2022年高中数学极限 .pdf

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1、高中数学极限、数学归纳法一、选择题 (本大题共 6 个小题，每题 6 分，共 36 分) 1(精选考题 江西高考 ) limn(11313213n)() A.53B.32C2 D不存在解析：limn(11313213n)111332. 答案： B 2设函数 f(x)(x1)2(x2)，则 limx1f xx1等于() A6 B2 C0 D6 解析： f xx1x122 x1 x2x13x3，limx1f xx16. 答案： D 3已知函数 f(x)x22x3x1x1ax1x1在 x1 处连续，则 f1(3)等于() A0 B1 C23D.23精选学习资料 - - - - - - - - - 名

2、师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页解析：函数f(x)在 x1 处连续， f(1)limx1x22x3x14.又当x1 时，f(1)a1， a3.当 x1 时，令x22x3x13，得 x0或 1，不满足题设 当 x1 时，令 3x13，得 x23，满足题设 f1(3)23. 答案： D 4用数学归纳法证明1n11n212n1134时，由 nk 到 nk1，不等式左边的变化是 () A增加12 k1一项B增加12k1和12k2两项C增加12k1，12k2两项，同时减少1k1一项D以上结论均错解析： nk 时，不等式左边为1k11k212k，nk1时，不等式左边为1k21

3、k312k12k112k2，故增加12k1，12k2两项，减少1k1一项答案： C 5已知数列 an的前 n 项和 Snn2an(n2)，而 a11，通过计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页算 a2，a3，a4，猜想 an() A.2n12B.2n n1C.22n1D.22n1解析： 由 Snn2an知 Sn1(n1)2an1， Sn1Sn(n1)2an1n2an， an1(n1)2an1n2an，an1nn2an(n2)当 n2 时，S24a2，又 S2a1a2， a2a1313，a324a216，a435a31

4、10. 由 a11，a213，a316，a4110. 猜想 an2n n1. 答案： B 6设 a，b 满足limx2x2bx2x2bxa1，则limnan1abn1an12bn等于() A1 B.12C.13D.14解析： 依题意得 a2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页limx2x2bx2x2bxalimx2xb x2x2limx2(xb)2b1，因此 b3.故limnan1abn1an12bnlimn2n123n12n123nlimn423n1223n12313. 答案： C 二、填空题 (本大题共 3 个

5、小题，每题 6 分，共 18 分) 7设 alimx1x3xx41，则 1aa2a3 _. 解析： alimx1x3xx41limx1x x1 x1x1 x1 x21limx1xx2112， 1aa2a32. 答案： 2 8已知函数f(x)acosxx0 x21x0在点 x0 处连续，则a_. 解析： 由题意得 limx0f(x) limx0(x21)1，limx0f(x) limx0acosxa，由于 f(x)在 x0 处连续，因此 a1. 答案： 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页9已知 logab1(0a

6、1)，则limnbnanbnan_. 解析： logab1,0a1 得 0ba，limnbnanbnanlimnban1ban11. 答案： 1 三、解答题 (本大题共 3 个小题，共 46 分) 10 (本小题总分值 15分)已知数列 an的前 n 项和 Sn(n2n)3n. (1)求limnanSn；(2)证明：a112a222ann23n. 解：(1)因为limnanSnlimnSnSn1Snlimn(1Sn1Sn)1limnSn1Sn，limnSn1Sn13limnn1n113，所以limnanSn23. (2)证明：当 n1 时，a112S163；当 n1 时，a112a222ann

7、2S112S2S122SnSn1n2(112122)S1(122132)S21n121n2Sn11n2 SnSnn2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页n2nn2 3n3n. 综上知，当 n1 时，a112a222ann23n. 11(本小题总分值 15 分)已知an是由非负整数组成的数列，满足 a10，a23，a32，an1an(an12)(an22)，n3,4,5，. 试用数学归纳法证明：anan22，n3,4,5，；证明： 当 n3 时，a32a12，所以等式成立；假设当 nk3 时等式成立，即 akak22.

