《2019版高中数学 第二章 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率学案 新人教A版选修2-3.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高中数学 第二章 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率学案 新人教A版选修2-3.doc（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、12.2.12.2.1 条件概率条件概率学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题知识点一 条件概率100 件产品中有 93 件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85 件产品的长度、质量都合格令A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格思考 1 试求P(A)，P(B)，P(AB)答案 P(A)，P(B)，P(AB).93 10090 10085 100思考 2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率答案 事件A|B发生，相当于从 90 件质量合格的产品中任
2、取 1 件长度合格，其概率为P(A|B).85 90思考 3 P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系答案 P(A|B).PABPB梳理 条件设A，B为两个事件，且P(A)0含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率计算公式缩小样本空间法：P(B|A)nABnA公式法：P(B|A)PABPA2知识点二 条件概率的性质1任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0P(B|A)1.2如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)1若事件A，B互斥，则P(B|A)1.( )2事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B
3、同时发生( )类型一 求条件概率命题角度1 利用定义求条件概率例 1 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求(1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率；(2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件B，则第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个，总的事件数n()A 30.2 6根据分步乘法
4、计数原理，有n(A)A A 20，1 4 1 5所以P(A) .nAn20 302 3(2)因为n(AB)A 12，所以P(AB) .2 4nABn12 302 5(3)方法一 由(1)(2)，得在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率P(B|A) .PABPA2 5 2 33 5方法二 因为n(AB)12，n(A)20，所以P(B|A) .nABnA12 203 53反思与感悟 利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，BPABPA同时发生跟踪训练 1 某地区空气质量
5、监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A0.8 B0.75 C0.6 D0.45考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 A解析 设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)0.8.PABPB0.6 0.75命题角度2 缩小基本事件范围求条件概率例 2 集合A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率考点 条件概率的定义及
6、计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个在这 15 个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率P .9 153 5引申探究1在本例条件下，求乙抽到偶数的概率解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1
7、,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率P .9 153 52若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于 4” ；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于 7” ，求P(B|A)解 甲抽到的数大于 4 的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形4有：(5,2)，(6,1)，共 2 个所以P(B|A) .2 121 6反思与感悟 将原来的基本事件全体缩小
8、为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩nABnA小的基本事件范围的跟踪训练 2 5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为_考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 1 2解析 设第 1 次取到新球为事件A，第 2 次取到新球为事件B，则P(B|A)nABnA3 2 4 3.1 2类型二 条件概率的性质及应用例 3
9、把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个其中，第一个盒子中有 7 个球标有字母A,3 个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个盒子中有红球 8 个，白球 2 个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 设A从第一个盒子中取得标有字母A的球，B从第一个盒子中取得标有字母B的球，R第二次取出的球是红球，W第二次取出的球是白球，则容易求得P(A)，P(B)，
10、P(R|A) ，7 103 101 2P(W|A) ，P(R|B) ，P(W|B) .1 24 51 5事件“试验成功”表示为ARBR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得P(ARBR)P(AR)P(BR)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)5 0.59.1 27 104 53 10反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(BC|A)P(B|A)P(C|A)便可求得较复杂事件的概率跟踪训练 3 在某次考试中，要从 20 道题中随机抽出 6 道题，若考生至少能答对其中 4 道题即可通过，至
11、少能答对其中 5 道题就获得优秀已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 记事件A为“该考生 6 道题全答对” ，事件B为“该考生答对了其中 5 道题，另一道答错” ，事件C为“该考生答对了其中 4 道题，另 2 道题答错” ，事件D为“该考生在这次考试中通过” ，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀” ，则A，B，C两两互斥，且DABC，EAB，可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，C 6 10 C 6 20C 5 10C 1 10 C
12、6 20C 4 10C 2 10 C 6 2012 180 C 6 20P(E|D)P(A|D)P(B|D).PAPDPBPD210 C 6 20 12 180 C 6 202 520 C 6 20 12 180 C 6 2013 58故获得优秀成绩的概率为.13 581已知P(B|A) ，P(AB) ，则P(A)等于( )1 23 8A. B. C. D.3 1613 163 41 4考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 C解析 因为P(B|A)，所以P(A) .PABPAPABPB|A3 8 1 23 42市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂产品占 30%
