 二、分段计费 1.特征：每一段的收费价格不同。例如：出租车的车费、水费、电费、停车费、税费等。 2.方法：先分段计算，再汇总求和。 【例 4】某城市居民

3、用水价格为：每户每月不超过 5 吨的部分按 4 元/吨收取；超过 5 吨不超过 10 吨的部分按 6 元/吨收取；超过 10 吨的部分按 8 元/吨收取。 某户居民两个月共交水费 108 元， 则该户居民这两个月用水总量最多为 （ ）吨。 A.21 B.24 C.17.25 D.21.33 三、函数最值 1.特征：单价/单利和销量此消彼长，求总价/总利最高。 2.方法（两点式）：设提价/降价的次数为 x。 （1）根据题意列方程：总价/总利润=（ ）*（ ）；令总价/总利润=0，解得 x1、x2。 （2）当 x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 【例 5】某电脑商城出售 10 种价格档位的电脑

4、。最低价格档位的电脑每月可售出 120 台，每台可获利 160 元。每提升一个价格档位，则月销量就会减少10 台， 但单台利润可增加 40 元。 若某月该电脑商城只出售某一价格档位的电脑，则当月可获得的最大利润是（ ）元。 A.24000 B.25600 C.27040 D.28000 第五节 排列组合与概率问题 一、排列组合 3 1.加法原理：分类用加法（要么要么）；乘法原理：分步用乘法（既又）。 2.排列（A）：与顺序有关（改变顺序，结果变化）；组合（C）：与顺序无关（改变顺序，结果不变）。 3.捆绑法：要求相邻。 （1）先捆：把相邻的元素捆绑起来。 （2）再排：将捆绑后的元素看成一个整体

5、，进行后续排列。 （3）注意：看成一个整体的各元素之间有无顺序。 4.插空法：要求不相邻。 （1）先排：先安排其他没有要求的元素，形成若干个空位。 （2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。 【例 1】随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（字母 O、I 不参与组牌），那么用这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为（ ）。 A.397440 辆 B.402400 辆 C.552000 辆 D.576000 辆 【例 2】从 19、20、21

6、、98、99 这 81 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法有（ ）种。 A.1620 B.1580 C.1540 D.1600 【例 3】一家 6 口排成一排照全家福，如果爷爷和奶奶必须站在中间，哥哥和弟弟要站在一起，一共有（ ）种排列方式。 A.13 B.14 C.16 D.20 4 【例 4】将两瓶同样的饮料和五瓶同样的矿泉水摆放成一排，要求两瓶饮料不能相邻，则共有（ ）种不同的排法。 A.15 B.20 C.30 D.3600 二、概率 1.基本公式：概率=满足条件的情况数/总的情况数。 2.分类、分步概率： （1）分类概率公式：概率=各类概率的和。 （2）分步概率公式：概率=

7、各步概率的乘积。 3.逆向思维概率公式：概率=1-不满足条件的概率。 【例 5】某事业单位阅览室书架上有党建类书籍 11 本，专业书籍 8 本，内部学习材料汇编 7 本。 现从中任取 3 本， 三种类型图书恰好各一本的概率为 （ ） A.33/520 B.77/325 C.88/325 D.99/650 【例 6】某场乒乓球单打比赛采取三局两胜制，假设甲选手在每局都有 60%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲战胜乙的概率为（ ）。 A.0.568 B.0.648 C.0.796 D.0.846 【例 7】 天气预报预测未来 2 天的天气情况如下： 第一天晴天 50%、 下雨 20%、下雪 30

8、%；第二天晴天 80%、下雨 10%、下雪 10%，则未来两天天气状况不同的概率为（ ）。 A.45% B.50% C.55% D.60% 5 理论攻坚理论攻坚- -数学运算数学运算 2 2（笔记）（笔记） 【注意】数学运算课程安排：今天讲解数学运算二（P324-P328），经济利润、排列组合与概率。经济利润问题主要需要掌握常考公式，把公式、做题方法和思路掌握后，经济利润问题其实不难；排列组合与概率应用到高中知识，比较难，建议考场上选择性做题。 第四节 经济利润问题 【注意】经济利润问题：常考基础经济问题。 1.基础经济：应用公式解题。 2.分段计费。 3.函数最值（套路题）。 一、基础经济

