随机信号分析-1 随机过程(1).ppt

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1、随机信号分析通信工程学院通信工程学院张南张南西安电子科技大学西安电子科技大学2什么是随机信号？信号信号：随时间、空间或其他参量变化的、携带某种信息的物理量随时间、空间或其他参量变化的、携带某种信息的物理量最常见的是随时间变化的信号。最常见的是随时间变化的信号。光信号声信号电信号确定信号确定信号：随时间做有规律的、已知的变化的信号随时间做有规律的、已知的变化的信号方波正弦波锯齿波3什么是随机信号？确定信号的特征1)1)相同条件下重复多次进行测量波形相同；相同条件下重复多次进行测量波形相同；2)2)可用一个或几个确定时间函数进行描述；可用一个或几个确定时间函数进行描述；确定性体现事物的必然规律，是

2、由事物的基本因素决定的确定性体现事物的必然规律，是由事物的基本因素决定的随机性体现事物的统计规律，是由事物的次要因素决定的随机性体现事物的统计规律，是由事物的次要因素决定的抛硬币发炮弹4什么是随机信号？随机信号随机信号：随时间做有无规律的、未知的、随机变化的信号随时间做有无规律的、未知的、随机变化的信号随机信号的特征1)1)相同条件下重复多次进行测量所得波形不同；相同条件下重复多次进行测量所得波形不同；2)2)不能用一个或几个确定的时间函数进行描述；不能用一个或几个确定的时间函数进行描述；5如何分析随机信号？随机信号是否就无法捉摸、无法分析？随机信号是否就无法捉摸、无法分析？随机信号的统计规律

3、是确定的，可以采用统计学方法建立随随机信号的统计规律是确定的，可以采用统计学方法建立随机信号的数学模型机信号的数学模型随机过程随机过程因此，本课程以因此，本课程以随机过程随机过程的学习作为教与学的起点和重点，的学习作为教与学的起点和重点，所获得的理论和方法可广泛应用于各种随机信号的分析中所获得的理论和方法可广泛应用于各种随机信号的分析中6学习随机信号分析的意义自然界将遇到大量的随机信号衰落信道脑电波电阻热噪声股价走势7学习随机信号分析的意义而在通信工程领域，随机信号分析必不可少而在通信工程领域，随机信号分析必不可少摩尔斯电码摩尔斯电码可看做一种可看做一种信源编码信源编码方法，需依据信源的方法，

4、需依据信源的统计特性统计特性，越频繁出，越频繁出现的字母，编码越简单，发送越迅速现的字母，编码越简单，发送越迅速摩尔斯(1791-1872)摩尔斯码的字母编码8学习随机信号分析的意义理想信道的信道容量理想信道的信道容量在发送接收过程中，信号仅受到加性高斯白噪声在发送接收过程中，信号仅受到加性高斯白噪声(典型的随机典型的随机信号信号)的影响，在此条件下，能实现无差错传输的最高的信息的影响，在此条件下，能实现无差错传输的最高的信息速率是多少？速率是多少？香农公式：香农(1916-2001)随机的白噪声信号9进入课程第一章第一章 随机过程随机过程随机过程是随机信号的数学模型。对随机过程的研究是进行随

5、机过程是随机信号的数学模型。对随机过程的研究是进行随机信号分析的基础。随机信号分析的基础。本章本章 首先首先讲解随机过程的基本概念及其统计特性，讲解随机过程的基本概念及其统计特性，接着接着探讨非常重要的一类随机过程探讨非常重要的一类随机过程平稳随机过程；平稳随机过程；最后最后介绍几种重要的随机过程介绍几种重要的随机过程说明说明 本课程所考查随机过程都是本课程所考查随机过程都是随时间变化随时间变化的的 随其他参量变化的随机过程分析方法类似随其他参量变化的随机过程分析方法类似101.1 随机过程的基本概念及统计特性随机过程的基本概念及统计特性11随机过程的基本概念及统计特性噪声电压采样实验噪声电压

6、采样实验相同条件下对接收机噪声电压的多次观测结果相同条件下对接收机噪声电压的多次观测结果0tsti样本空间样本空间给定时刻采样值是随机变量12随机过程的定义随机过程的随机过程的第一种定义第一种定义设随机实验的样本空间，如果对于每个样本有一个以t为参数的函数，都与之对应，则对应于所有的得到一族函数，这个以t为参数的函数族称为随机过程随机过程，简记为或者。族中每个函数称为该随机过程的一个样本样本，是随机过程的一次试验的物理实现，是一个确知确知的时间函数.定义定义 1 113随机过程的定义随机过程的随机过程的第二种定义第二种定义若对于每个任意给定的时间ti(i=1,2,),都是一个随机变量，则称为随

