2019高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 4.doc

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1、11.4.31.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象学习目标：1.能画出正切函数的图象(重点)2.掌握正切函数的性质(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易错点)自 主 预 习探 新 知正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域 Error!值域R R周期奇偶性奇函数对称中心，kZ Z(k 2，0)单调性在开区间，kZ Z 内都是增函数( 2k，2k)基础自测1思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是 R R.( )(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心( )(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xk，kZ Z.( ) 2(4)正切函数是

2、增函数( )解析 由正切函数图象可知(1)，(2)，(3)，(4).答案 (1) (2) (3) (4)2函数ytan的定义域为_(2x 6)Error! 因为 2xk，kZ Z， 6 2所以x，kZ Zk 2 3所以函数ytan的定义域为Error!.(2x 6)3函数ytan 3x的最小正周期是_2函数ytan 3x的最小正周期是. 3 34函数ytan的单调增区间是_(x 5)，kZ Z 令kxk，kZ Z(k3 10，k710) 2 5 2得kxk，kZ Z3 107 10即函数ytan的单调增区间是，kZ Z.(x 5)(k3 10，k710)合 作 探 究攻 重 难有关正切函数的定

3、义域、值域问题(1)函数y的值域是( )1 tan x( 4x4且x 0)A(1,1) B(，1)(1，)C(，1)D(1，)(2)函数y3tan的定义域为_( 6x4)(3)函数ylg(1tan x)的定义域为_. tan x1【导学号：84352103】思路探究 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线(1 1)B B (2)Error!(3)Error! (1)当x0 时，1tan x0，1； 41 tan x当 0x时，0tan x1，1. 41 tan x即当x时，函数y的值域是(，1)(1，)( 4，0) (0，4)1 tan x

4、(2)要使函数有意义应满足 k，kZ Z，得x4k，kZ Z， 6x 4 24 3所以函数的定义域为Error!.(3)要使函数ylg(1tan x)有意义，则tan x1Error!即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.( 2，2) 4，4)又因为ytan x的周期为 ，所以所求x的定义域为Error!.3规律方法 1.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ Z. 2(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体” 令xk，kZ Z，解得x.

5、 22解形如 tan xa的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件跟踪训练1函数ylog tan的定义域是( )1 2( 4x)A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!B B 由题意 tan0，( 4x)即 tan0，(x 4)kxk， 2 4kxk，kZ Z，故选 B. 4 42求函数ytan2tan1 的定义域和值域(3x 3)(3x 3)解 由 3xk，kZ Z，得x(kZ Z)，所以函数的定义域为 3 2k 3 18Error!.设ttan，(3x 3)4则tR R，yt2t12 ，(t1 2)3 43 4所以原函数的值域是.3 4，)正切函

6、数奇偶性、周期性和图象的对称性(1)函数f(x)tan的周期为_(2x 3)(2)已知函数ytan，则该函数图象的对称中心坐标为_(x 3)(3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycostan x.( 2x)思路探究 (1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定义法求 |周期(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x，kZ Z 求k 2出(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f(x)的关系(1) (2)，kZ Z (1)法一：(定义法) 2(k 23，0)tantan，(2x 3)(2x 3)即 tantan，2(x 2) 3(2x

7、3)f(x)tan的周期是.(2x 3) 2法二：(公式法)f(x)tan的周期T.(2x 3) 2(2)由x(kZ Z)得x(kZ Z)，所以图象的对称中心坐标为 3k 2k 2 3，kZ Z.(k 23，0)(3)定义域为Error!，关于原点对称，又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数5定义域为Error!，关于原点对称，ycostan xsin xtan x，( 2x)又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函数规律方法 1.函数f(x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定义法(2)公式法：对于函数

8、f(x)Atan(x)的最小正周期T. |(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系提醒：ytan x，xk，kZ Z 的对称中心坐标为，kZ Z. 2(k 2，0)跟踪训练3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；tan2 xtan x tan x1(2)f(x)tantan. (x 4)(x 4)【导学号：84352104】解 (1)由Error!得f(x)的定义域为Error!，不关于

9、原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为Error!，关于原点对称，又f(x)tantan(x 4)(x 4)tantan(x 4)(x 4)f(x)，所以函数是奇函数正切函数单调性的应用6探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是正切函数的图象被直线xk(kZ Z)隔开，所以它的单调区间只在 2(kZ Z)内，而不能说它在定义域内是增函数假设(k 2，k2)x1，x2 ，x1x2，但 tan x1tan x2. 45 42如果让你比较 tan与 tan的大小，你应该怎样做？(4 3)(11 5)提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单

10、调区间内，再由正切函数的单调性进行比较(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4 从小到大的排列顺序为_(2)求函数y3tan的单调区间( 42x)思路探究 (1)利用ytan x在上为增函数比较大小，注意 tan ( 2，32)1tan(1)(2)先将原函数化为y3tan，再由k2xk，kZ Z，(2x 4) 2 4 2求出单调减区间(1)tan 2tan 3tan 4tan 1 (1)ytan x在区间上是单调增函数，( 2，32)且 tan 1tan(1)，又2341， 23 2所以 tan 2tan 3tan 4tan 1.(2)y3tan3tan，( 42x)(2x 4)由

11、k2xk，kZ Z 得， 2 4 2 x ，kZ Z， 8k 23 8k 2所以y3tan的减区间为，kZ Z.( 42x)( 8k2，3 8k2)母题探究：1.将本例(2)中的函数改为“y3tan” ，结果又如何？(1 2x 4)解 由kxk(kZ Z)， 21 2 4 27得 2kx2k (kZ Z)， 23 2函数y3tan的单调递增区间是(kZ Z)(1 2x 4)(2k 2，2k32)2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何？解 因为函数ylg x在(0，)上为增函数所以函数ylgtan x的单调递增区间就是函数ytan x(tan x0)的递增区间，即，kZ Z.(

12、k， 2k)规律方法 1.求函数yAtan(x)(A0，0，且A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ Z，解得x的范围即可 2 2(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间当 堂 达 标固 双 基1若 t

13、an x1，则( )A2kx2k(kZ Z) 4Bx(2k1)(kZ Z)Ckxk(kZ Z) 4Dkxk(kZ Z) 4 2D D 因为 tan x1tan. 4所以kxk，kZ Z. 4 282在下列函数中同时满足：在上递增；以 2 为周期；是奇函数的是( )(0， 2)Aytan x Bycos xCytanDytan xx 2C C A，D 的周期为 ，B 中函数在上递减，故选 C.(0， 2)3比较大小：tan_tan. 13 417 5【导学号：84352105】 因为 tantan，13 4 4tantan，又 0，17 52 5 42 5 2ytan x在内单调递增，0， 2)

14、所以 tantan，即 tantan. 42 513 417 54求函数ytan(x)，x的值域为_( 4，3)(，1) ytan(x)tan x，3在上为减函数，( 4，3)所以值域为(，1)35求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心. (x 2 3)【导学号：84352106】解 由 k，kZ Z，得x2k，kZ Z，x 2 3 25 3函数的定义域为Error!.T2，函数的最小正周期为 2. 1 2由k k，kZ Z，得 2kx2k，kZ Z，函数 2x 2 3 2 35 3的单调递增区间为， kZ Z.(2k 3，2k53)由 ，kZ Z，得xk，kZ Z，x 2 3k 22 39函数图象的对称中心是，kZ.(k23，0)