9、1.公式：利润=售价-成本，利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本，售价=成本*（1+利润率），打折率=折后价/折前价，总利润=总收入-总成本=单利*销量。 2.方法： （1）方程法。 （2）赋值法。 【知识点】基础经济： 6 1.常见概率：进价 10 元，成本 10 元；定价 36 元（标牌价，规定的售价），售价 28.8 元（实售价、现价）。注：不打折、不提价，定价=售价。 2.公式： （1）利润=售价-成本。比如一件商品，售价为 120 元，成本为 100 元，利润=120-100=20 元。 （2）利润率=利润/成本。利润率=20/100=20%。注：资料分析中，利润率=利润/收入。

10、记忆方法：数学运算是理想化模型，成本可计算或者直接给出，利润率=利润/成本；资料分析是实际生活中的数据，成本不好计算，可能包括水电费、机器折损等，利润率=利润/收入，因为收入一般是账面上的。 （3）售价=成本*（1+利润率）。利润=售价-成本售价=成本+利润，利润率=利润/成本利润=成本*利润率； 售价=成本+成本*利润率=成本* （1+利润率） 。比如成本为 100 元，利润率为 20%，售价=100*（1+20%）=120 元。变形公式：成本=售价/（1+利润率）。 （4）打折率=折后价/折前价。折后价是在售价的基础上打折，比如折前价为 120 元，打折后价格为 84 元，84/120=0

11、.7，打了 7 折。 （5）总利润=总收入-总成本=单利*销量。比如一件商品卖 120 元，成本为100 元，卖出了 10 件，总利润=总收入-总成本=120*10-100*10，总利润=单利*销量=（120-100）*10。注：总利润=单利*销量，需要进货数量和卖出数量一样；如果有一部分没有卖出去，需要扣除这一部分的成本，容易忽略，最好用总利润7 =总收入-总成本。比如某件商品进货 12 件，卖出 10 件，总利润=总收入-总成本=120*10-100*12。 3.方法： 给具体带单位的数值方程法。 等量关系字眼： “共”、 “多多少”、“少多少”、“赚了多少”、“亏了多少”等，列式时结合公

12、式。注：涉及多个主体/多个时间（比如折前、折后）/多个概念（比如售价、成本、利润率、单利、销量），可列表梳理。 【例 1】某服装店老板卖出一件皮衣可赚 10%的利润，但如果他用比原来进价低 10%的价格买进，而以赚 20%的利润卖出，那么他就少卖 25 元。那么这件皮衣的现价为（ ）元。 A.1665 B.1550 C.1375 D.1250 【解析】例 1.出现具体带单位的数值“少卖 25 元”，列方程求解。等量关系：现实售价-假设售价=25。现实情况：设进价为 x，利润率为 10%，售价=进价*（1+利润率）=x*（1+10%）=1.1x；假设情况：进价为 x*（1-10%）=0.9x，利

13、润率为 20%，售价=进价*（1+利润率）=0.9x*（1+20%）=1.08x，列方程：1.1x-1.08x=250.02x=25x=1250（不要错选 D 项），所求=1.1x=1.1*1250=（1+0.1）*1250=1250+125=1375，对应 C 项。【选 C】 【知识点】基础经济： 1.方法： （1）给具体带单位的数值方程法。 （2）无具体带单位的数值赋值法（给比例求比例）。例：某商品按照 20%利润率定价，后来又打 9 折销售，此时每件商品的利润率是多少？答：20%、9折都是比例，求利润率，给比例求比例，用赋值法。赋值法推荐大家优先赋值成8 本、 售价， 可以赋值 1、 1

14、0、 100。 本题赋值成本为 100， 定价=100* （1+20%） =120，售价=120*0.9=108，利润率=（108-100）/100=8%。提到量也可以赋值，赋值数量为 1、10、100。 2.注：涉及多个主体/多个时间/多个概念，可列表梳理。 【例 2】小张收购一台手机，然后转手卖出，赚取了 30%的利润。一星期后，客户要求退货，小张和客户达成协议，以当时交易价格的 90%回收了这台手机，后来小张又以最初的收购价格将其卖出。小张在这台手机交易中的利润率是（ ）。 A.27% B.20% C.17% D.13% 【解析】例 2.没有给出具体带单位的数值，给比例求比例，赋值法。赋

