高中数学复习——数列的极限.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学复习数列的极限中鸿智业知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限.注：a不一定是an中的项.2.几个常用的极限：C=C（C为常数）;=0;qn=0（|q|1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当an=a, bn=b时， （anbn

2、）=ab; （anbn）=ab; =（b0）.特别提示（1）an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个.1.下列极限正确的个数是=0（0） qn=0=1 C=C（C为常数）A.2B.3C.4 D.都不正确解析:正确.答案:B2. n（1）（1）（1）（1）等于A.0 B.1 C.2 D.3解析: n（1）（1）（1）（1）=n=2.答案:C3.下列四个命题中正确的是A.若an2A2，则anAB.若an0，anA，则A0C.若anA，则an2A2D.若（anb）0，则anbn解析:排除法，取an（）n，排除A；取an，排除；取anbnn，排除D答案:C4.（2005年春季

3、上海,2） =_.解析:原式=0.答案:05.（2005年春季北京,9） =_.解析:原式=.答案:思考讨论求数列极限时，如是不定型（,等），应先变形，再求极限，一般应如何变形？典例剖析【例1】 求下列极限：（1）;（2） （n）;（3）（+）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）=.（2） （n）= =.（3）原式=（1+）=1.评述:对于（1）要避免下面两种错误：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n

4、2+7）不存在，原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： （n）= n=0;原式=n=不存在.对于（3）要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误.【例2】 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数（1）求数列an的通项公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得anan1,an是以a13，公比为c的等比数列，则an3n1.Sn（2） .当c=2时，原式;当2时，原式;当02时，原式=.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l:xny=0（nN *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:

5、y=（x1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求.剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.解:设圆心M（1,1）到直线l的距离为d,则d2=.又r=1,|AB|2=4（1d2）=.设点C（x1,y1）, D（x2,y2），由nx2（2n+1）x+n=0,x1+x2=, x1x2=1.（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=,（y1y2）2=（）2=,|CD|2=（x1x2）2+（y1y2）2=（4n+1）（n2+1）.=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列an的首项为a1=1,且对任意nN*,an与an+1恰为方

6、程x2bnx+cn=0的两根,其中0|c|1,当 （b1+b2+bn）3,求c的取值范围.解:首先,由题意对任意nN*,anan+1=cn恒成立.=c.又a1a2=a2=c.a1,a3,a5,a2n1,是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,a2n,是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意nN*,an+an+1=bn恒成立.=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,b2n,是首项为2c,公比为c的等比数列, （b1+b2+b3+bn）= （b1+b3+b5+）+ （b2+b4+）

7、=+3.解得c或c1.0|c|1,0c或1c0.故c的取值范围是（1,0）（0,.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将bn的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.夯实基础1.已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是A.2 B.3 C. D.6解析:由=2,得a=2b.由=3,得b=3c,c=b.=6.= =6.答案:D2.（2003年北京）若数列an的通项公式是an=,n=1,2,则 （a1+a2+an）等于A. B. C. D.解析:an=即an=a1+a2+an=（21+23+25+）+（3

8、2+34+36+）.（a1+a2+an）=+=答案:C3.（2004年春季上海）在数列an中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线xy=0上，则=_.解析:由题意得= （n2）.是公差为的等差数列，=.=+（n1）=n.an=3n2.=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列an（nN）的公比q=,且（a1+a3+a5+a2n1）=,则a1=_.解析:q=, （a1+a3+a5+a2n1）=.a1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列an中,a1=,an+an+1=,nN*,则（a1+a2+an）等于A. B. C. D.解析:2（a1+a2+an）=a1+（a

9、1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+（an1+an）+an=+an.原式=+an=（+an）.an+an+1=,an+an+1=0.an=0.答案:C6.已知数列an满足（n1）an+1=（n+1）（an1）且a2=6,设bn=an+n（nN*）.（1）求bn的通项公式；（2）求（+）的值.解:（1）n=1时，由（n1）an+1=（n+1）（an1）,得a1=1.n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.要证bn=2n2,只需证an=2n2n.当n=1时，a1=2121=1成立.假设当n

10、=k时，ak=2k2k成立.那么当n=k+1时，由（k1）ak+1=（k+1）（ak1）,得a k+1=（ak1）=（2k2k1）=（2k+1）（k1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2（k+1）.当n=k+1时，an=2n2n正确，从而bn=2n2.（2）（+）=（+）=+=1+=1+=.能力提高7.已知数列an、bn都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求极限 （+）的值.解:an、bn的公差分别为d1、d2.2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,2d23d1=2.又=,即d2=2d1,d1=2,d2=4.an=a

11、1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2.=（）.原式=（1）=.8.已知数列an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中pq且p1,q1,设cn=an+bn,Sn为数列cn的前n项和，求.解:Sn=+,当p1时，pq0,得01,上式分子、分母同除以pn1，得=p.当p1时，0qp1, =1.探究创新9.已知数列an满足a1=0,a2=1,an=,求an.解:由an=,得2an+an1=2an1+an2,2an+an1是常数列.2a2+a1=2,2an+an1=2.an=（an1）.an是公比为,首项为的等比数列.an=（）n1.an=（）n1.an=.教学点睛1.数列极限的几种类型：,00,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.拓展题例【例题】 已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有（qn）=,求首项a1的取值范围.解: （qn）=,qn一定存在.0|q|1或q=1.当q=1时，1=,a1=3.当0|q|1时，由（qn）=得=,2a11=q.0|2a11|1.0a11且a1.综上,得0a11且a1或a1=3.-