2019.03.30 理论攻坚-数学运算1 张小飞 （讲义+笔记）（2019军队文职招考公共科目系统班）.pdf

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1、 理论攻坚-数学运算 1 主讲教师：张小飞 授课时间：2019.03.30 粉笔公考官方微信 1 理论攻坚理论攻坚- -数学运算数学运算 1 1（讲义）（讲义） 第一节 工程问题 一、给完工时间型 特征：给多个完成时间。 方法： 赋工作量（时间的公倍数） 。 计算效率（效率=工作量/时间） 。 列方程求解。 【例 1】 连部安排甲、 乙、 丙三个班完成某项工程， 甲班单独工作需要 4 天，乙班单独工作需要 6 天，而甲、乙、丙三个班共同工作只需要 2 天，则丙班单独工作需要（ ）天完成。 A.11 B.13 C.12 D.14 【例 2】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、15

2、 小时、20小时，开始三人一起干，后来因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（ ）小时。 A.2 B.4 C.5 D.3 二、给效率比例型 特征：给多个效率的比例关系。 方法： 赋效率（尽量赋为整数） 。 计算工作量（工作量=效率*时间） 。 列方程求解。 2 【例 3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是 5：4：6。先由甲、乙两人合作 6 天，再由乙单独做 9 天，完成全部工程的 60%，若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（ ） 。 A.9 B.11 C.10 D.15 三、给具体数值型 特征：给效率的具体值或工作总量的具

3、体值。 方法：方程法。 拓展：牛吃草问题。 特征：有消耗有增加；有相同句型。 公式：原有草量=（牛数-草生长的量）*时间。 简写为：y=（N-x）*T。 【例 4】甲、乙两个工程队共同修建一段长为 2100 千米的公路，甲队每天比乙队少修 50 千米，甲队先单独修 3 天，余下的路程与乙队合修 6 天完成，则乙队每天所修公路的长度是（ ） 。 A.130 千米 B.170 千米 C.140 千米 D.160 千米 【例 5】一片草地每天都以平均速度生长，已知这片草地可以供 25 头牛吃 12 天，或者供 40 头牛吃 6 天，问这片草地可以供 50 头牛吃多少天？ A.4.5 B.5 C.5.

4、5 D.6 【例 6】榨汁机均匀地向一只大桶注入果汁，同时有 24 根相同的过滤管排出果汁，若不计杂质，6 小时即可把桶中的果汁排干；若改用 21 根过滤管，8小时可将桶中的果汁排干。现用 16 根过滤管， （ ）小时可将桶中的果汁排干。 3 A.17 B.19 C.18 D.20 第二节 行程问题 一、基础行程问题 1.利用公式直接运算：路程=速度*时间。 2.火车过桥：路程=桥长+火车长。 【例 1】 小张和小李从 A 地步行出发前往 B 地， 小张步行速度为 50 米/分钟，小李为 60 米/分钟，小李在 B 地等了 7 分钟后，小张离他还有 150 米。A、B 两地距离为（ ）米。 A

5、.500 B.1000 C.3000 D.5000 【例 2】列车驶过长 400 米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了20 秒，接着列车又驶过长 1120 米的铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥共用了 50 秒。假设列车全程匀速行驶，则其车身长为（ ） 。 A.80 米 B.120 米 C.100 米 D.60 米 4 二、流水行船问题 顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。 船速=（顺水速度+逆水速度）/2；水速=（顺水速度-逆水速度）/2。 【例 3】甲、乙两港口相距 360 千米，某船只从甲港口顺流而下至乙港口需要 4.5 小时，从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的 2 倍。

6、假设该船只的静水速度一定，则该河的水流速度为（ ）千米/小时。 A.12 B.15 C.18 D.20 三、相遇追及问题 相遇：同时出发，相向而行。路程和（相遇距离）=（大速度+小速度）*相遇时间； 追及：同时出发，同向而行。路程差（追及距离）=（大速度-小速度）*追及时间。 环形：相遇 N 次，路程和为 N 圈；追及 N 次，路程差为 N 圈。 【例 4】甲乙两地相距 480 千米，客车和货车同时从两地相向而行，5 小时后在途中相遇，已知客车每小时行驶 50 千米，问货车每小时行驶多少千米？ A.36 B.46 C.38 D.48 【例 5】甲、乙两人在 600 米的环形跑道上赛跑，两人从起