15、值最开始收购价格为 100， 卖出价格为 100* （1+30%） =130， 回收价格为 130*90%=117，最后卖出价格为 100（最开始收购价格），利润率=利润/成本=（130-100）+（100-117）/100=13/100=13%，对应 D 项。【选 D】 【例 3】某水果店销售一批水果，按原价出售，利润率为 25%。后来按原价的九折销售，结果每天的销售量比降价前增加了 1.5 倍。则打折后每天销售这批水果的利润比打折前增加了（ ）。 A.15% B.20% C.25% D.30% 【解析】例 3.没有给出具体带单位的数值，给比例求比例，赋值法。有折前、有折后，列表分析。折前：

16、赋值进价为 100，售价为 100*（1+25%）=125，9 单利=125-100=25；折后：进价不变为 100，售价为 125*0.9=125*（1-0.1）=125-12.5=112.5，单利为 112.5-100=12.5；已知“销售量比降价前增加了 1.5倍”，增加 1.5 倍=是 2.5 倍，赋值折前销量为 1，折后销量为 2.5；折前总利润=25*1=25，折后总利润=12.5*2.5；折前相当于基期，折后相当于现期，所求=（12.5*2.5-25）/25=（1.25*25-25）/25=25*（1.25-1）/25=25%，对应 C 项。【选 C】 二、分段计费 1.特征：每

17、一段的收费价格不同。例如：出租车的车费、水费、电费、停车费、税费等。 2.方法：先分段计算，再汇总求和。 【知识点】分段计费： 1.特征：每一段的收费价格不同。例如：坐出租车的费用、水费、电费、停车费、税费等。 2.方法： （1）先分段计算。 （2）再汇总求和。 3.例：出租车收费标准：3 公里内起步价 8 元；超出 3 公里的部分，每公里2 元。小明打车坐了 12 公里，共花费多少钱？ 答： 3 公里内： 花费 8 元； 超出 3 公里： 花费 （12-3） *2=18 元； 所求=8+18=26元。 10 【例 4】某城市居民用水价格为：每户每月不超过 5 吨的部分按 4 元/吨收取；超过

18、 5 吨不超过 10 吨的部分按 6 元/吨收取；超过 10 吨的部分按 8 元/吨收取。 某户居民两个月共交水费 108 元， 则该户居民这两个月用水总量最多为 （ ）吨。 A.21 B.24 C.17.25 D.21.33 【解析】例 4.画线段分析，05 吨：4 元/吨；510 吨：6 元/吨；超出 10吨部分：8 元/吨。水费=单价*水量，水费是固定的，求水量尽可能多，要让单价尽可能低，优先把每个月的 4 元/吨用完，再用 6 元/吨，最后用 8 元/吨。05 吨：第一个月：4 元/吨水量为 5 吨，花费 4*5 元；第二个月：4 元/吨水量为 5吨，花费 4*5 元，此时花费 5*4

19、*2=40 元。510 吨：两个月均用 10-5=5 吨，花费 5*6*2=60 元，还剩 108-40-60=8 元，还可以用 8/8=1 吨（第一个月、第二个月都可以）；所求=5+5+5+5+1=21 吨，对应 A 项。【选 A】 三、函数最值 1.特征：单价/单利和销量此消彼长，求总价/总利最高。 2.方法（两点式）：设提价/降价的次数为 x。 （1）根据题意列方程：总价/总利润=（ ）*（ ）；令总价/总利润=0，解得 x1、x2。 （2）当 x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 【知识点】函数最值：套路题。 1.特征：单价/单利和销量此消彼长，求何时总价/总利润最高？ 2.方法（两

20、点式）：设提价或降价次数为 x。 （1）列方程：总价/总利润=（单价/单利）*（销量），令总价/总利润为 0，解得 x1、x2。 （2）当 x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 11 3.例：单价为 30 元，可卖出 16 件。若单价每提升 3 元，销量会降低 1 件。请问当单价定为多少元时，销售总额最高？ 答：单价和销量此消彼长，问销售总额最高，函数最值问题。两点式：设提价次数为 x，销售总额=单价*销量=（30+3x）*（16-x），令总价为 0，（30+3x）=0 x1=-10，（16-x）=0 x2=16；当 x=（x1+x2）/2=（-10+16）/2=3 时，取得最值，所求=30

