2019学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）人教版.doc

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1、- 1 -20192019 学年高二数学上学期期中试题学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）理（含解析）一、本大题共一、本大题共 4 4 小题，共计总分小题，共计总分 1515 分（每空分（每空 3 3 分，共分，共 5 5 空，合计空，合计 1515 分）分） 已知、均为实数，为确定实数写成下列各问题：xyzmn（可用字母与符号：、）mnpq1设命题为：“” ，表述命题：_p0m pabD ABCB1C1D1A1【答案】0m 【解析】的否这是：，0m 0m 若为：，则p0m :0p m2设命题为：“” ，用字母与符号表述命题“、均为非零实数”：_q0n mnA1D1C1B1CBAD【答案】

2、pq【解析】 “、均为非零实数” ，即“，” ，mn0m 0n 又命题“” ，命题为：“” ，故用字母符号表述命题：“、均为非零实数”:p0m q0n mn为：pq3已知增函数，命题“，” ，是：_( )yf x: txy ( )( )0f xf yt【答案】，xy ( )( )0f xf y【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题“，:rxy ” ，( )( )0f xf y则是：，rxy ( )( )0f xf y- 2 -4某学生三好学生的评定标准为：（ ）各学科成绩等级均不低于等级，且达及以上等级学科比例不低于；1BA85%（）无违反学校规定行为，且老师同学

3、对其品德投票评定为优秀比例不低于 85%；2（ ）体育学科综合成绩不低于分385设学生达及以上等级学科比例为，学生的品德被投票评定为优秀比例为，学生的A%x%y体育学科综合成绩为用表示学生的评定数据(0100)xyzz、( , , )x y z已知参评候选人各学业成绩均不低于，且无违反学校规定行为则：B（ ）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有_1(85,80,100)(85,85,100)255xyz 285xyz （）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件2_【答案】 （ ）（）12200xyz 【解析】 （ ）对于，由数据可知，学生的品德被投

4、票评定为优秀比例是，低于，180%85%不能被评三好学生，充分性不成立；对于，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是，必要性不成立，故符合题意；(85,85,100)对于，由，得，故是学生可评为三85x85Y 85z 255xYz 255xyz 好学生的充要条件，故不符合题意；对于，由知是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故符合题意285xYz 综上所述， “学生可评为三好学生”的充分不必要条件有（）由（ ）可知，是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三21255xyz 好学生的必要条件可以是：200xyz 二、本大

5、题共二、本大题共 7 7 小题，共计总分小题，共计总分 3131 分分 （填空（填空 2 2（1 1） ，6 6（1 1）每空）每空 4 4 分，分，2 2（2 2） ，6 6（2 2）每空）每空4 4 分，其余每空分，其余每空 3 3 分，共分，共 7 7 空，合计空，合计 2121 分；第分；第 3 3，4 4 小题为解答题，每题小题为解答题，每题 5 5 分，合计分，合计 1010 分）分）已知单位正方形，点为中点1111ABCDABC DE11B D1设，以为基底1ADa1ABb abc、表示：（ ）_；（）_1AE 21AC 【答案】 （ ） （）111 22ab2111 222ab

6、c【解析】 （ ）在， 为为中点，中点，111AB D1ABb 1ADa E11B D- 3 -111111()()2222AEABADabab （）2111111111 22222ACAEECAEACAEACabc 2以为原点，分别以、为、轴，建立空间直角坐标系，则：AABAD1AAxyz（ ）点坐标为_1E（）若点满足：在直线上，且面，则点坐标为_2FF1BBEF11ADCF【答案】 （ ） （）11 1,12 2211,0,2【解析】 （ ）是单位正方体，11111ABCDABC D棱长为 ，1，1(1,0,1)B1(0,1,1)D由中点坐标公式得1 1,12 2E（）易知当为中点时，从

7、而平面，2F1BB1EFBDEF11ADC11,0,2F以下 3、4 题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3求直线与所成的角1AB11ADC【答案】见解析【解析】解：设直线与平面所成的角为，1AB11ADC，(0,0,0)A1(1,0,1)B1(1,1,1)C1(0,1,1)D，1(1,0,1)AB 1(1,1,1)AC 1(0,1,1)AD 设平面的一个法向量为，11ADC( , , )nx y z则，即，令，则，1100ACnADn00xyzyz 1y 0x 1z ，(0,1, 1)n ，1|11sin|cos,|2| |22AB nAB nABn ，即直线与平面所成的角为301

8、AB11ADC30- 4 -4求二面角的大小111BADC【答案】见解析【解析】解：设平面的一个法向量为，11AB D( , , )mx y z则，即，令，则，1100ABmADm 00xzyz 1x 1y 1z ，(1,1, 1)m 由 知平面的法向量，311ADC(0,1, 1)n ，226cos,3323m n 故二面角的大小为111BADC6arccos35过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为C1AC45ABCD60_【答案】2【解析】过点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数与过C1AC45ABCD60与直线所成角为，且与平面所在的角为的直线条数相同，过与直线1C1A