7、跑线同时出发，若反向而跑，1 分钟后相遇，若同向而跑，10 分钟后甲超过乙一圈。问甲的速度是每分钟多少米? A.270 B.300 C.330 D.360 5 四、比例行程 S 相等（不变） ，v、t 成反比。 t 相等（不变） ，S、v 成正比。 v 相等（不变） ，S、t 成正比。 【例 6】小王和小赵分别从甲、乙两地同时出发相向而行。相遇后又继续前行，小王又经过 1 小时到达乙地，小赵又经过 9 小时到达甲地。那么，小王走完全程用了（ ）个小时 A.4 B.3 C.9 D.12 第三节 经济利润问题 6 一、基础经济问题 1.特征：有售价、成本、利润、利润率。 2.方法：方程法、赋值法（

8、题目中没有给带单位的具体数值） 。 3.技巧：列表。 4.公式： 利润=售价-成本；利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本。 售价=成本*（1+利润率） ；成本=售价/（1+利润率） 。 总钱数=单件钱数*数量；售价=定价*折扣。 【例 1】小李 2007 年买的一套房子现在价格上涨了 80%。因工作调动到另一城市，小李把房子按现价的九折卖掉。扣除成交价 5%的交易费用后，比买房时赚了 26.95 万元。那么，小李买房子花了（ ）万元。 A.53.9 B.42.95 C.50 D.100 【例 2】 甲、 乙两人在不同的商场销售同款篮球， 如果按照篮球的标价销售，每个利润 100 元。恰逢端

9、午节促销活动，甲打 8 折销售了篮球 10 个，乙每个篮球便宜 40 元销售了 9 个，结果甲、乙两人的获利一样多。问该款篮球的进价为多少元？ A.130 B.133 C.160 D.166 【例 3】 小张收购一台手机， 然后转手卖出， 赚取了 30%的利润。 一星期后，客户要求退货，小张和客户达成协议，以当时交易价格的 90%回收了这台手机，后来小张又以最初的收购价格将其卖出。 小张在这台手机交易中的利润率是 （ ） 。 A.27% B.20% C.17% D.13% 【例 4】某商场节日酬宾，全场商品 8.5 折优惠，结果当日销售量增加了 47 0，则该商场全日的销售额增加了（ ） 。

10、A.11% B.15% C.17% D.19% 二、分段计费问题 题型特征：每一段的收费价格不同。 例如坐出租车、水费、电费、停车费、税费等。 方法：先分段计算，再汇总求和。 【例 5】某市自来水公司实行阶梯收费，规定：每户每月用水 15 吨以内（含15 吨）按每吨 1.2 元收费，超过 15 吨的部分按每吨 3.5 元收费，张大妈家 10月份缴水费 28.5 元，则张大妈家 10 月份用水（ ） 。 A.17 吨 B.18 吨 C.19 吨 D.21 吨 8 理论攻坚理论攻坚- -数学运算数学运算 1 1（笔记）（笔记） 【注意】说在课前： 1.军队文职真题与事业单位、 国考、 省考的区别：

11、 军队文职题目与事业单位、国考、省考相比，相同点是考点基本相同（都考工程问题、行程问题） ；区别是侧重点不同： 军队文职重点题型比较少、 比较集中， 在有限的时间内抓重点，不要求 10 道数量关系全部作对，只要做出 6 道左右，剩下的题目再猜，军队文职考试难度非常非常低，比事业单位还低，与国考、省考更不是一个层次。短时间内准备军队文职考试，把课程听完整，针对重点题型再多练一些题目，只要准备了，在公共科目考试差距不会特别大。 2.（1）有基础（备考过公务员、事业单位考试） ：知识点类似，题目难度低很多，听课时重点查漏补缺、课上记忆。 （2）无基础：加强预习、标记疑难点。跟上老师思路，老师会根据大

12、部分同学的接受能力设置课程节奏。有几种方式反馈：将疑问打在公屏上；记下时间，听回放；下节课课前会有 15 分钟答疑时间；微博私信老师。跟上老师节奏，不要因为自己走神，某一点没听到，而在某一题纠结，老师讲例 2，自己还在纠结例 1，从而形成恶性循环，一定要跟上老师节奏。 3.课堂纪律：只聊和学习相关的内容。没问题回“1” ，有疑问回“0” 。 【注意】军队文职历年真题数学运算题型统计：军队文职数量关系部分共考查 10 道题， 包括数字推理和数学运算。 今天讲的是数学运算题型， 数字推理 （给9 几个数字，问下一个数字是几的题型）会在后面的课程讲。根据 2013、2015、2016、2018 年军

