2019版高中数学 第2章 数列 2.2.2 第1课时 等差数列的前n项和学案 新人教B版必修5.doc

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1、1第第 1 1 课时课时 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.难点,2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.重点,3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.难点、易错点基础初探教材整理 等差数列的前n项和阅读教材 P39第二自然段P39例 1，完成下列问题.1.数列的前n项和的概念一般地，称a1a2an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2an.2.等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Snna1an 2Snna1nn1 2d1.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( )A.13 B

2、.35 C.49 D.63【解析】 a2a6a1a714，S749.7a1a7 2【答案】 C2.等差数列an中，a11，d1，则Sn_.【解析】 因为a11，d1，所以Snn1nn1 222nn2n 2.n2n 2nn1 2【答案】 nn1 23.在等差数列an中，S10120，那么a1a10_.【解析】 由S10120，得a1a1024.10a1a10 2【答案】 244.已知数列an的前n项和Snn22n，则数列an的通项公式an_.【解析】 当n1 时，a1S13.当n2 时，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.因为n1 时，a13，也满足an2n1，所以an2n1.【答

3、案】 2n1小组合作型有关等差数列的前n项和的基本运算已知等差数列an中，(1)a1 ，S420，求S6；1 2(2)a1 ，d ，Sn15，求n及an；3 21 2(3)a11，an512，Sn1 022，求d.【精彩点拨】 利用等差数列求和公式的两种形式求解.【自主解答】 (1)S44a1d4a16d26d20，441 2d3.3故S66a1d6a115d315d48.661 2(2)Snn 15，3 2nn1 2(1 2)整理得n27n600，解得n12 或n5(舍去)，a12 (121)4.3 2(1 2)(3)由Sn1 022，na1an 2n5121 2解得n4.又由ana1(n1

4、)d，即5121(41)d，解得d171.a1，n，d为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二.一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中，应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.再练一题1.已知a610，S55，求a8和S10.【解】 Error!解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.10 9 2等差数列前n项和公式的实际应用某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二

5、道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？【精彩点拨】 因为每隔 20 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工4作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明 24 小时内可完成第二道防线工程.【自主解答】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d .1 325 辆翻斗车完成的工作量为：a1a2

6、a2525242512500，而需(1 3)要完成的工作量为 2420480.500480，在 24 小时内能构筑成第二道防线.1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.再练一题2.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往

7、返所走的路程总和最小，此最小值为_米. 【导学号：18082026】【解析】 假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项，20 为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S920201020202 000(米).9 8 210 9 2【答案】 2 000探究共研型等差数列的前n项和公式推导探究 1 如图 222，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有 9 根.假设在这堆钢管旁边再倒

8、放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？5图 222【提示】 在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a1，a2，a6，则数列an构成一个以a14 为首项，以d1 为公差的等差数列，设此时钢管总数为S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a1a6a2a5a3a4a6a113(根)，此时钢管总数为 2S6(a1a6)613678(根)，原来钢管总数为S6639(根).a1a6 2探究 2 通过探究 1，你能推导出等差数列an的求和公式吗？【提示】 Sna1a2an，把数列an各项顺序倒过来相加得Snanan1a2a1，得 2Sn(a1an)

9、(a2an1)(ana1)n(a1an)，则Sn.a1ann 2探究 3 你能用a1，d，n表示探究 2 中的公式吗？该结果与Sn有什么a1ann 2区别与联系.【提示】 Sna1ann 2a1a1n1dn 2a1n，即Sna1n.nn1d 2nn1d 2该公式是由探究 2 中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n项和，在求解时都可以“知三求一” ，求Sn时，都需知a1，n，不同在于前者还需知an，后者还需知d.(1)已知等差数列an中，若a1 0091，求S2 017；(2)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，求.Sn Tn2n2 n3a5 b5【精彩点拨】 由等差

10、数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解.【自主解答】 (1)法一：a1009a11008d1，S20172017a1d2 017(a11 008d)2017 2016 22017.6法二：a1009，S20172 0172017a10092017.a1a2017 2a1a2017 2(2)法一： .a5 b5a1a9 2 b1b9 2a1a9 2 9b1b9 2 9S9 T92 92 935 3法二：，Sn Tn2n2 n3n2n2 nn3设Sn2n22n，Tnn23n，a5S5S420，b5T5T412， .a5 b520 125 31.若an是等差数列，则Snn

11、na中(a中为a1与an的等差中项).a1an 22.若an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则.an bnS2n1 T2n1再练一题3.在等差数列an中.已知a3a1540，求S17.【解】 法一：a1a17a3a15，S1717 a1a17 217 a3a15 2340.17 40 2法二：a3a152a116d40，a18d20，S1717a1d17(a18d)1720340.17 16 2法三：a3a152a940，a920，S1717a9340.1.等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于( )A.8 B.10 C.12 D.14【解析】 由题意知a

12、12，由S33a1d12，解得d2，所以3 2 2a6a15d25212，故选 C.【答案】 C72.设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5( )A.5 B.7 C.9 D.11【解析】 法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选 A.5a1a5 2法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选 A.5 4 2【答案】 A3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.【解析】 S1919a10190.19a1a19 2192a10 2【答案】 1904.记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d_. 【导学号：18082027】【解析】 法一：由Error!解得d3.法二：由S4S2a3a4a12da22dS24d，20444d，解得d3.【答案】 35.设Sn是等差数列an的前n项和，若S33，S624，求a9.【解】 设等差数列的公差为d，则S33a1d3a13d3，即a1d1，3 2 2S66a1d6a115d24，6 5 2即 2a15d8.由Error!解得Error!故 a9a18d18215.