21、+3x=30+3*3=39 元。 4.原理：令总价为 y，y=（30+3x）*（16-x）是一元二次方程，是抛物线，最值在对称轴位置取得；令 y=0，可以求出两个根，当 x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 【例 5】某电脑商城出售 10 种价格档位的电脑。最低价格档位的电脑每月可售出 120 台，每台可获利 160 元。每提升一个价格档位，则月销量就会减少10 台， 但单台利润可增加 40 元。 若某月该电脑商城只出售某一价格档位的电脑，则当月可获得的最大利润是（ ）元。 A.24000 B.25600 C.27040 D.28000 【解析】例 5.单利和销量此消彼长，求最大利润，函数最

22、值问题。设提价次数为 x， 总利润=单利*销量= （160+40 x） * （120-10 x） ， 令总利润为 0， （160+40 x）=0 x1=-4，（120-10 x）=0 x2=12，当 x=（x1+x2）/2=（-4+12）/2=4 时，取得最值，最大利润=（160+40*4）*（120-10*4）=320*80=25600，对应 B 项；或者根据倒数第三位为 2*8 的尾数，为 6，对应 B 项。【选 B】 12 【注意】经济利润： 1.基础经济： （1）公式： 利润=售价-进价。 利润率=利润/进价。 售价=进价*（1+利润率）。 打折率=折后价/折前价。 总价=单价*数量，

23、总利润=单利*数量。 （2）方法：方程法、赋值法。 2.分段计费： （1）水电费、出租车费、税费等。 （2）分段计算、汇总求和。 3.函数最值： （1）识别：单价/单利和数量此消彼长，求最大利润或售价。 （2）方法（两点式）： 设提价/降价次数为 x。 令总价或总利润为 0，求出 x1、x2。 当 x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 13 第五节 排列组合与概率问题 【注意】排列组合与概率： 1.排列组合：问有多少种情况。计算事情完成的情况数，本质是计数问题。 2.概率问题：问某件事情的概率是多少。概率范围为 01。 一、排列组合 1.加法原理：分类用加法（要么要么）；乘法原理：分步用乘法

24、（既又）。 2.排列（A）：与顺序有关（改变顺序，结果变化）；组合（C）：与顺序无关（改变顺序，结果不变）。 3.捆绑法：要求相邻。 （1）先捆：把相邻的元素捆绑起来。 （2）再排：将捆绑后的元素看成一个整体，进行后续排列。 （3）注意：看成一个整体的各元素之间有无顺序。 4.插空法：要求不相邻。 （1）先排：先安排其他没有要求的元素，形成若干个空位。 （2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。 【知识点】排列组合： 1.分类分步： （1）加法原理：分类（+）要么要么；要么 A 要么 B，用 A 情况数+B 情况数。乘法原理：分步（*）既又；既 A 又 B，或者先 A 再 B，用 A 情况数*B

25、 情况数。 （2）例： 选择 1 个约会地点：3 个公园、4 个游乐场、5 个动物园。答：要么选择公园，要么选择游乐园，要么选择动物园，是分类；公园有 3 种选法，游乐园有4 种选法，动物园有 5 种选法，所求=3+4+5=12 种。 约会流程：吃顿饭+看个电影，有 5 家餐厅、3 部电影供选择。答：既要14 选一家餐厅，又要选一部电影，是分步；餐厅有 5 种选法，电影有 3 种选法，所求=5*3=15 种。 2.排列与组合：选取的元素大于 1 个（m1）时，需要用到排列组合。 （1）组合：从 n 个不同的元素中选出 m 个元素作为一组。选出的 m 个元素内部没有顺序，为 C（n,m）。 例：

26、从 7 个人里选 3 个人出来，有多少种选法？ 答：选出来 3 个人没有顺序，比如选择 ABC，交换顺序为 ACB，还是这三个人，结果不变是组合，为 C（7,3）。 （2）排列：从 n 个不同的元素中选出 m 个元素，按照一定的顺序进行排列。选出的 m 个元素有顺序，为 A（n,m）。 例：从 7 个人里选 3 个人出来站成一排，有多少种排法？ 答：选出来 3 个人有顺序，比如选择 ABC，交换顺序为 BAC，对于站成一排这件事，不是同一种站法，交换顺序对结果有影响，为 A（7,3）；也可以理解为先选出 3 个人，再给他们 3 个安排顺序，为 C（7,3）*A（3,3）。 3.判定标准：从选定