13、队文职考试题量分析，数学运算题量逐渐加大，到 2018 年，数学运算有 9 道题、数字推理 1 道题，所以数学运算非常非常重要。 1.历年真题题型考点分布： （1）经济利润问题：每年都考，属于必考题，要掌握。 （2）几何问题和计算问题有三年考到：重点题型。 （3）排列组合和概率放一起：也是有三年考到。 （4）工程问题、行程问题：有两年考到，也属于重点题型。 （6）彩色部分为重点考点，其余题型： 和差倍比、年龄：用方程法或者直接代入选项，难度低，小学五六年级的水平。 容斥原理（只考过一道题） ：可以在题库找几个真题（事业单位、国考、省考） ，把公式记住，会用公式即可。 其他：简单的能读懂就做，读

14、不懂的就猜一个。 目标：很难保证所有的数学运算题目都会做，做 70%左右（9 题答对 67题） ，其余的猜。 2.浓度和溶液问题没有考查过， 还有不到一个月的时间考试， 很难面面俱到，需要抓重点。通过对历年真题的分析，上表彩色部分为重点考查题型，课上只讲重点题型，抓重点、在短时间内掌握考查频率高的题型。 3.经济利润问题、集合问题、计算问题、排列组合与概率问题、行程问题、工程问题六大题型为重点，和差倍比、年龄问题是一元一次方程，难度低。课上讲六大重点题型。 【注意】数学运算： 第一节课（3 月 30 日下午） ：工程问题、行程问题、经济利润问题。 第二节课（3 月 30 日晚上） ：基础运算、

15、典型几何问题、排列组合与概率。 第一节 工程问题 10 一、给完工时间型 特征：给多个完成时间。 方法： 赋工作量（时间的公倍数） 。 计算效率（效率=工作量/时间） 。 列方程求解。 【注意】工程问题： 1.基础知识（公式） ：工作效率*工作时间=工作量。如：一个水管，1 小时放 30 升水，连续放 3 小时，共放 30*3=90 升水。 2.题型分类：军队文职考试目前只考过给完工时间型经济问题。 （1）给完工时间型。 （2）给效率比例型。 （3）给具体数值型。 （4）补充：牛吃草问题。 【知识点】给完工时间型。 1.特征：给多个（2 个）完成时间。 2.方法： （1）赋工作量（时间的公倍数

16、） 。 （2）计算效率（效率=工作量/时间） ：工作量是时间的公倍数，效率即为整数，整数比小数容易计算。 （3）列方程求解。 3.引例：一项工程，甲单独做 3 小时可以完成，乙单独做 5 小时可以完成。如果甲乙合作，多长时间完成？ 答： “3 小时”和“5 小时”都是完工时间，给 2 个完工时间，判定为给完工时间型工程问题。 （1） 赋工作量为时间的最小公倍数=3*5=15 份； （2） 计算效率：甲效率=15/3=5 份， 乙效率=15/5=3 份；（3） 列方程求解 （题目简单直接列式子） ：问甲乙合作时间，t=工作量/效率=工作量/甲乙效率和=15/（3+5）=15/8。 4.练习：找

17、20、25、30 最小公倍数。 11 （1）用短除法：三个数有相同的公约数 5，变为 4、5、6；三者之间没有除1 以外的公约数，找两者之间的公约数，4 和 6 之间有公约数 2，变为 2、5、3；任意两个数之间都没有除 1 以外的公约，则最小公倍数=5*2*2*5*3=300。 （2）找两个比较大的数相乘：如 20*30=600，100 是 25 的倍数，则 600 也是 25 的倍数，所以 600 是 20、25、30 的公倍数。25*3020 的倍数，不一定找最大的两个数做乘积，只要任意找两个数，看乘积是否为其他数的倍数。 （3）如果直接看出 1200 是 20、25、30 的公倍数，不

18、用纠结一定要找最小公倍数，赋工作量为 1200 即可。 5.工作量尽量不要设 x，会让计算特别凌乱，即使赋单位 1 也不要设 x。如果赋单位 1，效率一定是 1/n 的形式，会产生分数，要保证自己的分数计算没有问题，尽量赋大一点的整数。 【例 1】 连部安排甲、 乙、 丙三个班完成某项工程， 甲班单独工作需要 4 天，乙班单独工作需要 6 天，而甲、乙、丙三个班共同工作只需要 2 天，则丙班单独工作需要（ ）天完成。 A.11 B.13 C.12 D.14 【解析】例 1.本题为 2013 年军队文职真题。出现“工程” ，为工程问题。给 3 个完成时间，甲班 4 天，乙班 6 天，三个班共同需

