高中数学--极限 .pdf

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1、高中数学高中数学-极极 限限考试内容：考试内容：教学归纳法数学归纳法应用数列的极限函数的极限根限的四那么运算函数的连续性考试要求：考试要求：1理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2了解数列极限和函数极限的概念3掌握极限的四那么运算法那么；会求某些数列与函数的极限4了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质13.13.极极 限限知知识识要要点点1.第一数学归纳法：证明当n取第一个n0时结论正确；假设当n kk N,k n0时，结论正确，证明当n k 1时，结论成立.第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果当n n0n0 N时，P(n)成

2、立；假设当n kk N,k n0时，P(n)成立，推得n k 1时，P(n)也成立.那么，根据对一切自然数n n0时，P(n)都成立.2.数列极限的表示方法：lim an an当n 时，an a.几个常用极限：lim C CC为常数nlim1nkn 0(k N,k是常数)对于任意实常数，当|a|1时，liman 0n当a 1时，假设 a=1，那么liman1；假设a 1，那么liman lim(1)n不存在nnn当a 1时，liman不存在n数列极限的四那么运算法那么：如果liman a,limbb b，那么nnlim(anbn)abn.lim(anbn)abnlimana(b 0)nbnb特

3、别地，如果 C 是常数，那么nlim(Can)lim C liman Ca.nn数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S a1(q 1).1q化循环小数为分数方法同上式注：并不是每一个无穷数列都有极限.3.函数极限；当自变量x无限趋近于常数x0但不等于x0时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限为a.记作lim f(x)a或当x x0时，f(x)a.xx0注：当x x0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否认义无关，因为x x0并不要求x x0.当然，f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在

4、极限无关.函数f(x)在x0有定义是lim f(x)存在的既不充分又不必要条件.xx0如P(x)x 1x 1在x 1处无定义，但limP(x)存在，因为在x 1处左右极限均等于零.x1 x 1x 1函数极限的四那么运算法那么：如果lim f(x)a,lim g(x)b，那么xx0 xx0lim(f(x)g(x)abxx0lim(f(x)g(x)abxx0limxx0f(x)a(b 0)g(x)b特别地，如果 C 是常数，那么xx0lim(C f(x)C lim f(x).xx0 xx0lim f(x)n lim f(x)nnNxx0注：各个函数的极限都应存在.四那么运算法那么可推广到任意有限个

5、极限的情况，但不能推广到无限个情况.几个常用极限：lim1 0nxxxlim ax 00a1；lim ax 0a1.limsin xx1 lim1x0 xx0sin x11lim(1)x e，lim(1 x)x ee 2.71828183x0 xx4.函数的连续性：如果函数 f x，g x 在某一点x x0连续，那么函数f(x)g(x),f(x)g(x),在点x x0处都连续.函数 fx在点x x0处连续必须满足三个条件：函数 fx在点x x0处有定义；lim f(x)存在；函数 fx在点x x0处的极限值xx0f(x)(g(x)0)g(x)等于该点的函数值，即lim f(x)f(x0).xx

6、0函数 fx在点x x0处不连续间断的判定：如果函数 fx在点x x0处有以下三种情况之一时，那么称x0为函数 fx的不连续点.fx在点x x0处没有定义，即f(x0)不存在；lim f(x)不存在；lim f(x)存在，xx0 xx0但lim f(x)f(x0).xx05.零点定理，介值定理，夹逼定理：零点定理：设函数f（x）在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点 a b使f()0.介值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)A,f(b)B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()Ca b.夹逼定理：设当0|x x0|时，有g(x)f(x)h(x)，且lim g(x)lim h(x)A，那xx0 xx0么必有lim f(x)A.xx0注：|x x0|：表示以x0为的极限，那么|x x0|就无限趋近于零.为最小整数6.几个常用极限：lim qn 0,q 1nanlim 0(a 0)nn!limnkann 0(a 1,k为常数limlimlnn 0nn(lnn)kn 0(0,k为常数n.