27、元素当中任意挑出两个，改变顺序。结果变化，则与顺序有关（A）；结果不变，则与顺序无关（C）。 （1）例 1：从 5 个奥特曼里选两个去打怪兽。答：选出来两个奥特曼即可，没有顺序为 C（5,2），比如选择赛文和艾斯，交换顺序后还是他俩去打怪兽，结果没有变化。 （2）例 2：从 5 个奥特曼里选两个去打怪兽（分别打哥斯拉、基多拉）。答：选出来两个奥特曼分别打不同的怪兽，与顺序有关，为 A（5,2），比如选择赛文和艾斯，赛文打哥斯拉，艾斯打基多拉，交换顺序后打的怪兽发生变化，对结果有影响。 4.小试牛刀： （1）从 8 个人中选出 3 人参加培训。答：改变 3 个人的顺序结果不变，所求=C（8,3）

28、。 （2）从 8 个人中选出 3 人分别担任甲、乙、丙三地的负责人。答：交换 3个人的顺序，结果变化（对应的地方发生变化，比如选出 ABC 担任甲乙丙地负责人，交换顺序后为 BAC 担任甲乙丙地负责人，结果发生变化），所求=A（8,3）。 15 （3）从 10 个人中选出 4 个人参加运动会，问多少种选法？答：选出 4 个人参加运动会，改变顺序后还是这 4 个人参加运动会，结果不变，所求=C（10,4）。 （4）从 10 个人中选出 4 个人分别参加 4*100 米接力跑，排法？答：接力跑分四个棒，交换顺序对应的一二三四棒是不同的，交换顺序对结果有影响，所求=A（10,4）。 （5）7 人站成

29、一排合影。答：合影时位置是不同的，交换顺序对结果有影响，所求=A（7,7）。 5.计算： （1）排列数：A（n,m）=从 n 开始往下乘 m 个数。A（10,4）=10*9*8*7（从10 开始往下乘 4 个数）。 （2）组合数：C（n,m）=A（n,m）/A（m,m），C（10,4）=A（10,4）/A（4,4）10*9*8*7/（4*3*2*1）=10*3*7=210。 C（n,m）=C（n,n-m），比如 C（10,6）=C（10,4），上角标加和=6+4=10=下角标 10。组合数特点：上角标越大，分子、分母相乘个数越多，因此进行转化，C（10,9）=C（10,1）=10。 C（n,1

30、）=A（n,1）=n。选 1 个元素，A 和 C 没有区别。 【例 1】随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（字母 O、I 不参与组牌），那么用这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为（ ）。 A.397440 辆 B.402400 辆 C.552000 辆 D.576000 辆 【解析】例 1.求牌照的情况数。前三位为阿拉伯数字：阿拉伯数字一共有10 位数字（09），牌照第一位数字从 10 个中选 1 个为 C（10,1）=10，题干

31、没有说明阿拉伯数字不能重复，牌照第二位数字为 C（10,1）=20，牌照第三位数字为 C（10,1）=0=10；后两位为英文字母：算上 0、I，一共有 26 个英文字母，可以用的英文字母有 26-2=24 个，第一位英文字母为 C（24,1）=24，英文字母16 不能重复，从剩下 23 个英文字母中选 1 个，第二位英文字母为 C（23,1）=23；既要安排第一位，又要安排第二位，也要安排第三、四、五位，分步相乘，所求=10*10*10*24*23=1000*24*23，尾数为 000，排除 A、B 项；3*4 尾数为 2，对应C 项。【选 C】 【例 2】从 19、20、21、98、99 这

32、 81 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法有（ ）种。 A.1620 B.1580 C.1540 D.1600 【解析】例 2.方法一：和为偶数：奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数。数字为一奇一偶，最后多出来一个奇数 99，说明有 41 个奇数，40 个偶数；本题要求选取两个不同的数，分类讨论：（1）选两个奇数：交换顺序对加和的结果没有影响，没有顺序为 C（41,2）=41*40/（2*1）=41*20=820；（2）选两个偶数：交换顺序对加和的结果没有影响，没有顺序为 C（40,2）=40*39/（2*1）=20*39=780； 要么选两个奇数， 要么选两个偶数， 分类相加， 所求

