2019高中数学 第二章 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程学案 新人教A版选修1-1.doc

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1、12.3.12.3.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)自 主 预 习探 新 知1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线思考 1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？提示 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)F(p 2，0)xp 2y22px(p0)F(

2、p 2，0)xp 2x22py(p0)F(0，p 2)yp 2x22py(p0)F(0，p 2)yp 2思考 2：(1)抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？提示 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离(2)根据抛物线方程中一次式2px，2py来确定焦点位置， “x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上基础自测1思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线( )(2)抛物线是双曲线的一支( )(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标2轴上 ”( )答案 (1) (2) (

3、3)2抛物线y28x的焦点坐标是( )A(2,0) B(2,0)C(4,0) D(4,0)B B 抛物线y28x的焦点在x轴的负半轴上，且 2，因此焦点坐标是(2,0)p 23抛物线y28x的焦点到准线的距离是( )A1 B2 C4 D8C C 由y28x得p4，即焦点到准线的距离为 4.4抛物线x4y2的准线方程是( )【导学号：97792096】Ay By11 2Cx Dx1 161 8C C 由x4y2得y2x，故准线方程为x.1 41 16合 作 探 究攻 重 难求抛物线的标准方程根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y ；2 3(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为

4、5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点思路探究 (1)(2)由题意可确定方程形式求出p写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程代入点的坐标求参数写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标分情况讨论焦点的位置写出抛物线的标准方程解 (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且 ，则p ，所以所求抛物线的p 22 34 33标准方程为x2y.8 3(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.(3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线

5、的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p ；1 6若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p .9 2所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.1 3(4)对于直线方程 3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时， 3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；p 2当焦点为(4,0)时， 4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.p 2所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.规律方法 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步

6、骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx或x2ny，这样可以减少讨论情况的个数(3)注意p与 的几何意义p 2跟踪训练1根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1，3)；(2)过点(4，8)；4(3)焦点在x2y40 上解 (1)法一：设所求抛物线方程为x22py(p0)，将点(1，3)代入方程，得(1)22p(3)，解得p ，所以所求抛物线方程为x2y.1 61 3法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点(1，3)，所以 1m(3)，即m ，所以

7、所求抛物线方程为x2y.1 31 3(2)法一：设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(4，8)代入y22px，得p8；将点(4，8)代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以 644n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由Error!得Error!由Error!得Error!所以所求抛物

8、线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由 2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为p 2(4,0)时，由 4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.p 2综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.抛物线的定义的应用(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为 5，求m的值、抛物线方程和准线方程(2)已知抛物线y24x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标. 【导学号：97792097】(3)已知动圆M与直线y2 相切，且与定圆C：x2(y3)21 外

9、切，求动圆圆心M的轨迹方程思路探究 (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离(3)利用|MC|的长度比点M到直线y2 的距离大 1 求解5解 (1)设所求抛物线方程为x22py(p0)，由 35 得p4，因此抛物线方p 2程为x28y，其准线方程为y2，由m224 得m2.6(2)如图，作PNl于N(l为准线)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号(|PA|PF|)min|AB|415.此时yP2，代入抛物线得xP1，P(1,2)(3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由

10、题意可得M到圆心C(0，3)的距离与直线y3 的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3 为准线的一条抛物线，其方程为x212y.规律方法 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题跟踪训练2(1)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B

11、3172C. D.59 2A A 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点P到准线x 的距离d|PF|，1 2易知点A(0,2)在抛物线y22x的外部，连接AF，交y22x于点P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F共线，其最小值为6|AF| .172(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大 .求点M的轨迹方(1 2，0)1 2程解 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大 ，所以动点(1 2，0)1 2M到F的距离与它到直线l：x 的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是(1 2，0)1 2以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)

12、，其方程应为y22px(p0)的形式，而 ，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0).p 21 2抛物线的实际应用探究问题已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面上的部分高 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小3 4船开始不能通航？思路探究 建系设方程解方程求出相关量解决问题解 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p ，抛物线方程为x2y. 8 5

13、16 5当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由 22yA，得yA .16 55 4又知船露出水面上部分为 米，设水面与抛物线拱顶相距为3 4h，则h|yA| 2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时，小船不能通航3 4规律方法 求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系(2)设出合适的抛物线标准方程(3)通过计算求出抛物线的标准方程(4)求出需要求出的量7(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题跟踪训练3如图 231 是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，若水面下降 0.42 米后，则水面宽为( )图 231A2.2 米

14、B4.4 米C2.4 米 D4 米B B 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将A(2，2)代入x2my，得m2x22y，代入B(x0，2.42)得x02.2，故水面宽为 4.4 m，故选 B.当 堂 达 标固 双 基1准线方程为y 的抛物线的标准方程为( )2 3Ax2y Bx2y8 38 3Cy2x Dy2x8 38 3B B 由准线方程为y 知抛物线焦点在y轴负半轴上，且 ，则p .故所求抛物2 3p 22 34 3线的标准方程为x2y.8 32抛物线yx2的焦点坐标是( )1 4A. B.(0，1 16)(1 16，0)C(0,1) D(1,0)C C 抛物线的标准方程为x24

15、y，从而焦点坐标为(0,1)3抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为( )8Ay28x By212xCy216x Dy220xA A 由题意知 6a35，解得a ，因此抛物线方程为y28x.1 34已知抛物线y22px(p0)的焦点F1，若点A(2，4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_. 【导学号：97792098】4 把点(2，4)代入抛物线y22px，得 164p，即p4，从而抛物线的焦点为(2,0)故点A到焦点的距离为 4.5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求点M的坐标解 由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x .设(p 2，0)p 2点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即 (9)10，得p2，故抛物线方程为p 2y24x.由点 M(9，y)在抛物线上，得 y6，故点 M 的坐标为(9,6)或(9，6)