2019高中数学 第二章 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1.doc

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1、12.4.22.4.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)自 主 预 习探 新 知1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点(p 2，0)(p 2，0)(0，p 2)(0，p 2)准线xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R对称轴x轴y轴顶点(0,0)性质离心率e12.焦点弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物

2、线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1 ，|BF|x2 ，故|AB|x1x2p.p 2p 23直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组Error!解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20 解的个数当k0 时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0 时，直线与抛物线有一个公共点；若0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别x2 a2y2 b2交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为，求抛物线的3标准方程解 (1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为，

3、交点横坐标为1，则3抛物线过点(1，)或(1，)，设抛物线方程为y22px或y22px(p0)33则 2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.答案 y23x或y23x(2)由已知得 2，所以4，解得 ，c aa2b2 a2b a3即渐近线方程为yx.3而抛物线准线方程为x ，p 2于是A，B，(p 2，3p2)(p 2，3p2)从而AOB的面积为 p ，可得p2.因为抛物线开口向右，所以其标准方1 23p 23程为y24x.3规律方法 抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等

4、于顶点到准线的距离为 .p 2跟踪训练1边长为 1 的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )Ay2x By2x3633Cy2xDy2x3633C C 设抛物线方程为y2ax(a0)又A(取点A在x轴上方)，则有 (32，12)1 4a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故选 C323636与中点弦、焦点弦有关的问题(1)过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为_(2)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，2B(x2，y2)(x10)的焦点时，弦长|AB|x1x2p.(3

5、)“中点弦”问题解题策略两法跟踪训练2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于5A，B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_y24x 设抛物线C的方程为y22px(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则Error!，整理得y2y1 x2x12p y1y2又1，y1y24，所以 2p4.y2y1 x2x1因此抛物线C的方程为y24x.(2)直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，求直线l的方程. 【导学号：46342112】解 因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x1，此时|

6、AB|4，不合题意，所以可设所求直线l的方程为yk(x1)，由Error!得k2x2(2k24)xk20，则由根与系数的关系，得x1x2.2k24 k2又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|x1x2p28，2k24 k2所以6，解得k1.2k24 k2所以所求直线l的方程为xy10 或xy10.直线与抛物线的位置关系(1)已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24x只有一

7、个公共点；有两个公共点；没有公共点？思路探究 (1)直线ykxk过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断(2)直线与抛物线方程联立，根据“”的正负判断解析 (1)直线方程可化为yk(x1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y22px(p0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选 C答案 C6(2)由题意，直线l的方程为y1k(x2)由方程组Error!(*)可得ky24y4(2k1)0.：当k0 时，由方程得y1，把y1 代入y24x，得x ，1 4这时，直线l与抛物线只有一个公共点.(1 4，1)：当k0 时，方程的判别式为16(2k2k1)a由0，即 2k

8、2k10，解得k1 或k ，所以方程只有一个解，从而1 2方程组(*)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点b由0，即 2k2k10，解得k .于是k 时，方程没有实1 21 2数解，从而方程组(*)没有解，直线l与抛物线无公共点综上，当k0 或k1 或k 时，直线l与抛物线只有一个公共点1 2当1 时，直线l与抛物线无公共点1 2规律方法 直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20，当0

9、 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即y12 x11.y22 x21又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1，x2，从而有y2 1 4y2 2 4，即，得y1y24，故直线AB的斜率kABy12 y2 1 41y22 y2 2 414 y124 y22y1y2 x1x21.4 y1y2母题探究：1.(变条件)若本例题改为：如图 246，已知直线l：y2x4 交抛物

10、线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积如何求解？9图 246解 由Error!解得Error!或Error!由图可知，A(4,4)，B(1，2)，则|AB|3.5设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d|2x0y04|515|y2 0 2y04|(y01)29|.12 520)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：xmy1(m0)，则Error!消去x得y24my40.于是，有yM2m，xMmyM12m21，即y1y2 2M(2m21,2m)同理，N.(2

11、m21，2 m)10因此，直线MN的斜率kMN，方程为2m2m(2m21)(2 m21)m m21y2m(x2m21)，即mx(1m2)y3m0.显然，不论m为何值，(3,0)均满足m m21方程，所以直线MN过定点(3,0)规律方法 应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示

12、要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值当 堂 达 标固 双 基1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为 3 的抛物线的标准方程为( )Ax23y By26xCx212yDx26yC C 由题意知抛物线方程为x22py，且 3，即p6，因此抛物线方程为p 2x212y.2若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点2到直线AB的距离为( )A B1 21 4C D1 61 8A A 线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线(1 2，0)AB的距离为 1 .1 21 23已知AB是

13、过抛物线 2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，15 811由抛物线 2x2y，可得p ，1 4|AB|y1y2p4，y1y24 ，1 415 4故AB的中点的纵坐标是.y1y2 215 84若直线xy2 与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_. 【导学号：46342114】(4,2) 由Error!得x28x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y2x1x244，故线段AB的中点坐标为(4,2)5设直线y2xb与抛物线y24x交于A，B两点，已知弦AB的长为 3，求b的5值解 由Error!消去y，得 4x24(b1)xb20.由0，得b .设A(x1，y1)，B(x2，y2)1 2则x1x21b，x1x2.b2 4|x1x2|.(x1x2)24x1x212b|AB|x1x2|122512b3，12b9，即 b4.5