13、，甲厂产品的合格率是 95%，乙6厂产品的合格率是 80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )A0.665 B0.564 C0.245 D0.285考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 A解析 记事件A为“甲厂产品” ，事件B为“合格产品” ，则P(A)0.7，P(B|A)0.95，P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.3从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件A“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件B“取到的 2 个数均为偶数” ，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.1 81 42 51 2考点 条件概率的定义及
14、计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 B解析 P(A) ，P(AB)，C2 3C2 2 C2 52 5C2 2 C2 51 10P(B|A) .PABPA1 44假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是_考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 2 3解析 一个家庭的两个小孩只有 4 种可能：男，男，男，女，女，男，女，女，由题意可知这 4 个基本事件的发生是等可能的，所求概率P .2 35抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为 4 或 6” ，事件B为“两枚骰子的点数之和大于 8” ，求：
15、(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率解 抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为 6636，事件A的基本事件数为 6212，所以P(A) .12 361 37由于 366345548,4664558，56658,668.所以事件B的基本事件数为 432110，所以P(B).10 365 18事件AB的基本事件数为 6.故P(AB) .6 361 6由条件概率公式得(1)P(B|A) .PABPA1 6 1 31 2(2)P(A|B) .PABPB1 6 5 183 51条件概率：P(B|A).PABP
16、AnABnA2概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间A中，计算B发生的概率用古典概型公式，则P(B|A)，P(AB).AB中样本点数 A中样本点数AB中样本点数 中样本点数一、 选择题1某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15%，语文不及格的占 5%，两门都不及格的占 3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A0.2 B0.33 C0.5 D0.6考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 A解析 记“数学不及格”为事件A， “语文不及格”为事件B，P(B|A)0.2，P
17、ABPA0.03 0.15所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为 0.2.2将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A两个点数互不相同，B出现一个 5 点，8则P(B|A)等于( )A. B. C. D.1 35 181 61 4考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 A解析 出现点数互不相同的共有 6530(种)，出现一个 5 点共有 5210(种)，所以P(B|A) .10 301 337 名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )A. B. C. D.1 41 51 61 7考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
18、答案 C解析 记“甲站在中间”为事件A， “乙站在末尾”为事件B，则n(A)A ，6 6n(AB)A ，5 5所以P(B|A) .A5 5 A6 61 64盒中装有 6 件产品，其中 4 件一等品，2 件二等品，从中不放回地取两次，每次取 1 件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为( )A. B. C. D.3 103 51 22 5考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 D解析 设“第二次取得一等品”为事件A， “第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)，P(A) ，所以P(B|A) .C1 2 C1 4 C1 6 C1 54 15C1 4 C1 3C1
19、 2 C1 4 C1 6 C1 52 3PABPA4 153 22 55在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若AError!，BError!，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.1 21 41 33 4考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率9答案 A解析 P(A) .ABError!，1 2 11 2P(AB) ，P(B|A) .1 4 11 4PABPA1 4 1 21 26甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同” ，B为“甲独自去一个景点” ，则概率P(A|B)等于( )A. B. C. D.4 92 9
20、1 21 3考点 条件概率的定义及计算公式题点 利用缩小基本事件空间求条件概率答案 C解析 由题意可知n(B)C 2212，n(AB)A 6.1 33 3所以P(A|B) .nABnB6 121 27已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A. B. C. D.3 102 97 87 9答案 D解析 方法一 设事件A为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ，事件B为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” ，则P(A)，P(A
21、B) ，则所求概率为P(B|A) .3 103 107 97 30PABPA7 30 3 107 9方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为 .C1 7 C1 97 9二、填空题8某种元件用满 6 000 小时未坏的概率是 ，用满 10 000 小时未坏的概率是 ，现有一个此3 41 2种元件，已经用过 6 000 小时未坏，则它能用到 10 000 小时的概率为_考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率10答案 2 3解析 设“用满 6 000 小时未坏”为事件A， “用满 10 000 小时未坏”为事件B
22、，则P(A)，P(AB)P(B) ，所以P(B|A) .3 41 2PABPA1 2 3 42 39如图，四边形EFGH是以O为圆心、1 为半径的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内” ， 则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 (1) (2)2 1 4解析 正方形的面积为 2，圆的面积为 .(1)A表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ，P(A).2 (2)B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内” ，P(AB)，P(B|A) .