7、机过程。两种定义的各自特点和适用场合两种定义的各自特点和适用场合定义定义1主要体现：主要体现：随机信号样本是一个时间函数；随机信号样本是一个时间函数；定义定义2主要体现：主要体现：任意时刻取值是一个随机变量；任意时刻取值是一个随机变量；对随机过程进行对随机过程进行实际观测实际观测时适合使用定义时适合使用定义1；对随机过程进行对随机过程进行理论分析理论分析时适合使用定义时适合使用定义2；定义定义 2 214随机过程的定义对随机过程对随机过程(随机变量随机变量)的理解的理解两个与随机过程两个与随机过程X X(,t)相关的参数：相关的参数：和和 t当：当：和和 t都是变量都是变量时时X X(,t)是

8、是随机过程随机过程 固定固定，t为为变量时变量时 X X(,t)是随机过程的是随机过程的一个样本一个样本t固定固定，为变量时为变量时X X(,t)是一个是一个随机变量随机变量 和和 t都固定时都固定时X X(,t)是一个是一个确定值确定值15随机过程的定义随机过程判断举例随机过程判断举例例例1.11.1 随机初相正弦波随机初相正弦波X X(t t)=)=A A cos(cos(0 0t t+)，A A和和 0 0是正常数，是正常数，服从服从0,20,2 上的均匀分布。判断其是否为随机过程上的均匀分布。判断其是否为随机过程.从定义1的角度考虑：是随机变量，每次观测其取值是随机的，从而得到不同的样

9、本函数，且该函数是时间函数；从定义2的角度考虑，固定t时，X(t)是随机变量的函数，也是一个随机变量；因此X(t)是随机过程16随机过程的分类当 和 t 固定时，X(,t)是一定值，表示随机过程在t时刻的状态。X(,t)的所有能状态构成的集合称为状态空间或者相空间，记为G。随机过程的相空间随机过程的相空间相空间G可能是一个连续集，也可能是离散集；同样，时间参数集T可能是离散集，也可能是连续集，经组合可对应出4种不同情况，可将随机过程分为4类连续型随机过程连续型随机过程 离散型随机过程离散型随机过程连续型随机序列连续型随机序列 离散型随机序列离散型随机序列17随机过程的分类G的类型T的类型连续集

10、离散集连续型随机过程连续型随机序列离散型随机过程离散型随机序列连续集离散集随机过程按照随机过程按照G G和和T T的不同情况分类的不同情况分类18随机过程的分类按照随机过程样本函数的形式分类按照随机过程样本函数的形式分类任意样本函数是否可根据历史观测值准确预测？是 确定随机过程否 不确定随机过程按照随机过程的概率结构和特性分类按照随机过程的概率结构和特性分类按分布函数/概率密度特性：马尔可夫，正态，瑞利等；按遍历性特性：遍历，非遍历；按平稳性特性：平稳，非平稳；按其功率谱密度特性：宽带，窄带，白色，非白色19随机过程的概率分布根据根据定义定义2 2，对随机过程采样，可得对随机过程采样，可得多维

11、随机变量。多维随机变量。在满足在满足一定采样间隔要求下，一定采样间隔要求下，随机过程的统计特性可由该多维随机随机过程的统计特性可由该多维随机变量的统计特性反映；变量的统计特性反映；因此可将概率论中因此可将概率论中对随机变量对随机变量的概率的概率统计特性的研究方法推广到统计特性的研究方法推广到随机过程随机过程的研究中的研究中。随机过程的随机过程的一维概率分布一维概率分布 定义定义3 3设X(t),t T 是随机过程，对任意固定t1T 和实数x1 R，称Fx(x1;t1)=P X(t1)x1 为该过程的一维分布函数；若Fx(x1;t1)对x1的一阶偏导存在，则称为该过程的一维概率密度函数.20随机

12、过程的概率分布例例1.21.2 随机过程随机过程X(t)=X cost，是常数，是常数，X X 服从标准正态分服从标准正态分布。求其一维概率密度布。求其一维概率密度.对给定时刻对给定时刻t1，正态分布随机变量，正态分布随机变量X乘以常数乘以常数coscost1，所得，所得X coscost1亦为正态分布随即变量亦为正态分布随即变量；注意此处注意此处要求要求coscost1 0仅描述孤立时刻状态(单个随机变量)的统计特性，无法描述随机过程不同时刻状态间的联系；描述任意两个时刻t1，t2状态X(t1)和X(t2)间的联系，需用二维分布函数和二维概率密度函数；21随机过程的概率分布随机过程的随机过程

