实对称矩阵对角化精.ppt

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1、实对称矩阵对角化第1页，本讲稿共61页一、共轭矩阵一、共轭矩阵 共轭矩阵具有以下性质：共轭矩阵具有以下性质：定义定义定义定义2第2页，本讲稿共61页二、实对称矩阵的特征值与特征向量二、实对称矩阵的特征值与特征向量定理定理1 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.证证3第3页，本讲稿共61页推论推论2 实对称矩阵实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量的特征向量都是实向量 .（重根按重数计算重根按重数计算）推论推论14第4页，本讲稿共61页注意注意5第5页，本讲稿共61页证明证明于是于是定理定理6第6页，本讲稿共61页7第7页，本讲稿共61页不仅如此，不仅如此，一般的一般的8第8页，

2、本讲稿共61页三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化证明略证明略定理定理39第9页，本讲稿共61页例例 实对称矩阵实对称矩阵 A 与与 B 相似相似证证10第10页，本讲稿共61页利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法具体具体步骤步骤为：为：将基础解系正交化将基础解系正交化;3.3.再将其单位化再将其单位化.4.4.11第11页，本讲稿共61页这样共可得到这样共可得到 个个两两正交的单位特征向量两两正交的单位特征向量有有对角阵中对角阵中 的顺序的顺序要与特征向量要与特征向量 的排列顺序一致。的排列顺序一致。5.5.以以 为列向量构成正交矩阵为列向量构成正交矩阵12第12页，本讲稿共

3、61页解解例例 求出正交矩阵求出正交矩阵 使使 为对角阵为对角阵.13第13页，本讲稿共61页基础解系基础解系 14第14页，本讲稿共61页基础解系基础解系15第15页，本讲稿共61页基础解系基础解系16第16页，本讲稿共61页将特征向量正交化将特征向量正交化再将它们单位化再将它们单位化17第17页，本讲稿共61页为正交矩阵为正交矩阵18第18页，本讲稿共61页解解例例19第19页，本讲稿共61页20第20页，本讲稿共61页21第21页，本讲稿共61页22第22页，本讲稿共61页23第23页，本讲稿共61页先正交化，先正交化，24第24页，本讲稿共61页25第25页，本讲稿共61页26第26页

4、，本讲稿共61页令令为正交矩阵为正交矩阵27第27页，本讲稿共61页解解28第28页，本讲稿共61页基础解系基础解系29第29页，本讲稿共61页基础解系基础解系30第30页，本讲稿共61页可逆矩阵可逆矩阵31第31页，本讲稿共61页32第32页，本讲稿共61页33第33页，本讲稿共61页正交矩阵正交矩阵34第34页，本讲稿共61页 例例 求求 a,b 的值与正交矩阵的值与正交矩阵 C,使使 解解35第35页，本讲稿共61页36第36页，本讲稿共61页37第37页，本讲稿共61页例例 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的任何一行元素的和都是的任何一行元素的和都是 a,求求 A 的一个特征值与特征向量的

5、一个特征值与特征向量.解解38第38页，本讲稿共61页39第39页，本讲稿共61页例例 解解法法1其余特征值为其余特征值为40第40页，本讲稿共61页法法241第41页，本讲稿共61页例例 设设 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A 的特征值是的特征值是 1,2,3,A 对应于特征值对应于特征值 1,2 的特征向量分别是的特征向量分别是：解解42第42页，本讲稿共61页A 的特征值是的特征值是 1,2,3,43第43页，本讲稿共61页解解解解44第44页，本讲稿共61页45第45页，本讲稿共61页小小 结结1.实对称实对称矩阵的性质矩阵的性质(一定能对角化一定能对角化)2.利用正交矩阵将实对称阵利

6、用正交矩阵将实对称阵化为对角阵化为对角阵的的步骤步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量正交化；量正交化；(4)最后单位化最后单位化46第46页，本讲稿共61页作业作业 P206 1 P206 1，2 2，5 547第47页，本讲稿共61页例例 解解48第48页，本讲稿共61页49第49页，本讲稿共61页50第50页，本讲稿共61页51第51页，本讲稿共61页解解 对下列各实对称矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵分别求出正交矩阵P，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值52第52页，本讲稿共61页解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系53第53页，本讲稿共61页解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化54第54页，本讲稿共61页55第55页，本讲稿共61页56第56页，本讲稿共61页57第57页，本讲稿共61页于是得于是得正交阵正交阵58第58页，本讲稿共61页例例 设设 A 是是 3 阶矩阵阶矩阵,A的特征值是的特征值是 1,2,3,解解59第59页，本讲稿共61页例例 设矩阵设矩阵解解60第60页，本讲稿共61页61第61页，本讲稿共61页