23、1 2PABPA1 410设某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率 0.4，现有一个 20岁的这种动物，则它能活到 25 岁的概率是_考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 0.5解析 设该动物活到 20 岁为事件A，活到 25 岁为事件B，则P(A)0.8，P(B)0.4，又P(AB)P(B)，11所以P(B|A)0.5.PABPAPBPA0.4 0.811有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为_考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用答
24、案 6 7解析 设事件A为“其中一瓶是蓝色” ，事件B为“另一瓶是红色” ，事件C为“另一瓶是黑色” ，事件D为“另一瓶是红色或黑色” ，则DBC且B与C互斥又P(A)，C1 2C1 3C2 2 C2 57 10P(AB) ，C1 2C1 1 C2 51 5P(AC) ，C1 2C1 2 C2 52 5故P(D|A)P(BC|A)P(B|A)P(C|A) .PABPAPACPA6 7三、解答题12从 1100 共 100 个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于 50，求此数是 2 或3 的倍数的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 设事件C为“取出的数不大于 50
25、” ，事件A为“取出的数是 2 的倍数” ，事件B为“取出的数是 3 的倍数” 则P(C) ，且所求概率为1 2P(AB|C)P(A|C)P(B|C)P(AB|C)PACPCPBCPCPABCPC2.(25 10016 1008 100)33 501213坛子里放着 5 个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有 3 个是绿皮的，2 个是白皮的如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋，求：(1)第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率解 设“第
26、1 次拿出绿皮鸭蛋”为事件A， “第 2 次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第 1 次和第2 次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.(1)从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个鸭蛋的总基本事件数为n()A 20.2 5又n(A)A A 12，1 31 4于是P(A) .nAn12 203 5(2)因为n(AB)326，所以P(AB).nABn6 203 10(3)由(1)(2)，可得在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A) .PABPA3 10 3 51 2四、探究与拓展14先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是 1,2,3,4,5,6 点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点
27、数分别为x，y，记事件A为“xy为偶数” ，事件B为“x，y中有偶数且xy” ，则概率P(B|A)_.考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 1 3解析 根据题意，事件A为“xy为偶数” ，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有23318 个基本事件事件A发生的概率为P(A) ，而A，B同时发生，基本事件有“24” ，2 3 3 6 61 2“26” ， “42” ， “46” ， “62” ， “64” ，共 6 个，事件A，B同时发生的概率为P(AB) ，6 6 61 613P(B|A) .PABPA1 6 1 21 315甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品，乙箱
28、的产品中有 4 个正品和 3 个次品(1)从甲箱中任取 2 个产品，求这 2 个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率考点 条件概率的性质及应用题点 条件概率性质的简单应用解 (1)从甲箱中任取 2 个产品的事件数为 C 28，这 2 个产品都是次品的事件数为2 8C 3，所以这 2 个产品都是次品的概率为.2 33 28(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品” ，事件B1为“从甲箱中取出 2 个产品都是正品” ，事件B2为“从甲箱中取出 1 个正品，1 个次品” ，事件B3为“从甲箱中取出 2 个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥P(B1)，P(B2)，C2 5 C2 85 14C1 5C1 3 C2 815 28P(B3)，C2 3 C2 83 28所以P(A|B1) ，6 9P(A|B2) ，P(A|B3) .5 94 9所以 P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3) .5146915285932849712
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