13、的二维概率分布二维概率分布 定义定义4 4设X(t),t T 是随机过程，对任意固定t1,t2 T 和实数x1,x2 R，称Fx(x1,x2;t1,t2)=P X(t1)x1,X(t2)x2 为该过程的二维分布函数；若Fx(x1,x2;t1,t2)对x1,x2的二阶混合偏导存在，则称为该过程的二维概率密度函数.为描述两个以上任意时刻状态之间的关系，需引入n维概率密度函数22随机过程的概率分布随机过程的随机过程的n维概率分布维概率分布 定义定义5设X(t),t T 是随机过程，对任意固定t1,t2,tn T 和实数x1,x2,xn R，称Fx(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=P X(t1)

14、x1,X(t2)x2,X(tn)xn 为该过程的n维分布函数；若Fx(x1,x2,xn;t1,t2,tn)对x1,x2,xn的n阶混合偏导存在，则称为该过程的n维概率密度函数.23随机过程的概率分布n维分布函数(n维概率密度函数)能近似描述随机过程的统计特性，n越大，描述的完善程度越高；所有n1维概率密度函数的集合称为有限维概率密度函数族；前苏联数学家证明，有限维分布函数族或者有限维概率密度函数可完全确定随机过程的全部统计特性所有n1维分布函数的集合称为有限维分布函数族；24随机过程的概率分布例例1.31.3 随机过程随机过程X(t)=A+Bt，0atb，A和和B是相互独立的正态是相互独立的正

15、态分布随机变量，求该过程的分布随机变量，求该过程的n维概率密度函数维概率密度函数.相互独立正态分布随机变量的线性组合亦为正态分布随机变相互独立正态分布随机变量的线性组合亦为正态分布随机变量；该过程的量；该过程的n维概率密度函数就是维概率密度函数就是n维正态随机变量维正态随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)的联合概率密度函数的联合概率密度函数，该函数可由二阶统计量，该函数可由二阶统计量(n维随机变量的维随机变量的协方差矩阵协方差矩阵)完全确定完全确定C是是协方差矩阵协方差矩阵，X=(x1,x2,xn）25随机过程的数字特征有限维概率密度函数族可完全确定随机过程的全部统计特性，但有时得到该

16、函数族相当困难，甚至不可能幸运的是，很多时候只需要掌握随机过程的几个统计值即可；这些统计值即为随机过程的数字特征，有数学期望、均方值、方差、相关函数等。数字特征既能描述随机过程的重要特性，又便于实际测量；对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。26随机过程的数字特征随机过程的随机过程的数学期望数学期望 定义定义6随机过程X(t),tT的数学期望表示为：设随机过程X(t),tT的一维概率密度函数为 fX(x;t)数学期望是随机过程所有样本函数在t时刻取值的平均，该平均被称为统计平均或者集合平均；直观上，mX(t）表示随机过程X(t)的波动中心27随机过程

17、的数字特征随机过程的随机过程的均方值均方值 定义定义7随机过程X(t),tT的二阶原点距称为随机过程的均方值函数，简称均方值.随机过程的随机过程的方差方差 定义定义8随机过程X(t),tT的二阶中心距称为随机过程的方差函数，简称方差.28随机过程的数字特征随机过程的随机过程的标准差标准差 定义定义7方差的平方根称为随机过程的标准差、方差根或者均方差.方差和标准差描述了随机过程X(t)的所有样本函数在t时刻取值相对于其的波动中心mX(t)的偏离程度；当X(t)表征的是接收机输出端的噪声电压时，则：均方值表征消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值；方差表征消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值.2

18、9随机过程的数字特征随机过程不同时刻状态之间的相关关系随机过程不同时刻状态之间的相关关系均值、方差等数字特征表征了随机过程在单个时刻的统计特性，但无法表征其在不同时刻状态间的相关关系.如下图需要引入能表征随机过程不同时刻状态相关程度的数字特征：自相关函数与自协方差函数30随机过程的数字特征随机过程的随机过程的自相关函数自相关函数 定义定义1010设X(t),tT为随机过程，对任意固定的t1,t2 T，随机变量X(t1)和X(t2)的混合原点距称为该随机过程的自相关函数，简称相关函数.其描述了任意两不同时刻状态间的相关程度。当t1=t2=t时自相关函数等于其均方值，因此均方值是自相关函数的特例3

19、1随机过程的数字特征随机过程的随机过程的自协方差函数自协方差函数 定义定义1111设X(t),tT为随机过程，对任意固定的t1,t2 T，随机变量X(t1)和X(t2)的混合中心距称为该随机过程的自协方差函数，简称协方差函数.其描述了任意两不同时刻状态起伏值之间的相关程度.当t1=t2=t时此时的协方差等于方差32随机过程的数字特征协方差函数和相关函数的关系协方差函数和相关函数的关系概括地说，协方差函数等于相关函数减去数学期望的乘积有了均值mX(t)和相关函数RX(t1,t2)，协方差KX(t1,t2)和方差都可由 他们确定，因此均值和相关函数是随机过程最基本的两个数字特征。33随机过程的数字