8、 而由题设有 ak1ak(ak12)(ak22)由 ak2是非负整数，得 akak220， ak1ak12，即当 nk1 时，等式也成立综合得：对任意正整数n3，都有 anan22. 12(本小题总分值 16 分)在数列 an中，a11，当 n2 时，an，Sn，Sn12成等比数列(1)求 a2，a3，a4并推出 an的表达式，(2)用数学归纳法证明所得的结论解：an，Sn，Sn12成等比数列， S2nan(Sn12)(n2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页(1)由 a11，S2a1a21a2代入得 a223，由

9、 a11，a223，S313a3代入得 a3215. 同理可得 a4235，由此可推出an1n122n3 2n1n2. (2)证明：当 n1、2、3、4 时，由(1)知猜想成立，假设 nk(k2，kN*)时，ak22k3 2k1成立故 S2k22k3 2k1 (Sk12)， (2k3)(2k1)S2k2Sk10， Sk12k1，Sk12k3(舍)由 S2k1ak1 (Sk112)得(Skak1)2ak1(ak1Sk12)，12k12a2k12ak12k1a2k1ak12k112ak1， ak122 k1 3 2 k1 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

10、- - - - -第 7 页，共 11 页即 nk1 时，命题也成立由知 an1n122n3 2n1n2对一切 nN*成立11limx(xx1x3x21)等于() A1B2 C3 D4 解析： xx1x3x21x x1 x3x21x22x3x21x1 x3x1 x1x3x1，1limx(xx1x3x21)1limxx3x113112. 答案： B 2函数 f(x)xa xbxc在点 x1 和 x2 处的极限值都是0，而在点 x2 处不连续，则不等式f(x)0 的解集为 () A(2,1) B(， 2)(2，) C(2,1)(2， ) D(， 2)(1,2) 解析：由已知得：f(x)x1 x2x

11、2，则 f(x)0 的解集为 (2,1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页(2，)答案： C 3 设常数 a0， (ax21x)4的展开式中 x3的系数为32， 则 li mn(aa2a3 an)_. 解析： Tr1Cr4a4rx85r2，令 85r23，得 r2， x3的系数为 C24a26a232，则 a12， li mn(aa2a3an)121121. 答案： 1 4(精选考题 上海高考 )将直线l1：xy10，l2：nxyn0， l3： xnyn0(nN*， n2)围成的三角形面积记为Sn， 则limnSn

12、_. 解析： 如下图，由nxyn0，xnyn0得错误!则直线 l2、l3交于点 A(nn1，nn1)Sn121nn1121nn11211nn112，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页limnSnlimn(nn112)limn111n1211212. 答案：125对于数列 xn，满足 x143，xn13xn1x3n；函数 f(x)在(2,2)上有意义， f(12)2，且满足 x，y，z(2,2)时，有 f(x)f(y)f(z)f(xyz1xyz)成立(1)求 f(43)的值；(2)求证： f(xn)是等比数列；(3)

13、设f(xn)的前 n 项和为 Sn，求 li mn3n2Sn. 解：(1)由 xyz0? 3f(0)f(0)，f(0)0，令 z0，得 f(x)f(y)f(xy)，再令 yx，得 f(x)f(x)f(0)0，则 f(x)f(x)所以 f(43)f(12)f(12)f(12)3f(12) 3f(12)6. (2)证明：由 x143，结合已知可得0 xn13xn1x3n31xnx2n342；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页由 f(xn1)f(3xn1x3n)f(xnxnxn1x3n)f(xn)f(xn)f(xn)3f(xn)，得f xn1f xn3，即f(xn)是以 6 为首项，以 3 为公比的等比数列，且 f(xn)23n. (3)由 Sna11qn1q6 13n133(13n)，得limn3n2Snlimn3n23 13nlimn123n313n113. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页