33、=820+780=1600，对应 D 项。 方法二：反面求解，逆向思维，用总情况数-反面情况数。和为偶数的反面情况是和为奇数，即一奇一偶，既要选奇数又要选偶数，分步相乘为 C（41,1）*C （40,1） ； 所求=C （81,2） -C （41,1） *C （40,1） =81*80/ （2*1） -41*40=81*40-41*40=（81-41）*40=40*40=1600，对应 D 项。【选 D】 【注意】正难、出现至少反面求解。 【知识点】 1.捆绑法要求相邻： （1）先捆：把相邻的元素捆绑起来（注意内部有无顺序）。 17 （2）再排：将捆绑后的看成一个整体，进行后续排列。 （3）例

34、：五人站成一排合影，两个奥特曼要相邻，有多少种方法？ 答：要求相邻，用捆绑法。先捆：把两个奥特曼捆起来，内部有顺序，为 A（2,2）；再排：把捆绑的奥特曼看成一个整体，再和三个飞天小女警排列，相当于四个主体排列为 A（4,4）；先捆再排，分步相乘为 A（2,2）*A（4,4）=2*4*3*2*1=2*24=48 种。 2.插空法要求不相邻： （1） 先排： 先安排其他没有要求的元素， 形成若干个空位 （注意空位个数） 。 （2）再插：再将不相邻的元素插入到符合条件的空位中去。 （3）例：五人站成一排合影，两个奥特曼不相邻，有多少种排法？ 答：要求不相邻，用插空法。先排：先安排没有要求的三个飞天

35、小女警，合影有顺序为 A（3,3），形成 4 个空位；再插：从 4 个空位中选择 2 个插入奥特曼，有顺序为 A（4,2），或者先选两个空位再安排奥特曼为 C（4,2）*A（2,2）=A（4,2）；先排再插，分步相乘为 A（3,3）*A（4,2）=3*2*1*4*3=6*12=72 种。 【例 3】一家 6 口排成一排照全家福，如果爷爷和奶奶必须站在中间，哥哥和弟弟要站在一起，一共有（ ）种排列方式。 A.13 B.14 C.16 D.20 【解析】例 3.拍全家福，有顺序。出现相邻，用捆绑法，把哥哥和弟弟捆绑成一个整体为 A（2,2），已知“爷爷和奶奶必须站在中间”，说明爷爷和奶奶也要挨着，

36、爷爷和奶奶捆绑成一个整体为 A（2,2）；爷爷和奶奶要想在中间，说明左边要有两个人， 右边也要有两个人， 哥哥和弟弟可以在左边也可以在右边，说明爸爸和妈妈也要相邻为 A（2,2）；哥哥和弟弟可以在左边或者在右边，有 2种情况；所求=A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*2=8*2=16 种，对应 C 项。【选 C】 18 【例 4】将两瓶同样的饮料和五瓶同样的矿泉水摆放成一排，要求两瓶饮料不能相邻，则共有（ ）种不同的排法。 A.15 B.20 C.30 D.3600 【解析】例 4.出现不能相邻，用插空法，先排再插。先排可以相邻的矿泉水，矿泉水是同样的，只有 1 种情况；五瓶矿泉水形成

37、6 个空位，选择 2 个空位插入相同的饮料， 为 C （6,2） =6*5/ （2*1） =15 种； 先排再插， 分步相乘为 1*15=15种，对应 A 项。【选 A】 【注意】拓展： 1.两瓶饮料不同、五瓶矿泉水不同：所求=A（5,5）*A（6,2）。 2.两瓶饮料相同、五瓶矿泉水不同：所求=A（5,5）*C（6,2）。 3.两瓶饮料不同、五瓶矿泉水相同：所求=1*A（6,2）。 4.将两瓶同样的饮料和五瓶同样的矿泉水摆放成一排， 要求两瓶饮料不能相邻且不在两端：所求=1*C（4,2）。 二、概率 【注意】概率问题：概率范围为 01，0 代表一定不发生，1 代表一定发生。 1.给情况求概率