20、特征例例1.41.4 设设g g(t t)是周期为是周期为L L的矩形波，的矩形波，Y Y是两点分布随机变量，其是两点分布随机变量，其概率分布如下表所示，令概率分布如下表所示，令X X(t t)=)=Y Y g g(t t),),t tT T=(0,)=(0,)，则，则X X(t t)是具是具有随机振幅、周期为有随机振幅、周期为L L的矩形波过程，求其数字特征的矩形波过程，求其数字特征Y1-1PY1/21/234随机过程的数字特征例例1.5 1.5 随机相位正弦波随机相位正弦波X X(t t)=)=a cos(t+)，a0,是常数，是常数，服服从从0,20,2 上的均匀分布上的均匀分布,求该随

21、机过程的求该随机过程的mX(t)、RX(t1,t2)和一和一维概率密度函数维概率密度函数fX(x,t)思路：思路：1 导致随机特性的量是导致随机特性的量是，所以首先确定其概率密度函数；，所以首先确定其概率密度函数；2 根据其概率函数，可方便求得根据其概率函数，可方便求得mX(t)和和RX(t1,t2)3 求解随机变量的一维求解随机变量的一维 概率密度函数概率密度函数按照按照随机变量函数的概率密度函数随机变量函数的概率密度函数的求解规则求解；的求解规则求解；求解时注意随机变量函数的求解时注意随机变量函数的非单调非单调特性特性.351.2 时间连续随机过程的微分和积分时间连续随机过程的微分和积分3

22、6时间连续随机过程的微分和积分随机过程的随机过程的连续性连续性 定义定义12根据定义1，随机过程是t为参数的函数族，如同普通函数一样，连续性是可导(可微)的前提，因此考虑随机过程的微分和积分，首先需考虑随机过程的连续性.如果随机过程X(t)在t0时满足E(X(t+t)-X(t)2 0,则称该随机变量在t时刻在均方意义下连续，简称m.s连续.E(X(t+t)-X(t)2 =RX(t+t,t+t)-RX(t,t+t)-RX(t+t,t)+RX(t,t)可见，若RX(t1,t2)在t1=t2=t 点处连续，则X(t)必在t 点处连续若RX(t1,t2)沿着t1=t2线处处连续，则 X(t)对每个t都

23、是连续的37时间连续随机过程的微分和积分如果随机变量X(t)是连续的，则其数学期望也必定连续，即证明：设由于因此左边随t0而趋近于0，此时有该结果可写作：可见，求极限和求数学期望可以互换次序求极限和求数学期望可以互换次序38随机过程的微分及其数字特征随机过程的随机过程的微分微分(导数导数)定义定义1313随机过程X(t)的导数可定义为一个极限若该极限式在m.s意义下存在，则称X(t)具有均方意义的导数随机过程的随机过程的微分微分(导数导数)定义定义1414如果能找到另一个过程满足则称X(t)在t时刻具有均方导数39随机过程的微分及其数字特征使用使用柯西准则柯西准则判断随机过程导数是否存在判断随

24、机过程导数是否存在若下式成立，则表明导数存在由于40随机过程的微分及其数字特征若偏导数存在，则即柯西准则成立，随机过程的导数过程存在。可见，随机过程在均方意义下有导数的充分条件是相关函数在其自变量相等时，二阶偏导数存在，即存在注：随机过程有导数，则该过程必连续，反之不成立41随机过程的微分及其数字特征随机过程导数的随机过程导数的数学期望数学期望设Y(t)=则Y(t)的数学期望为：可见，随机过程导数的数学期望导数的数学期望等于等于过程过程数学期望的导数，即数学期望的导数，即注：导数运算和数学期望运算次序可交换注：导数运算和数学期望运算次序可交换42随机过程的微分及其数字特征随机过程导数的随机过程

25、导数的相关函数相关函数X(t)和Y(t)的互相关函数为：Y(t)和X(t)的互相关函数为：43随机过程的微分及其数字特征Y(t)的自相关函数为：而于是：随机过程随机过程导数的相关函数导数的相关函数等于该随机过程等于该随机过程相关函数的混合相关函数的混合偏导数偏导数44随机过程的微分及其数字特征例例1.6 数学期望为数学期望为mx(t)=5sint、相关函数、相关函数为为的随机信号的随机信号X(t)输入微分电路，求其输出信号输入微分电路，求其输出信号Y(t)的均值和的均值和相关函数相关函数.1）导数的数学期望等于数学期望的导数导数的数学期望等于数学期望的导数，因此，因此2）导数的相关函数等于相关

