2019版高中数学 第2章 数列 2.3.2 第1课时 等比数列的前n项和学案 新人教B版必修5.doc

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1、1第第 1 1 课时课时 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.重点2.会用错位相减法求数列的和.难点3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.基础初探教材整理 等比数列的前n项和阅读教材 P48P50，完成下列问题.等比数列的前n项和公式1.设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前 7 项的和为_.【解析】 a5a1q4，q2.q0，q2，S7127.a11q7 1q271 21【答案】 1272.在等比数列an中，a12，S326，则公比q_.【解析】 S326，q2q120，q3 或4.a11q3 1q21q

2、3 1q2【答案】 3 或43.等比数列an中，公比q2，S544，则a1_.【解析】 由S544，a1125 12得a14.【答案】 44.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.S5 S2【解析】 由 8a2a50，得8，即q38，a5 a2所以q2.11.S5 S2a1125 12 a1122 12125 122【答案答案】 11小组合作型等比数列的前n项和公式的基本运算在等比数列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若a3 ，S3 ，求a1和公比q.3 29 2【精彩点拨】 利用等比数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量.【自主解答】

3、(1)法一：由Sn，ana1qn1以及已知条件得Error!a11qn 1qa12n192，2n.192 a1189a1(2n1)a1，(192 a11)a13.3又2n132，n6.96 3法二：由公式Sn及条件得a1anq 1q189，解得a13，a196 2 12又由ana1qn1，得 9632n1，解得n6.(2)当q1 时，S3 ，a11q3 1q9 2又a3a1q2 ，3 2a1(1qq2) ，9 2即(1qq2) ，3 2 q29 2解得q (q1 舍去)，a16.1 2当q1 时，S33a1，a1 .3 2综上得Error!或Error!1.在等比数列 an的五个量a1，q，a

4、n，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1 或q1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.再练一题1.在等比数列an中，(1)若q2，S41，求S8; 【导学号：18082035】(2)若a1a310，a4a6 ，求a4和S5.5 4【解】 (1)法一：设首项为a1，q2，S41，1，即a1，a1124 121 154S817.a11q8 1q1 15128 12法二：S41，且q2，a11q4 1qS8(1q4)S4(1q4)1(124)17.a11q8 1qa11

5、q4 1q(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得Error!即Error!a10,1q20，得，q3 ，即q ，1 81 2a18.a4a1q381，(1 2)3S5.a11q5 1q8 1(1 2)511231 2等比数列前n项和公式的实际应用借贷 10 000 元，以月利率为 1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)【精彩点拨】 解决等额还贷问题关键要明白以下两点(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其

6、中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少.【自主解答】 法一：设每个月还贷a元，第 1 个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.5由题意，可知a60，即 1.016a011.011.015a0，a.1.016 102 1.01611.0161.061，a1 739.1.061 102 1.0611故每月应支付 1 739

7、 元.法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元).另一方面，设每个月还贷a元，分 6 个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa10.0161 1.011a1.0161102(元).由S1S2，得a.1.016 102 1.0161以下解法同法一，得a1 739，故每月应支付 1 739 元.解数列应用题的具体方法步骤：1认真审题，准确理解题意，达到如下要求,明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还

8、是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少.,弄清题目中主要的已知事项.2抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达3将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.再练一题2.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿区计划从2014 年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%.(1)以 2014 年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2014 年最多出口多少吨？(保留一位小数

9、.参考数据：0.9100.35.)【解】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比6q110%0.9，ana0.9n1(n1).(2)10 年的出口总量S1010a(10.910).a10.910 10.9S1080，10a(10.910)80，即a ，8 10.910a12.3，故 2014 年最多出口 12.3 吨.探究共研型错位相减法求和探究 1 由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？【提示】 由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列.该数列的前n项和

10、Sn的表达式为Sn121222323n2n.探究 2 在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？【提示】 在等式Sn121222323n2n两边同乘以2n的公比可变形为2Sn122223324(n1)2nn2n1得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题.我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法.已知数列an的前n项和Sn3n28n，b

11、n是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.an1n1 bn2n【精彩点拨】 (1)利用Sn与an的关系求出an，再利用待定系数法求出bn.(2)先化简cn，再利用错位相减法求和.【自主解答】 (1)由题意知，当n2 时，anSnSn16n5，当n1 时，a1S111，满足上式，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由Error!即Error!7可解得Error!所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1，6n6n1 3n3n又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得

12、Tn322223242n1(n1)2n234412n 12n1 2n23n2n2，所以Tn3n2n2.错位相减法的适用范围及注意事项：1适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.2注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出1qSn的表达式.利用此法时要注意讨论公比q是否等于 1 的情况.再练一题3. _.1 21 23 8n 2n【解析】 令Sn ，1 22 43 8n 2n则Sn ，1 21 42 83 16n1 2nn 2n1由得，Sn 1 21 21 41 81 2nn 2n1，1 21(1

13、 2) n112n 2n1得Sn2.2 2nn 2n2n1n2 2n8【答案】 2n1n2 2n1.数列 2n1的前 99 项和为( )A.21001B.12100C.2991D.1299【解析】 数列2n1为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其前 99 项和为S992991.1299 12【答案】 C2.等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于( ) 【导学号：18082036】A.2B.1 2C.4D.1 4【解析】 a33S22，a43S32，等式两边分别相减得，a4a33a3即a44a3，q4.【答案】 C 3.已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.【解

14、析】 q2，n5，Sn62，62，a11qn 1q即62，a1125 12a12.【答案】 24.设等比数列an的前n项和为Sn，若S33a3，则公比q_.【解析】 S3a1a2a33a3，a1a22a3，a10，1q2q2，即2q2q10，q 或 1.1 2【答案】 或 11 25.已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足b11，b2 ，anbn1bn1nbn.1 39(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和.【解】 (1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2 ，得a12.1 3所以数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，bn 3因此bn是首项为 1，公比为 的等比数列.1 3记bn的前n项和为Sn，则 Sn .1(13) n1133212 3n1