19、要 2 天，属于给完工时间型工程问题，三步走： （1）赋工作量是时间的公倍数：2、4、6 的公倍数 12（也可以是 24、48） ； （2）求效率：甲效率=12/4=3，乙效率=12/6=2，甲、乙、丙效率和=12/2=6，问丙的时间，丙效率=甲、乙、丙效率和-甲效率-乙效率=6-3-2=1； （3）列式求解：t=工作量/效率=12/1=12 天。 【选 C】 12 【例 2】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需 10 小时、15 小时、20小时，开始三人一起干，后来因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（ ）小时。 A.2 B.4 C.5 D.3

20、【解析】例 2.本题为 2015 年军队文职真题。完成某项工程，为工程问题，给三个完成时间（甲、乙、丙三人分别需 10 小时、15 小时、20 小时） ，本题为给完工时间型工程问题，三步走： （1）赋工作量为时间的公倍数：10、15、20，20 是 10 的倍数，可以用 20*15=300 计算，如果找最小公倍数，即找 15 和 20 的最小公倍数，用短除法，5 约分，剩 3、4，最小公倍数=5*3*4=60； （2）求效率：甲=60/10=6，乙=60/15=4，丙=60/20=3； （3）列方程求解：问甲实际工作时间，问谁设谁，设甲工作 x 小时，乙、丙一直在干活，共工作了 6 小时，所以

21、乙和丙均工作 6 小时， 工作量=效率*时间，则总工作量=甲工作量+乙工作量+丙工作量=6x+4*6+3*6=60，6x=18，x=3 小时。 【选 D】 二、给效率比例型 特征：给多个效率的比例关系。 方法： 赋效率（尽量赋为整数） 。 计算工作量（工作量=效率*时间） 。 列方程求解。 【知识点】给效率比例型： 1.特征：给多个效率的比例关系。 2.方法： （1）赋效率：尽量赋为整数。 （2）计算工作量：工作量=效率*时间。 13 （3）列方程求解。 3.常见的比例形式： （1）甲、乙的效率比为 3：4：赋甲的效率为 3，乙的效率为 4。 （2）甲的效率是乙的 3/4（75%） ：甲=乙*

22、3/4，即甲/乙=3/4，与（1）相同。 （3）甲 4 天的工作量等于乙 3 天的工作量：注意不是完成时间，只是工作量相等，甲*4=乙*3，即甲/乙=3/4，与上面相同；或者理解为工作量相等，效率和时间成反比，甲/乙=3/4。 （4）给多个人或多台机器，默认每人/每台机器效率相同。如：某个工程队有 50 人，默认每个人效率相同，赋每个人效率为 1，人数直接代表效率数，50人效率为 50。 【例 3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是 5：4：6。先由甲、乙两人合作 6 天，再由乙单独做 9 天，完成全部工程的 60%，若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（ ） 。 A

23、.9 B.11 C.10 D.15 【解析】例 3.已知甲、乙、丙效率比为 5：4：6，本题为给效率比例型工程问题。 （1）赋效率：赋甲的效率为 5，乙的效率为 4，丙的效率为 6； （2）算工作量：已知“先由甲、乙两人合作 6 天，再由乙单独做 9 天，完成全部工程的 60%” ，则工作量*60%=（5+4）*6+4*9=90，工作量=90/0.6=150 份； （3）列方程求解：求丙的时间，剩下的工程由丙单独做，t丙=工作量/丙效率=（150-150*60%）/6=10 天。 【选 C】 【注意】给效率比例型工程问题军队文职考试迄今为止没有考过，今年如果考，难度不会特别大，例 3 的难度已

24、经足够。 三、给具体数值型 特征：给效率的具体值或工作总量的具体值。 方法：方程法。 拓展：牛吃草问题。 14 特征：有消耗有增加；有相同句型。 公式：原有草量=（牛数-草生长的量）*时间。 简写为：y=（N-x）*T。 【知识点】给具体数值型：比较简单。 1.特征：给效率的具体值或工作总量的具体值。 2.方法：不用赋效率和算工作总量，直接用方程法，列方程求解。 【例 4】甲、乙两个工程队共同修建一段长为 2100 千米的公路，甲队每天比乙队少修 50 千米，甲队先单独修 3 天，余下的路程与乙队合修 6 天完成，则乙队每天所修公路的长度是（ ） 。 A.130 千米 B.170 千米 C.1