26、函数的二阶混合偏导数导数的相关函数等于相关函数的二阶混合偏导数，因此，因此45随机过程的积分及其数字特征随机过程的积分随机过程的积分定义定义1515对于给定实随机过程X(t)，若在确定区间a,b上每一个样本函数的下列积分都存在，即则称Y为随机过程X(t)的积分。随机过程的积分随机过程的积分定义定义1616对实随机过程X(t)，若满足其中是a,b上的任一划分，则称为X(t)在a,b上的均方积分。46随机过程的积分及其数字特征随机过程的带随机过程的带“权函数的权函数的”积分积分 定义定义1717对于给定实随机过程X(t)和普通函数h(,t),在确定区间a,b上的积分为X(t)在区间a,b上的加权积

27、分加权积分。随机过程的变上限积分随机过程的变上限积分 定义定义1818对于给定实随机过程X(t)，有为X(t)在区间a,b上的变上限积分变上限积分。47随机过程的积分及其数字特征随机过程积分的数学期望随机过程积分的数学期望随机过程积分的数学期望为：随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分；即积分运算和数学期望运算的次序可交换对随机过程X(t)的加权积分和变上限积分来说，其数学期望等于原始随机过程X(t)的数学期望mx(t)的加权积分和变上限积分48随机过程的积分及其数字特征随机过程积分随机过程积分均方值均方值随机过程积分随机过程积分的方差的方差随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数

28、的二重积分随机过程积分的方差等于随机过程协方差函数的二重积分49随机过程的积分及其数字特征随机过程随机过程加权积分的相关函数加权积分的相关函数随机过程随机过程变上限积分的相关函数变上限积分的相关函数对随机过程X(t)的变上限积分的相关函数等于X(t)的相关函数的二重变上限积分50随机过程的积分及其数字特征例例1.7 随机过程随机过程X(t)=Ve3tcos2t，其中，其中V是均值为是均值为5方差为方差为1的随的随机变量。设新的随机过程机变量。设新的随机过程，求其数字特征，求其数字特征51随机过程的积分及其数字特征521.3 平稳随机过程和遍历性过程平稳随机过程和遍历性过程53平稳随机过程一类非

29、常重要的随机过程，在通信、天文学、生物学等诸多方面有非常广泛的应用；其重要特性是，在时间平移下，其概率性质不发生变化；此类过程一方面受随机因素的影响而产生波动，另一方面又具有惯性，而在不同时刻的波动基本保持不变；平稳随机过程可分为严平稳过程和宽平稳过程；54严平稳随机过程及其数字特征如果其n维概率密度(或者n维分布函数)fX(x1,x2,xn;t1,t2,tn)不随时间起点而改变，即对任何n和，X(t)的n维概率密度满足严平稳过程严平稳过程 定义定义1919则称X(t)为严平稳随机过程，或狭义平稳随机过程平稳随机过程判定：主要物理条件55严平稳随机过程及其数字特征严平稳过程的一维概率密度与时间

30、无关严平稳过程的一维概率密度与时间无关n=1，=-t1 可得：于是其均值、方差、均方值都和时间无关：56严平稳随机过程及其数字特征严平稳过程的二维概率密度严平稳过程的二维概率密度与时间起点无关与时间起点无关，只与，只与t1,t2的时时间间隔有关间间隔有关n=2，=t2 t1 可得：当t1=t2=t时，57严平稳随机过程及其数字特征严平稳过程的判定严平稳过程的判定证明其非严平稳过程比较容易，利用严平稳随机过程的性质，找出一个反例即可常用的判断方法：1)若X(t)严平稳，k为任意正整数，则EXk(t)与时间t无关2)若X(t)严平稳，则对任意时刻t0，X(t0)有相同的统计特性58宽平稳随机过程及

31、其数字特征1)一二阶矩在一定程度上有效地描述了随机过程的重要特性，对于实际工程技术而言，这已经足够解决问题；2)实际中遇到的最多的最重要的过程是高斯过程，而该过程的一二阶矩能够完全确定其所有n维概率密度；宽平稳过程更具实际意义宽平稳过程更具实际意义59宽平稳随机过程及其数字特征宽平稳过程宽平稳过程 定义定义2020若随机过程X(t)的均值函数与协方差函数存在且满足则称X(t)为宽平稳过程(广义平稳过程)，简称平稳过程1）2）3）宽平稳过程反映了一个系统处于稳态工作条件下的统计性质宽平稳随机过程 严平稳 宽平稳当随机过程是高斯分布时，宽平稳随机过程必为严平稳的均方值有界不一定61宽平稳随机过程及

