2019版高中数学 第2章 数列 2.2.2 第2课时 等差数列前n项和的综合应用学案 新人教B版必修5.doc

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1、1第第 2 2 课时课时 等差数列前等差数列前 n n 项和的综合应用项和的综合应用1.掌握等差数列前n项和的性质及应用.重点2.会求等差数列前n项和的最值.重点、易错点3.能用裂项相消法求和.难点基础初探教材整理 等差数列前n项和的性质阅读教材 P40P41，完成下列问题.1.Sn与an的关系anError!2.等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中，其前n项和为Sn，则an中连续的n项和构成的数列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，构成等差数列.(2)数列an是等差数列Snan2bn(a，b为常数).3.等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或

2、 0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a10，d0，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d1)，可知，当n1 时，anSnSn1n2n(n1)2 (n1)2n ，1 21 21 2当n1 时，a1S112 1 ，1 23 2也满足式.数列an的通项公式为an2n .1 2由此可知：数列an是以 为首项，以 2 为公差的等差数列.3 21.已知前n项和Sn求通项an，先由n1 时，a1S1求得a1，再由n2 时，anSnSn1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.2.由数列的前n项和Sn求an的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列.再练一题1.已知

3、下面各数列an的前n项和Sn的公式，求an的通项公式.(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2.【解】 (1)当n1 时，a1S1212311；当n2 时，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，则anSnSn1(2n23n)(2n27n5)2n23n2n27n54n5.此时若n1，an4n54151a1，故an4n5.(2)当n1 时，a1S13121；当n2 时，Sn13n12，则anSnSn1(3n2)(3n12)3n3n133n13n123n1.此时若n1，an23n123112a1，故anError!4等差数列前n项和的性质应用(1)在等差数列an中，若S41，S84，则a17a18

4、a19a20的值为( ) 【导学号：18082028】A.9B.12C.16D.17(2)等差数列an共有 2n1 项，所有的奇数项之和为 132，所有的偶数项之和为120，则n等于_.【精彩点拨】 (1)解决本题关键是能发现S4，S8S4，S12S8，S16S12，a17a18a19a20能构成等差数列.(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解.【自主解答】 (1)法一：由题意知：S41，S8S43，而S4，S8S4，S12S8，S16S12，S20S16成等差数列.即 1,3,5,7,9，a17a18a19a20S20S169.法二：S4a1a2a3a41，S8S4a5

5、a6a7a83，由得 44d2，即 8d1，a17a18a19a20(a5a6a7a8)412d348d369.法三：Error!即Error!得d ，1 8a17a18a19a204a174 3d 244(a173 2d)(a13 2d16d)464d189.(a13 2d)(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有 2n1 项，所以S奇S偶an1，即S2n1 2n1132120，解得n10.132120 2n1法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a1，公差为d.依题意可列方程组Error!即Error!5所以，即n10.n1 n132 120【答案】 (1)A (2)10若数列an为等差

6、数列，公差为d，其前n项和为Sn.(1)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成公差为k2d的等差数列.(2)若项数为 2n项，则Snn(anan1)，S偶S奇nd，S偶S奇an1an；若项数为 2n1 项，则S2n1(2n1)a2n1，S偶S奇an1，S偶S奇nn1.再练一题2.(1)等差数列an中，a2a7a1224，则S13_.(2)等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前 10 项和Sn n为_. 【导学号：18082029】【解析】 (1)由a2a7a1224，得a78.所以S1313a713104.a1a13 2(2)因为an2n1，所以a13.所以Snn22n

7、，所以n2，n32n1 2Sn n所以是公差为 1，首项为 3 的等差数列，Sn n所以前 10 项和为 310175.10 9 2【答案】 (1)104 (2)75探究共研型等差数列前n项和Sn的函数特征探究 1 将首项为a12，公差d3 的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？【提示】 首项为 2，公差为 3 的等差数列的前n项和为Sn2nn2n，nn1 3 23 21 2显然Sn是关于n的二次型函数.6如果一个数列的前n项和为Sn3n2n，那么当n1 时，S1a14.当

8、n2 时，anSnSn16n2，则该数列的通项公式为an6n2，所以该数列为等差数列.一般地，等差数列的前n项和公式Snna1dn2n，若令nn1 2d 2(a1d 2)A ，Ba1 ，则上式可写成SnAn2Bn(A，B可以为 0).d 2d 2探究 2 已知一个数列an的前n项和为Snn25n，试画出Sn关于n的函数图象.你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？【提示】 Snn25n，它的图象是分布在函数yx25x的图象上的(n5 2)225 4离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前n项为负数.由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n2 或 3 时，

9、Sn最小，最小值为6，即数列an前2 项或前 3 项和最小.数列an的前n项和Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.【精彩点拨】 (1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项.(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解.(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.【自主解答】 (1)法一：当n2 时，anSnSn1342n，又当n1 时，a1S1323421 满足an342n.故an的通项公式为an342

10、n.法二：由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知Error!7解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：令an0，得 342n0，所以n17，故数列an的前 17 项大于或等于零.又a170，故数列an的前 16 项或前 17 项的和最大.法二：由yx233x的对称轴为x.33 2距离最近的整数为 16,17.由Snn233n的33 2图象可知：当n17 时，an0，当n18 时，an，53 3从第 18 项开始为负.(2)|an|533n|Error!当n17 时，Snn2n；3 2103 2当n17 时，Sn|a1|a2|a3|

11、an|a1a2a17(a18a19an)，Sn2S17(3 2n2103 2n)n2n884，3 2103 2SnError!1.设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和.若S10S11，则a1( )A.18 B.20 C.22 D.24【解析】 由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.【答案】 B2.已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为( )A.5 B.4 C.3 D.2【解析】 由题意得S偶S奇5d15，d3.或由解方程组Error!求得d3，故选 C.9【答案】 C3.已知数列an的前n项和Sn

12、n21，则an_.【解析】 当n1 时，a1S12，当n2 时，anSnSn1(n21)(n1)212n1，又因为n1 时an2n11a1，所以anError!【答案】 Error!4.数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值为_. 【导学号：18082030】【解析】 等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn，1.【答案】 15.已知数列an的前n项和公式为Sn2n230n.(1)求数列 an的通项公式；(2)若bnanan1，求数列bn的前n项和Tn.【解】 (1)Sn2n230n，当n1 时，a1S128.当n2 时，anSnSn1(2n230n)2(n1)230(n1)4n32.当n1 时也满足此式，an4n32，nN N.(2)由(1)知bnanan1(4n32)(4n28)8n60，数列bn是以 8 为公差的等差数列，b b1 15252，T Tn nn n4 4n n2 25656n n. .5 52 28 8n n6 60 0 2 2