实对称矩阵对角化.ppt

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1、 5.4 5.4 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化1一、共轭矩阵一、共轭矩阵 共轭矩阵具有以下性质：共轭矩阵具有以下性质：定义定义定义定义2二、实对称矩阵的特征值与特征向量二、实对称矩阵的特征值与特征向量定理定理1 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.证证3推论推论2 实对称矩阵实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量的特征向量都是实向量 .（重根按重数计算重根按重数计算）推论推论14注意注意5证明证明于是于是定理定理67不仅如此，不仅如此，一般的一般的8三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化证明略证明略定理定

2、理39例例 实对称矩阵实对称矩阵 A 与与 B 相似相似证证10利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法具体具体步骤步骤为：为：将基础解系正交化将基础解系正交化;3.3.再将其单位化再将其单位化.4.4.11这样共可得到这样共可得到 个个两两正交的单位特征向量两两正交的单位特征向量有有对角阵中对角阵中 的顺序的顺序要与特征向量要与特征向量 的排列顺序一致。的排列顺序一致。5.5.以以 为列向量构成正交矩阵为列向量构成正交矩阵12解解例例 求出正交矩阵求出正交矩阵 使使 为对角阵为对角阵.13基础解系基础解系 14基础解系基础解系15基础解系基础解系16将特征向量正交化将特征向量正交化再将它们单位化

3、再将它们单位化17为正交矩阵为正交矩阵18解解例例1920212223先正交化，先正交化，242526令令为正交矩阵为正交矩阵27解解28基础解系基础解系29基础解系基础解系30可逆矩阵可逆矩阵313233正交矩阵正交矩阵34 例例 求求 a,b 的值与正交矩阵的值与正交矩阵 C,使使 解解353637例例 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的任何一行元素的和都是的任何一行元素的和都是 a,求求 A 的的一个特征值与特征向量一个特征值与特征向量.解解3839例例 解解法法1其余特征值为其余特征值为40法法241例例 设设 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A 的特征值是的特征值是 1,2,3,A 对应于

4、特征值对应于特征值 1,2 的特征向量分别是的特征向量分别是：解解42A 的特征值是的特征值是 1,2,3,43解解解解4445小小 结结1.实对称实对称矩阵的性质矩阵的性质(一定能对角化一定能对角化)2.利用正交矩阵将实对称阵利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵化为对角阵的的步骤步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量正交化；量正交化；(4)最后单位化最后单位化46作业作业 P206 1P206 1，2 2，5 547例例 解解48495051解解 对下列各实对称矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵分别求出正交矩阵P，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值52解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系53解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化54555657于是得于是得正交阵正交阵58例例 设设 A 是是 3 阶矩阵阶矩阵,A的特征值是的特征值是 1,2,3,解解59例例 设矩阵设矩阵解解6061