32、其数字特征例例1.8 随机过程随机过程X(t)由如下三个样本函数组成，且等概率发生由如下三个样本函数组成，且等概率发生求其均值和相关函数并判断求其均值和相关函数并判断其是否平稳其是否平稳均值与t有关，因此非平稳62宽平稳随机过程及其数字特征例例1.9 随机过程随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中，其中X和和Y是相互独立的二是相互独立的二元随机变量，分别以元随机变量，分别以2/3和和1/3的概率取的概率取-1和和2，试求：，试求：1)Z(t)的均值和自相关函数的均值和自相关函数2)证明证明Z(t)是宽平稳但非严平稳是宽平稳但非严平稳63宽平稳随机过程及其数字特征寻找反例证明该过程非严平

33、稳过程寻找反例证明该过程非严平稳过程高阶原点矩是否和时间t有关？而上式中各项如下：于是：三阶矩与时间有关，因此非严平稳过程64平稳随机过程相关函数性质平稳过程自相关函数的性质：平稳过程自相关函数的性质：1)均方值，是平均功率的统计值2)自相关函数是的偶函数类似地，65平稳随机过程相关函数性质3)自相关函数在=0时具有最大值由于任何正函数的数学期望恒为非负值，于是即于是同理可证66平稳随机过程相关函数性质4)周期函数的自相关函数必为周期过程，其周期与过程的周期相同.5)若平稳过程X(t)包含一周期分量，则RX()也包含一周期分量且周期相同.X(t)=X1(t)+X2(t)67平稳随机过程相关函数

34、性质6)非周期平稳过程X(t)满足：在|的情况下，两者相互独立，因此：平稳随机过程相关函数性质平稳随机过程相关函数性质7)若平稳过程含有平均分量 ,则相关函数也含有平均分量 ,若过程为非周期平稳随机过程，则对于平稳过程有：非周期平稳过程有69平稳随机过程相关函数性质8)平稳过程X(t)的自相关函数对所有 必须满足这一条件限制使自相关函数不能具有任意形状，要求其必须连续(不能出现平顶，垂直边或在幅度上的任何不连续)。70平稳随机过程相关函数性质例例1.101.10 平稳过程平稳过程X X(t t)的自相关函数为的自相关函数为求其均值、均方值和方差求其均值、均方值和方差周期分量 非周期分量因为周期

35、分量的平均分量为0，根据性质7知其均值为0。对于非周期分量，根据性质6可知：故均值为：均方值为：方差为：71平稳随机过程相关函数性质例例1.111.11 判断下列曲线是否为平稳随机过程的正确的自相关函判断下列曲线是否为平稳随机过程的正确的自相关函 数曲线并说明理由数曲线并说明理由72平稳过程的相关系数和相关时间为何需要相关系数为何需要相关系数该值大小与起伏值的强度有关，无法准确描述关联程度的大小。需要对协方差函数进行归一化处理相关系数相关系数相关系数 定义定义212173平稳过程的相关系数和相关时间相关时间相关时间由于两时刻起伏值之间的相关程度随着时间间隔的增大而减弱。当时间间隔大于某个值0，

36、就认为两不同时刻起伏值不相关，该间隔0就称为相关时间.一般有两种定义方式：1相关系数绝对值从1下降到0.05时对应的时间间隔0，2以高为1，底边长为0的矩形面积等于rX()积分面积一半所确定的作为相关时间，即相关时间的大小体现了随机过程随时间变化的剧烈程度74遍历性随机过程随机过程统计特性的获得，需要对大量的样本函数进行统计平均，往往困难。但存在这样一种平稳随机过程，随着观测时间的增大，其样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。即观测时间足够长，某一个样本函数都能遍历随机过程的各种可能状态。这样的随机过程称为遍历性过程，称其具有“各态历经性”或者“遍历性”。使用时间平均代替统计

37、平均，大大减小了处理的复杂度，对于实际工程应用具有重要意义。75遍历性随机过程遍历性过程遍历性过程若平稳随机过程X(t)的各种时间平均(时间足够长)依概率1收敛于对应的集合平均(统计平均)，则称随机过程X(t)为严格(狭义)遍历性过程.时间均值和时间相关函数时间均值和时间相关函数设X(t),-t为均方连续的平稳过程，时间均值时间相关函数76遍历性随机过程均值、自相关函数、均方值遍历性均值、自相关函数、均方值遍历性设X(t),-t为均方连续的平稳过程，若依概率1成立，则称该平稳过程的均值具有遍历性。若依概率1成立，则称该平稳过程的自相关函数具有遍历性。若=0时上式成立，则称该过程的均方值具有遍历