38、：没给某事件的概率。 2.给概率求概率：已知某事件的概率。 19 1.基本公式：概率=满足条件的情况数/总的情况数。 2.分类、分步概率： （1）分类概率公式：概率=各类概率的和。 （2）分步概率公式：概率=各步概率的乘积。 3.逆向思维概率公式：概率=1-不满足条件的概率。 【知识点】给情况求概率： 1.基本公式：概率=满足条件的情况数/总情况数。 2.例：3 个男生、5 个女生，选两个参加培训，都是男生的概率？ 答： 没给某事件的概率， 属于给情况求概率， 求情况数要用排列组合的知识。3+5=8，概率=2 人都是男生/8 个人中任选 2 个人=C（3,2）/C（8,2）=C（3,1）8*7

39、/（2*1）=3/28。 【例 5】某事业单位阅览室书架上有党建类书籍 11 本，专业书籍 8 本，内部学习材料汇编 7 本。 现从中任取 3 本， 三种类型图书恰好各一本的概率为 （ ） A.33/520 B.77/325 C.88/325 D.99/650 【解析】例 5.给情况求概率，P=满足要求情况数/总情况数。11+8+7=26 本，三种类型各 1 本即既要一本党建，又要一本内部专业书籍，又要一本内部学习材料汇编，所求=三种类型各 1 本/所有书中任取 3 本=C（11,1）*C（8,1）*C（7,1）/C（26,3）=11*8*726*25*24/（3*2*1）=11*8*7/（2

40、6*25*4）=11*7/（13*25）=77/325，对应 B 项。【选 B】 【注意】本题可以不计算出最终结果，可以结合选项猜题。选项分子都有约数 11，分子为 11*8*7，8 可以和分母约分，7 约不掉，说明分子一定有 7，对应B 项。 【知识点】给概率求概率： 20 1.分类相加：P=P1+P2+P3（要么要么）。 2.分步相乘：P=P1*P2*P3（既又）。 3.买同一期彩票，一等奖中奖概率为 1%，二等奖中奖概率为 5%，三等奖中奖概率为 10%。 （1）买一张彩票，中奖的概率是多少？答：要么中一等奖、要么中二等奖、要么中三等奖，分类相加，所求=1%+5%+10%=16%。 （2

41、）买两张彩票，都中三等奖的概率是多少？答：既要第一张中三等奖，又要第二张中三等奖，分步相乘，所求=10%*10%=1%。 【例 6】某场乒乓球单打比赛采取三局两胜制，假设甲选手在每局都有 60%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲战胜乙的概率为（ ）。 A.0.568 B.0.648 C.0.796 D.0.846 【解析】例 6.甲战胜乙，甲要胜 2 局，可以比两局，可以比三局。（1）比两局：前两局甲连赢，既要第一局胜，又要第二局胜，分步相乘为 60%*60%=36%；（2）比三局：第三局一定是甲赢，前两局甲输了一局，可以是第一局甲赢、第二 局 甲 输 ， 可 以 是 第 一 局 甲 输 、

42、第 二 局 甲 赢 ， 1-60%=40% ，60%*40%*60%+40%*60%*60%=14.4%+14.4%；所求=36%+14.4%+14.4%=64.8%，对应B 项。【选 B】 【例 7】 天气预报预测未来 2 天的天气情况如下： 第一天晴天 50%、 下雨 20%、下雪 30%；第二天晴天 80%、下雨 10%、下雪 10%，则未来两天天气状况不同的概率为（ ）。 A.45% B.50% C.55% D.60% 【解析】例 7.正面求解：分类讨论，情况数较多，因此反面求解。总概率为 1，P=1-P两天相同，要么两天晴天、要么两天下雨、要么两天下雪，每一种情况21 内部都是“既又

43、”的关系，P=1-（50%*80%+20%*10%+30%*10%）=1-（40%+2%+3%）=1-45%=55%，对应 C 项。【选 C】 【注意】排列组合与概率： 1.基础概念： （1）分类用加法（要么要么）；分步用乘法（既又）。 （2）有序用排列（改变顺序，结果变化）；无序用组合（改变顺序，结果不变）。 2.特定题型： （1）必须相邻：捆绑法，先捆再排。 （2）不能相邻：插空法，先排再插。 3.概率： （1）给情况求概率：满足要求的情况数/所有的情况数。 （2）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。 （3）逆向思维：概率=1-不满足条件的概率。 【注意】 1.预习范围：第六节几何问题，第七节最值问题。 2.下节课：13：45 答疑，14：00 准时上课。 22 【答案汇总】经济利润问题：1-5：CDCAB 排列组合与概率问题：1-5：CDCAB；6-7：BC