2019高中数学 第二章2.2 二项分布及其应用 2.2.3 独立重复试验与二项分布学案 新人教A版选修2-3.doc

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1、12.2.32.2.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布学习目标：1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布(难点)3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(重点)自 主 预 习探 新 知1n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验思考：怎样正确理解独立重复试验？提示 (1)独立重复试验满足的条件：第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验

2、，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛2二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量X服从k n二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率思考：二项分布与两点分布有什么关系？提示 (1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X1)或不发生(X0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n1 种：事件A恰好发生 0 次，1 次，2 次，n次

3、(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n1 的二项分布基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的( )(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果( )(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的( )解析 (1) 在独立重复试验中，试验是“在相同的条件下”进行的，各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，彼此相互独立(2) 独立重复试验的结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生(3) 独立重复试验中，各次试验中的事件相互独立，故说试验事件互斥是错误的2答案 (1) (2) (3)2任意抛掷三枚均匀硬币，恰有 2

4、枚正面朝上的概率为( )【导学号：95032166】A. B.3 43 8C. D.1 31 4B B 抛一枚硬币，正面朝上的概率为 ，则抛三枚硬币，恰有 2 枚朝上的概率为PC1 22 3 .(1 2)21 23 83已知随机变量X服从二项分布，XB，则P(X2)等于_(6，1 3)P(X2)C.80 2432 6(1 3)2(11 3)480 2434姚明在比赛时罚球命中率为 90%，则他在 3 次罚球中罚失 1 次的概率是_. 【导学号：95032167】0.243 设随机变量X表示“3 次罚球，中的次数” ，则XB(3,0.9)，所以他在 3 次罚球中罚失 1 次的概率为P(X2)C

5、0.92(10.9)0.243.2 3合 作 探 究攻 重 难独立重复试验概率的求法现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率解 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为1 3.2 3设“这 4 个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4)则P(Ai

6、)C.i4(1 3)i(2 3)4i(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率P(A2)C.2 4(1 3)2(2 3)28 273(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4.由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C C .3 4(1 3)32 34 4(1 3)41 9所以，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 .1 9规律方法 独立重复试验概率求法的三个步骤1判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验2分拆：判断所求事件是否需要分拆3计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公

7、式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算跟踪训练1某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后面第 2 位)：(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率；(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率解 (1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)0.8.5 次预报相当于 5 次独立重复试验，恰有 2 次准确的概率为C 0.820.230.051 20.05.2 5因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率为 0.05.(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确” ，其概率为 C (0.2)5C 0.80.240.006 720.01.

8、0 51 5故所求概率为 10.010.99.二项分布某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 ，复审能通过的概率为，各专家评审的结果1 23 10相互独立(1)求某应聘人员被录用的概率(2)若 4 人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列. 【导学号：95032168】思路探究 解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用4解 设“两位专家

9、都同意通过”为事件A， “只有一位专家同意通过”为事件B， “通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则DABC，因为P(A) ，1 21 21 4P(B)2 ，1 2(11 2)1 2P(C)，3 10所以P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C) .2 5(2)根据题意，X0,1,2,3,4，且XB，(4，2 5)Ai表示“应聘的 4 人中恰有i人被录用”(i0,1,2,3,4)，因为P(A0)C ，0 4(3 5)481 625P(A1)C ，1 42 5(3 5)3216 625P(A2)C ，2 4(2 5)2(3 5)2216 625P(A3)C ，3 4(2

10、5)33 596 625P(A4)C .4 4(2 5)4(3 5)016 625所以X的分布列为X01234P81 625216 625216 62596 62516 625规律方法1本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清XB(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)必须在满足“独立重复试验”k n时才能运用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次5跟踪训练2袋中有 8 个白球

11、、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列解 有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为 0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均为 ，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则XB.1 5(3，1 5)所以P(X0)C，0 3(1 5)0(4 5)364 125P(X1)C，1 3(1 5)1(4 5)248 125P(X2)C，2 3(1 5)2(4 5)112 125P(X3)C.3 3(1 5)3(4 5)01 125所以X的分布列为：X0123P64 12548 12512 1251 125独立重复试验与二项分布综合应用探究问题1王

12、明在做一道单选题时，从A、B、C、D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？提示 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为 0 次、1 次，它服从二项分布两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n1 的二项分布2王明做 5 道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？提示 服从二项分布因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做 5 道题可以看成“一道题”重复做了 5 次，做对的道数就是 5 次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布3王明做 5 道单选题，其中

13、 2 道会做，其余 3 道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？提示 不服从二项分布因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否6是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中 3 人答对的概率分别为2 3，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分

14、2 32 31 2(1)求随机变量的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). 【导学号：95032169】思路探究 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以服从二项分布，其中n3，p ；2 3(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为 3 且甲队总得分大于乙队总得分解 (1)由题意知，的可能取值为 0,1,2,3，且p(0)C，0 3(12 3)31 27P(1)C ，1 32 3(12 3)22 9P(2)C ，2 3(2 3)2(12 3)4 9P(3)C.3 3(2

15、3)38 27所以的分布列为0123P1 272 94 98 27(2)用C表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用D表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件，所以ABCD，且C，D互斥，又P(C)CError!Error!，2 3(2 3)2(12 3)10 34P(D)C，3 3(2 3)3(1 31 31 2)4 35由互斥事件的概率公式得7P(AB)P(C)P(D).10 344 3534 3534 243规律方法 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是AB还是AB，确定事件至

16、少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解跟踪训练3甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标2 33 4相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响(1)求甲射击 4 次，至少有 1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率解 (1)记“甲连续射击 4 次至少有 1 次未击中目标”为事件A1，由题意，射击 4次，相当于做 4 次独立重复试验故P(A1)1P()1，A1(2 3)465

17、81所以甲射击 4 次，至少有一次未击中目标的概率为.65 81(2)记“甲射击 4 次，恰有 2 次击中目标”为事件A2， “乙射击 4 次，恰有 3 次击中目标”为事件B2，则P(A2)C ；2 4(2 3)2(12 3)428 27P(B2)C .3 4(3 4)3(13 4)4327 64由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)P(A2)P(B2) .8 2727 641 8所以两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 .1 8当 堂 达 标固 双 基1若XB(10,0.8)，则P(X8)等于( )AC0.880.22 BC0.820.288 108

18、10C0.880.22 D0.820.28A A X服从二项分布，所以P(X8)C0.880.22.8 1082一次测量中出现正误差和负误差的概率都是 ，在 5 次测量中恰好 2 次出现正误差1 2的概率是( ) 【导学号：95032170】A. B.5 162 5C. D.5 81 32A A P(2)C10.故选 A.2 5(1 2)3(1 2)21 325 163某电子管正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子管进行测试，设第次首次测到3 41 4正品，则P(3)( )AC BC2 3(1 4)23 42 3(3 4)21 4C D(1 4)23 4(3 4)21 4C C 3 表示第 3

19、次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是 .(1 4)23 44某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的该市的 4 位申请人中恰有 2 人申请A片区房源的概率为_每位申请人申请房源为一次试验，这是 4 次独立重复试验，8 27设申请A片区房源记为A，则P(A) ，1 3所以恰有 2 人申请A片区的概率为 C .2 4(1 3)2(2 3)28 275从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布列2 5解 由题意知B，(3，2 5)则P(0)C，0 3(2 5)0(3 5)327 125P(1)C，1 3(2 5)1(3 5)254 1259P(2)C，2 3(2 5)2(3 5)136 125P(3)C .3 3(2 5)38 125所以随机变量的分布列为0123P27 12554 12536 1258 125