38、性.宽遍历性过程宽遍历性过程若均方连续的平稳过程X(t)的均值和相关函数都具有遍历性，则称其为宽(广义)遍历性过程.遍历性过程必是平稳过程，反之不成立77随机过程均值具备遍历性的条件均值遍历性判别定理均值遍历性判别定理设X(t),-t为均方连续的平稳过程，则其均值具有遍历性的充要条件为：证：而78随机过程均值具备遍历性的条件做变换可得对应的变换的雅可比式为在上述变换下，将正方形积分区域变成菱形区域：79随机过程均值具备遍历性的条件于是，积分变成：在积分区域上先对1积分，再对2积分，则上式变为：又因，所以可将mX写成80随机过程均值具备遍历性的条件结合上页的式子可得于是若X(t)为实平稳过程，则

39、RX()是偶函数，于是X(t)均值遍历的条件变为：81随机过程相关函数具备遍历性的条件相关函数遍历性判别定理相关函数遍历性判别定理设X(t),-t为均方连续的平稳过程，则其相关函数具有遍历性的充要条件为：其中证：对于固定的，记则Y(t)是均方连续的平稳过程，且于是X(t)相关函数的遍历性相当于Y(t)均值的遍历性.只需将Y(t)的均值和相关函数代入定理1的式子中即可，其中82遍历性随机过程例例1.121.12 设随机电报信号过程设随机电报信号过程X X(t t)的均值和自相关函数为的均值和自相关函数为，讨论其均值的遍历性，讨论其均值的遍历性将均值和相关函数代入定理1关于实平稳过程均值遍历性判断

40、条件中可得：可见其均值具有遍历性例例1.131.13 设随机相位过程设随机相位过程X X(t t)=acos()=acos(t+t+),),其中其中a a和和 实常数，实常数，服从服从0,20,2 上的均匀分布，问上的均匀分布，问X X(t t)是否为遍历性过程是否为遍历性过程而83遍历性随机过程而可见所以X(t)为遍历性过程84相关函数测量相关函数测量用大量实验统计的方法求随机过程的相关函数非常困难。对遍历性过程，可使用时间自相关函数代替集合自相关函数：考虑到观测时间的有限性，只能按下列的估计式表示：实际中经常不能给出X(t)的表达式，因此常采用下列两种方法：1.按实验数据确定相关函数把观测

41、时间以间隔为t等分，取用求和代替积分，得近似式85相关函数测量由此估计式可算出自相关函数的一系列近似值,从而得出自相关函数的近似图形。2.连续型相关函数测量仪通过下图电路来测量相关函数86联合平稳随机过程联合平稳随机过程两个随机过程的联合概率分布两个随机过程的联合概率分布对任意m1,n 1,t1,t2,tm T且及实数为m+n维随机矢量的联合分布函数，联合概率密度函数为：87联合平稳随机过程联合平稳随机过程若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化，即与所选取时间的起点无关，则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依两个随机过程的互相关函数两个随机过程的互相关函数两个随机过程的互协方差函数两个随

42、机过程的互协方差函数88两个随机过程的数字特征两个随机过程的数字特征两个随机过程相互独立两个随机过程相互独立则称随机过程X(t)和Y(t)相互独立正交过程正交过程若随机过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1,t2 有：或则称X(t)和Y(t)为正交过程89两个随机过程的数字特征两个随机过程的数字特征不相关过程不相关过程若随机过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻 t1,t2 有：则称X(t)和Y(t)不相关或若两个随机过程相互独立，且他们的二阶矩都存在，则必互不相关。正态过程的不相关与相互独立等价90联合平稳随机过程联合平稳随机过程联合宽平稳联合宽平稳若两个宽平稳随机过程X(t)和Y(t)的

43、互相关函数仅是单变量的函数，即：则称X(t)和Y(t)联合宽平稳或宽平稳相依联合宽平稳随机过程的互相关函数有如下性质：1)证明：同理可证：例：91联合平稳随机过程联合平稳随机过程2)证明：因，即由于上式对任意实数都成立，同理可得：92联合平稳随机过程联合平稳随机过程又因为任何正数的几何平均小于算术平均，所以3)证明：由性质(2)，得同理可得93联合平稳随机过程联合平稳随机过程互相关系数互相关系数为消除起伏值强度对互协方差函数的影响，引入互相关系数：由性质2)知：rXY()1.当rXY()=0时，X(t)和Y(t)不相关联合宽遍历联合宽遍历当两个随机过程X(t)和Y(t)联合宽平稳时，定义时间互

44、相关函数：若依概率1收敛于集合互相关函数 ,则称X(t)和Y(t)联合宽遍历。94联合平稳随机过程联合平稳随机过程例例1.141.14 设两个随机过程设两个随机过程X(t)=acos(t+)和和Y(t)=bcos(t+)，其中其中a,b,为常数，为常数，在在(0,2)内均匀分布，讨论内均匀分布，讨论X(t)和和Y(t)是是否联合遍历否联合遍历解：遍历首先要是平稳的，因此先讨论X(t)和和Y(t)的平稳性于是X(t)是平稳的。同理可证Y(t)是平稳的95联合平稳随机过程联合平稳随机过程再讨论两随机过程的联合平稳性和遍历性由于于是X(t)和Y(t)是联合平稳的又因为所以X(t)和Y(t)是联合遍历