25、40 千米 D.160 千米 【解析】例 4.出现“工程队” ，判定本题为工程问题。 “2100 千米的公路”为工作总量，本题为给具体数值型工程问题，用方程法。优先求谁设谁，设乙队每天修 x 千米， “甲比乙每天少修 50 千米” ， 则甲每天修 x-50 千米。 列方程： “甲队先单独修 3 天，余下的路程与乙队合修 6 天完成” ， （x-50）*3+（x-50+x）*6=2100， （x-50）+（x-50+x）*2=700，x-50+4x-100=700，5x=850，x=170。 【选 B】 【知识点】拓展：牛吃草和人修路，相同点都是越来越少，牛吃草，草越来越少，人修路，没有修的路也

26、越来越少；牛吃草和人修路也有不同点，草每天都在生长，有增加，路不会增长。 1.特征：有消耗有增加；有相同句型（如：例 5， “这片草地可以供 25 头牛吃 12 天，或者供 40 头牛吃 6 天，问可以供 50 头牛吃多少天” ） 。 2.公式：原有草量=（牛数-草生长的量）*时间。如果有 40 头牛，默认每头牛吃的草量相同，每头牛每天吃 1 份，则 40 头牛每天吃 40 份；如果草每天生长10 份，实际减少 40-10=30 份；如果草地原有 300 份，需要时间=300/（40-10）=10 天。 3.简写为： y= （N-x） *T。 x 代表草生长的量， y 为原有草量， 时间用 T

27、 表示，N 代表牛数，公式能理解就理解，不理解直接背下来，套公式解方程即可。 15 【例 5】一片草地每天都以平均速度生长，已知这片草地可以供 25 头牛吃 12 天，或者供 40 头牛吃 6 天，问这片草地可以供 50 头牛吃多少天？ A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 【解析】例 5.草每天生长，牛在吃草，有消耗有增长，有相同句型，为牛吃草问题，套公式：y=（N-x）*T，T 代表时间，y 代表原有草量，N 代表牛数，x 代表单位时间内草生长量。根据已知条件代入公式， “25 头牛吃 12 天，或者供40 头牛吃 6 天” ，y 和 x 没有给，其他代入：y=（25-x）*12，y=（

28、40-x）*6。解方程：=y，则（25-x）*12=（40-x）*6， （25-x）*2=40-x，50-2x=40-x，x=10，代入式，y=（40-10）*6=30*6=180。问可以供 50 头牛吃几天，代入公式，y=（50-10）*T=180，T=180/40=4.5。 【选 A】 【例 6】榨汁机均匀地向一只大桶注入果汁，同时有 24 根相同的过滤管排出果汁，若不计杂质，6 小时即可把桶中的果汁排干；若改用 21 根过滤管，8小时可将桶中的果汁排干。现用 16 根过滤管， （ ）小时可将桶中的果汁排干。 A.17 B.19 C.18 D.20 【解析】例 6.本题为 2015 年军队

29、文职考试真题。有消耗（24 根相同管排出果汁） ，有增加（均匀地向一只大桶注入果汁） ，且有相同句型（多少根管几小时完成） ，判定本题为“牛吃草”问题。套公式：y=（N-x）*T，N 对应管的数量，T 为时间，x 相当于榨汁机，y 为原有果汁。根据已知条件的两组数据，代入得：y=（24-x）*6=（21-x）*8， （24-x）*3=（21-x）*4，72-3x=84-4x，x=12。y=（21-12）*8=72。再套公式：72=（16-12）*T，解得 T=72/4=18。 【选 C】 【答案汇总】1-5：CDCBA；6：C 16 【小结】工程问题： 1.给完工时间型： （1）方法： 赋工作

30、量。 计算效率。 列方程求解。 （2）技巧：工作量一般赋公倍数，公倍数难算用乘积。 2.给效率比例型： （1）方法： 赋效率。 计算工作量。 列方程求解。 （2）技巧：按比例赋效率，尽量赋整数。 3.给具体数值型，方法：方程法。 4.拓展：牛吃草。 （1）特征：有消耗有增加；有相同句型。 （2）公式：y=（N-x）*T。 第二节 行程问题 17 一、基础行程问题 1.利用公式直接运算：路程=速度*时间。 2.火车过桥：路程=桥长+火车长。 【知识点】行程问题： 1.公式：路程=速度*时间。 2.题型分类： （1）基础行程： 直接用公式：S=v*t，t=S/v，v=S/t。 火车过桥：速度和时间

