实对称矩阵的相似对角化.ppt

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1、3 3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 一一. . 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A A=(aij )称 A A为A A的共轭矩阵. 显然, A A为实矩阵时,A A=A A. 共轭矩阵具有下列性质:(1);_A+B = A+B_(2),A =A 其中是常数;(3);_AB = AB(4);TT_A= A 定理定理6.7 6.7 实对称矩阵的特征值都是实数. 证证 设为实对称矩阵A A的特征值, 是属于的特征向量, 则有由于AT=A,A=A, 故有,TTT A = ()TTT

2、A = A_T(A) T 于是有()0T 由于 0 0, 所以 T 0, 因此, 即是实数. 显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量. 定理定理6.8 6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的. 证证 设1, 2是实对称矩阵A A的特征值, 1, 2分别是属于它们的特征向量, 则有而且由于12, 所以 2 2T 1=0, 即 1, 2正交.111TT22 A = 11TTT22 A = A 21()T= A221T= 于是1221()0T = 二二. . 实对称矩阵正交相似于对角矩阵实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理定理6.9 6.9 设A A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵

3、QQ, 使得QQ-1 -1AQAQ=QQT TAQAQ为对角矩阵. 证证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立.于是有再取 2, 3, n 使 1, 2, n为Rn的一组规范正交基.取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量 1, (取 1为单位向量). A A( 1, 2, n )=(1 1, A A 2, A A n) =( 1, 2, n )1C0B100B 记QQ1=( 1, 2, n) , 则QQ1 1为正交矩阵, 且有B B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得取n阶正交矩阵100B Q Q1 1-1 -1AQAQ1 1=23n-1

4、P BP120Q0P则有即, QQ2 2-1 -1 QQ1 1-1 -1AQAQ1 1QQ2 2=Q=Q2 2T T QQ1 1T TAQAQ1 1QQ2 2为对角矩阵.只要取Q=QQ=Q1 1QQ2 2是正交矩阵, 定理结论成立.121nT220QQ0B 推论 设0是实对称矩阵A的k重特征值, 则属于0的线性无关的特征向量恰有k个, 也即R(0E-A)=n-k. 三三. . 实对称矩阵正交相似对角化的方法实对称矩阵正交相似对角化的方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下: (1) 求出A的全部特征值; (2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无关的特征向量. (5) 写

5、出对角矩阵. (3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化. (4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵.例例6 6 设124214447A求一个正交矩阵QQ, 使QQ-1AQAQ为对角矩阵. 解解 先求A的所有特征值124214447 得特征值1=2=-1, 3=11.114214407 det(E-A)308214407 =(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11)对1=2=-1, 由于所以方程组(-E-AE-A)x x=0 0等价于x1+x2+2x3=0, 一基础解系为224-E-A224448 再单位化得: 1=(-1, 1, 0)T, 2=(-2, 0, 1)T,

6、 1 120 000 00 1= 1=(-1, 1, 0)T, 1= 1/| 1 |将其正交化得: 2= 2-( 2T 1/ 1T 1) 1= 2- 1=(-1, -1, 1)T, 11=, 022T, 2= 2/| 2 |111=,333T对3=11, 由于所以方程组(11E-AE-A)x x=0 0的一个基础解系为 3= (1, 1, 2)T, 102411E-A2 104444 所以得正交矩阵: Q=( 1, 2, 3)121210 -0 1-0 00将其单位化得: 3= 3/| 3 |112=,666T1112361112361236=0而且, QTAQ=diag(-1, -1, 11).