45、的复随机过程及其数字特征复随机过程复随机过程设X(t)和Y(t)是两个实随机过程复随机过程Z(t)=X(t)+j Y(t)。Z(t)的统计特性可由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布来描述：Z(t)的2n维联合概率密度函数为：复随机过程及其数字特征97数学期望方差自相关函数复随机过程及其数字特征98自协方差若复随机过程Z(t)满足以下条件：（a）（b）（c）则称Z(t)为宽平稳复随机过程复随机过程及其数字特征99两个复随机过程Z1(t)和Z2(t)的互相关函数：两个复随机过程Z1(t)和Z2(t)的互协方差函数为：复随机过程及其数字特征100若两个平稳的随机过程Z1(t)和Z2(t)满足：且

46、则称Z1(t)和Z2(t)联合平稳若有则称Z1(t)和Z2(t)不相关若有则称Z1(t)和Z2(t)为正交复过程复随机过程及其数字特征101例例1.151.15 设设U U和和V V是不相关的实随机变量，且均值都为是不相关的实随机变量，且均值都为0 0，方差，方差都为都为1 1，问复过程，问复过程Z(t)=U cost+jVsint是否宽平稳是否宽平稳.解：因此Z(t)是宽平稳过程离散时间随机过程 102离散时间随机过程离散时间随机过程当对连续时间随机过程X(,t)中的参数t取离散值t1,t2,tn时，X(t)由随机变量序列X(t1),X(t2),X(tn)构成，该序列可表示为X(n)或者X(

47、n),n=1,2,N，这就是离散时间随机过程.由于X(n)中的参数n表示不同的等时间间隔时刻，所以X(n)又被称为时间序列。离散时间随机过程 103一维概率分布一维概率分布设X(n),n=1,2,N为离散时间随机过程，对任意固定nN及实数xn R，称为离散时间随机过程X(n),n=1,2,N的一维概率分布函数若对xn的一阶偏导数存在，则称为离散时间随机过程X(n),n=1,2,N的一维概率密度函数离散时间随机过程 104二维概率分布二维概率分布设X(n),n=1,2,N为离散时间随机过程，对任意固定n,mN及实数xn,xm R，称为离散时间随机过程X(n),n=1,2,N的二维概率分布函数若对

48、xn和 xm的二阶混合偏导数存在，则称为离散时间随机过程X(n),n=1,2,N的二维概率密度函数离散时间随机过程 105n维概率分布维概率分布设X(n),n=1,2,N为离散时间随机过程，对任意的n,i=1,2,n及实数x1,x2,xn R，称为离散时间随机过程X(n),n=1,2,N的n维概率分布函数若对xn和 xm的n阶混合偏导数存在，则称为离散时间随机过程X(n),n=1,2,N的n维概率密度函数离散时间随机过程 106联合分布函数联合分布函数设X(n)和Y(m)为两实离散时间随机过程，其n+m维联合分布函数为：若的n+m阶混合偏导数存在，称对为离散时间随机过程X(n)和Y(m)的n+

49、m维联合概率密度函数离散时间随机过程 107对某实离散时间随机过程X(n)的n个随机变量X1,X2,Xn，若则称这n个随机变量统计独立。若对X(n)和Y(m)这两个实离散时间随机过程的任何n+m个随机变量X1,X2,Xn;Y1,Y2,Ym，若则称X(n)和Y(m)相互独立。离散时间随机过程的数字特征108离散时间随机过程的数学期望离散时间随机过程的数学期望设X(n),n=1,2,N为实离散时间随机过程数学期望均方值方差标准差或均方差离散时间随机过程的数字特征109离散时间随机过程的自相关函数离散时间随机过程的自相关函数设X(n),n=1,2,N为实离散时间随机过程，自相关函数自协方差函数离散时

50、间随机过程的数字特征110互相关函数互相关函数设X(n)和Y(n)为两个实离散时间随机过程互相关函数互协方差函数离散时间随机过程的数字特征111例例1.161.16 设有一阶滑动序列设有一阶滑动序列 Y(n),n=,-1,0,1,，其定义为：N(0,1)的随机变量的随机变量，C为常数为常数。求Y(k)的均值和相关函数的均值和相关函数解：Y(k)是正态分布随机变量的组合，故其也服从正态分布其中其中X(k),k=,-1,0,1,为独立同分为独立同分布布离散时间随机过程的平稳性和遍历性112离散时间随机过程的严格平稳性离散时间随机过程的严格平稳性若概率分布在经过任意整数K个时间平移后保持不变，即则称