31、没有特殊点，特殊点在路程，行程问题想不通要画图，火车过桥中，火车长度不能忽略，总路程是从车头上桥直到车尾下桥，找参考点，习惯看车头就看车头，习惯看车尾就看车尾。假设以车头为准，总路程=桥长+火车长。如果是汽车过桥、人过桥，默认是一个点，长度是桥长本身，自身长度忽略不计。 （2）流水行船：迄今没有考过。 （3）相遇追及。 （4）比例行程。 【例 1】 小张和小李从 A 地步行出发前往 B 地， 小张步行速度为 50 米/分钟，小李为 60 米/分钟，小李在 B 地等了 7 分钟后，小张离他还有 150 米。A、B 两地距离为（ ）米。 A.500 B.1000 C.3000 D.5000 【解析

32、】例 1.“小李在 B 地等了 7 分钟”证明小李先到 B 地，等待小张，小张一直在走，7 分钟后，小张离 B 地还有 150 米。求 A、B 两地路程，设为 S18 米，小李路程为 S，小张路程为 S-150；速度已知，小李为 60 米/分钟，小张为50 米/分钟；两个人的时间未知，但已知时间差为 7min，则 t张-t李=7min， （S-150）/50-S/60=7，解方程，方程两边同时乘以 300，6*（S-150）-5S=7*300，S=2100+900=3000。 【选 C】 【注意】猜题法：求距离，S=v*t，大部分行程问题中，一般数据都是整数，小李从 A 地到 B 地，路程为

33、S，小李 S=60*t，路程猜 60 的整数倍，只有 C 项满足。 【例 2】列车驶过长 400 米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了20 秒，接着列车又驶过长 1120 米的铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥共用了 50 秒。假设列车全程匀速行驶，则其车身长为（ ） 。 A.80 米 B.120 米 C.100 米 D.60 米 【解析】 例 2.本题为 2013 年军队文职火车过桥类真题， 隧道可以理解为桥。题干给时间，已知 S=v*t，火车过桥走过路程 S=桥长（隧道长）+火车长，桥长（隧道长）已知，火车长未知，设火车长为 x、速度设为 v。第一次火车过隧道：S=v*t，400+x=

34、v*20；第二次火车过铁路桥：S=v*t，1120+x=v*50。解方程：-得，720=30v，v=24，代入式，400+x=24*20=480，x=80。 【选 A】 二、流水行船问题 顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。 船速=（顺水速度+逆水速度）/2；水速=（顺水速度-逆水速度）/2。 【知识点】流水行船：只考查过两道题。 1.顺水就是顺着水流方向走，走的更快；逆水就是逆着水流方向走，走的更19 慢。 2.公式：v顺=v船+v水，v逆=v船-v水v船=（v顺+v逆）/2，v水=（v顺-v逆）/2。 3.推导：+得到 2v船=v顺+v逆，整理得到 v船=（v顺+v逆）/2；-得到

35、2v水=v顺-v逆，整理得到 v水=（v顺-v逆）/2。不会推导可以结合常识理解，船速一定是比水速快的，是加法。 4.顺水：顺流而下（顺水） ，比如上游甲港口到下游乙港口，水往低处流，顺水。 或者甲到乙用时 4h， 乙到甲用时 7h， 则甲到乙是顺水， 用时短的是顺水。 5.船在静水中的速度是船速，静水就是水不动了，此时只有船速；漂流瓶从上游到下游的速度就是水速，漂流瓶只能靠水走。 【例 3】甲、乙两港口相距 360 千米，某船只从甲港口顺流而下至乙港口需要 4.5 小时，从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的 2 倍。假设该船只的静水速度一定，则该河的水流速度为（ ）千米/小时。 A.12

36、B.15 C.18 D.20 【解析】例 3.“从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的 2 倍” ，则逆水时间为 4.5*2=9h。已知路程和时间，甲到乙顺流而下：360=（v船+v水）*4.5，v船+v水=360/4.5=80； 逆水： 360= （v船-v水） *9， v船-v水=360/9=40。 则 v水= （80-40）/2=20。 【选 D】 【注意】流水行船考查难度低，且军队文职没有考查过。 三、相遇追及问题 相遇：同时出发，相向而行。路程和（相遇距离）=（大速度+小速度）*相遇时间； 追及：同时出发，同向而行。路程差（追及距离）=（大速度-小速度）*追及时间。 环形：相遇 N

37、次，路程和为 N 圈；追及 N 次，路程差为 N 圈。 【知识点】相遇追及：军队文职没有考过，但是属于重点题型，需要掌握基20 本公式和如何找路程和、路程差。 1.相遇问题：两人在两地同时出发，相向而行。路程和（相遇距离）=（大速度+小速度）*相遇时间。 例：家住在同一条公路两段的小新和小丸子要约会，小新的速度快，速度为v大，小丸子的速度小，速度为 v小。两人都往中间跑，经过 t1分钟，两人相遇。小新的路程 S大=v大*t1，小丸子的路程 S小=v小*t1。两人相遇时，图中路程和可以表示，两人同时出发、同时相遇，两人的时间相同，路程和 S和=（v大+v小）*t1。通常路程和是画图可以找到的。

38、2.追及问题：两人两地同时出发，同向而行路程差（追及距离）=（大速度-小速度）*追及时间。 例：后来小新回家，花轮来追小丸子，花轮跑的快，速度为 v大，小丸子跑的慢， 速度为v小， 经过 t2分钟， 花轮追上小丸子。 花轮的路程 S大=v大*t2，小丸子的路程 S小=v小*t2。追及的时候，可以找到路程差，两人同时出发，同时追上， 时间相等 （比如两人都 9 点出发， 10 点追上， 则两人都跑了 1 小时） ，路程差 S差=（v大-v小）*t2。路程差也是通过画图找，直线的追及相遇需要画图。 21 3.环形相遇/追及：可以直接记结论。 （1）环形相遇：甲乙两人同时从 A 地出发，往相反方向跑

39、，第一次相遇，路程和为 1 圈，第二次相遇，路程和为 2 圈，即相遇几次，路程和为几圈。 公式：S和=（v大+v小）*t遇。 相遇 N 次，S和为 N 圈。 （2）环形追及：运动会跑步，第一个人跑到如图位置，不能说是被追上，因为没有路程差。 追及一定有路程差，有路程差才叫追及，两个人的路程一定是不一样的。如图，蓝色的线比红色的多 1 圈。追及和相遇很相似，追上 1 次，路程差是 1 圈，追上两次，路程差是 2 圈，追上几次，路程差是几圈。 22 公式：S差=（v大-v小）*t追。 追及 N 次，S差为 N 圈。 （3）结论不理解直接记住会用就可以了。 【例 4】甲乙两地相距 480 千米，客车

40、和货车同时从两地相向而行，5 小时后在途中相遇，已知客车每小时行驶 50 千米，问货车每小时行驶多少千米？ A.36 B.46 C.38 D.48 【解析】例 4.直线相遇追及问题，尽量画图。两车往中间走，在丙地相遇，相遇问题套用相遇公式：S和=（v大+v小）*t，货车的速度用 v 表示，480=（50+v）*5，96=50+v，v=46。 【选 B】 【例 5】甲、乙两人在 600 米的环形跑道上赛跑，两人从起跑线同时出发，若反向而跑，1 分钟后相遇，若同向而跑，10 分钟后甲超过乙一圈。问甲的速度是每分钟多少米? A.270 B.300 C.330 D.360 【解析】例 5.“两人从起跑

41、线同时出发” ，说明同时同地出发。 “甲超过乙一圈”就是追上一次。相遇过程公式：S和=（v大+v小）*t，没说相遇几次，默认相遇一次，如果不是一次，一定会告诉我们的。因此路程和是 1 圈，600=（v甲+v乙）*1，v甲+v乙=600。追及过程公式：S差=（v大-v小）*t，超过 1 圈就是多跑 1 圈，600=（v甲-v乙）*10，v甲-v乙=600，+得：2v甲=660，v甲=330。【选 C】 23 【注意】1.600 是甲比乙多走的路程，不是甲或者乙的路程。 2.猜题：根据 1 分钟相遇 1 次路程和是 1 圈（600 米） ，可以得到速度和是600，找选项加和为 600 的。可能甲和

42、乙看错了，因此考官会把另一个数也会放进去，因此 A、C 项可能是甲和乙， “10 分钟后甲超过乙一圈” ，甲快，问甲则选C 项，问乙则选 A 项。 四、比例行程 S 相等（不变） ，v、t 成反比。 t 相等（不变） ，S、v 成正比。 v 相等（不变） ，S、t 成正比。 【知识点】比例行程：比例法做行程问题。 1.什么时候用？ （1）已知条件少，不好列方程。套公式列方程可以解决大部分行程问题，但是如果题目给的条件很少，不能用方程，则用比例做。 （2）能直接看出 S、v、t 中的不变量。看题目直接看出路程相等或者时间相等，就可以做题。大部分题目不会考查速度相等。因此重点找路程和时间的相等。

43、2.比例关系：v*t=S。 （1）S 相等（不变） ，v、t 成反比。v甲/v乙=3/4，则 t甲/t乙=4/3。 （2）t 相等（不变） ，S、v 成正比。 （3）v 相等（不变） ，S、t 成正比。 【例 6】小王和小赵分别从甲、乙两地同时出发相向而行。相遇后又继续前行，小王又经过 1 小时到达乙地，小赵又经过 9 小时到达甲地。那么，小王走完24 全程用了（ ）个小时 A.4 B.3 C.9 D.12 【解析】例 6.“相遇后又继续前行”有相遇，假设在丙地相遇。 “小王又经过 1 小时到达乙地，小赵又经过 9 小时到达甲地” ，小王从丙到乙用 1 小时，小赵从丙到甲用 9 小时。 条件少

44、， 列方程不好做， 考虑比例行程。 两人的路程相等，都是甲到乙或者乙到甲，也可以理解为都走了甲丙和乙丙。时间不相等，路程通过画图可以看出相等。 甲丙：路程相等，速度和时间成反比，v王/v赵=t赵/t王。已知小赵的时间是9 小时，设小王的时间为 t，则 v王/v赵=t赵/t王=9/t。t+1 为所求。此时可以猜测答案为 A 项，因为如果忘记+1 会错选 B 项。 乙丙：路程相等，速度和时间成反比，v王/v赵=t赵/t王，两人同时出发，同时相遇，因此小赵走乙丙的时间为 t，则 v王/v赵=t赵/t王=t/1，两个式子都是速度之比，则 9/t=t/1，t=9，小时一定是正数，则 t=3，全程的时间=

45、3+1=4。 【选A】 【注意】本题一定要画图解题。 【答案汇总】1-5：CADBC；6：A 25 【小结】行程问题：目前只考过火车过桥和比例行程，但是相遇和追及在哪里都是重点。 1.基础行程： （1）基本公式：S=v*t。 （2）火车过桥：路程=桥长+火车长。 2.流水行船： （1）顺水速度=船速+水速。 （2）逆水速度=船速-水速。 3.相遇追及： （1）公式： 相遇：路程和=（大速度+小速度）*时间。 追及：路程差=（大速度-小速度）*时间。 （2）路程和、路程差： 线形：画图确定。 环形：n*环形长（n 为相遇、追及次数） 。 4.比例行程： （1）S 一定，v、t 成反比；t 一定，

46、S、v 成正比；v 一定，S、t 成正比。 （2）方法：确定不变量，找比例。 第三节 经济利润问题 26 一、基础经济问题 1.特征：有售价、成本、利润、利润率。 2.方法：方程法、赋值法（题目中没有给带单位的具体数值） 。 3.技巧：列表。 4.公式： 利润=售价-成本；利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本。 售价=成本*（1+利润率） ；成本=售价/（1+利润率） 。 总钱数=单件钱数*数量；售价=定价*折扣。 【知识点】经济利润问题：最重要，基本考试就考。 1.基础经济：考查比较多。 （1）特征：有售价、成本（进价） 、利润、利润率。出现一个或几个量。比如例 1 出现“赚多少元” ，

47、例 2 出现“标价销售” “利润” 。 （2）方法：套公式方程法、赋值法（题目中没有给带单位的具体数值） ，赋值后计算会更方便，设太多未知数计算比较慢。 （3）公式（重点） ：如果题干很短，不会太难。题目特别长，数据比较多，可以边读边列表。 利润=售价-成本。比如 100 元进一件衣服，是进价、成本，180 元卖出，是售价，利润=180-100=80 元。成本不需要考虑门店费、水电费等，数学题目只考虑最理想的情况，即只考虑商品本身的进价。 利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本。比如一件衣服赚 80 元，成本是100 元，则利润率=80/100=80%。利润率，在数学运算中为利润/成本；在资

48、料中为利润/收入。二者出发角度不同，资料偏向实际运算，数学偏向于计算，不要混淆。 售价=成本*（1+利润率） 。售价-成本=利润，则售价=成本+利润=成本+成27 本*利润率=成本*（1+利润率） 。比如 100 元进一件商品，想要赚 80%，问以多少钱来卖？100*（1+80%）=180 元。 成本=售价/（1+利润率） 。比如以 150 元卖一件商品，发现赚了 20%，问成本是多少？成本=150/（1+20%） 。给具体单位是利润，给百分号是利润率，本题 20%是利润率。 可以联想资料中：利润增长量，利润率增长率，售价现期，成本基期。 总钱数=单件钱数*数量。比如 1 件衣服赚 80 元，卖了 100 件，则赚80*100=8000 元。 售价=定价（原价）*折扣。比如商品进价 180 元，发现没人买，打 8 折销售，是原价 180 的八折。 （4）