9、C45ABCD601C所成角为的直线为以为项点，以为轴线的圆锥的母线，过且与平面1AC451C1AC1C所成角为的直线是以为顶点，以为轴线，顶角为的圆锥的母线，由于ABCD601C1CC60，所以，故这两个圆锥曲面的相交，有条交线，从而过1tan2AC C 14560AC C 2点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为C1AC45ABCD6026设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点的平面组为：面、面、面A11ADD AABCD正方体内（含表面）有一动点，到共点于的三个面的距离依次为、11ABB APA1d、2d3d（ ）写出一个满足的点坐标_ （按题建系）11231dddP2（）若一

10、个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于 ，则该点轨迹图形21的体积为：_- 5 -d1d3 d2PDABCB1C1D1A1【答案】 （ ） （）1(0,0,1)21 12【解析】 （ ）设，则到平面的距离为，到平面的距离为，1( , , )P x y zP11ADD AxPABCDz到平面的距离为，故由得，故任写一个满足P11ABB Ay1231ddd1xyz的坐标即可，1xyz0(0,0,1)y（）若点到共顶点的平面组的距离和，则点位于平面上，若点2PA1xyzP1ABD到共顶点的平面组的距离和，则位于正方体除去三棱锥剩余的PA1xyz P1AABD几何体内，因此，若一个点到

11、每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于 ，则点位于正方1体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21211 32212VA1D1C1B1CBAD三、本大题共三、本大题共 4 4 小题共计总分小题共计总分 4141 分分 （填空（填空 1 1，3 3（1 1）每小题）每小题 4 4 分，分，3 3（3 3） ， （4 4）每小题）每小题 2 2 分，分，其余各填空题每题其余各填空题每题 3 3 分，共分，共 1212 小题，合计小题，合计 3636 分，分，4 4（1 1）题赋分最高）题赋分最高 5 5 分）分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，

12、这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图 ）1- 6 -图 11写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：_【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线2直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点 （如图 ）C2 21yxnO1（ ）为获得（如图 ）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取 11n _；（）为获得（如图 ）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取 21

13、n _；（ ）上问（）中，对应取定值的曲线，其离心率 _；322ne （）上问（）中，对应取定值的曲线，其渐近线方程是_；422n（）为得到比（）中开口更大同类曲线，写出一个新取值_52n 【答案】 （ ） （） （ ） （） （）11n 233243yx 54n 【解析】 （ ）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时11n （）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时，故可取20n 3n （ ）当时，圆锥曲线的方程为，此时，故其离心33n C2 213yx 1a 3b 2c 率e2c a（）由（ ）知，双曲线的渐近线方程为：43C3yx （）双曲线的离心率越大，开口越

14、大，对于，要使离心率大于，则，故52 21yxn23n 可取4n - 7 -3同 2 小题中曲线条件，且曲线为椭圆，设、为两个焦点，点在曲线上CC1F2FAC（ ）若焦点在轴上，可取_；1yn （）描述 3（1）中椭圆至少两个几何特征：2_；_（ ）若，则的周长为_；34n 12AFF（）若是以为斜边的等腰直角三角形（如图） ，则椭圆的离心率42AOFAO2_e 图 2A xyOF1F2【答案】 （ ）14（）椭圆落在，围成的矩形中；21x 2y 图象关于轴，轴，原点对称xy（ ）342 3（）451 2【解析】 （ ）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，故可取12 21yxny1n 4n （）对

15、于椭圆的几何性质有：的取值范围是，的取值范围是22 214yx x11x y，椭圆位于直线，围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于轴，22x 1x 2y x轴，原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆的四个顶点分别是y2 214yx ，离心率，长半轴长为，短半轴长为 ，焦距为( 1,0)(1,0)(0,2)(0, 2)3e2c a21等，任写两个几何特证即可2 3（ ）若，则椭圆的方程为，34n C2 214yx 此时，由椭圆的定义可知，2a 1b 3c - 8 -若在曲线上，则，AC12| 24AFAFa故的周长为12AFF1212| 2242 3AFAFFFac（）若是以为斜边的等腰直

16、角三角形，42AOFAO则，即，又，2bCa2bac222bac得，故，220caca2ee10 解得，又，故15e2 0e151e2BCF1OyxA4直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象同小题中曲线条件，且，直线 过曲线的上焦点，与椭圆交于点、2C5n lC1FAB（ ）下面的三个问题中，直线 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究1l（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）直线斜率为 ，求线段的长1AB，求直线 的方程OAOBl当面积最大时，求直线 的方程AOBl我选择问题_，研究过程如下：（）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究

17、方法和工具（公式）有：2_（至少个关键词） 2（ ）在题题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）34（在图中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙34述待研究的几何问题无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）_- 9 -1图 3OF1F2yx1图 4xyF2F1O【答案】见解析【解析】 （ ）解：由题意可知直线 的方程为，1l2yx椭圆的方程为，C2 215yx 由得，2 2215yxyx26410xx 设，则由韦达定理得：，11( ,)A x y22(,)B xy122 3xx 121 6x x 线段22

18、 1212422 5|(1)()42933ABkxxx x解：易知直线 的斜率一定存在，设直线，l:2l ykx代入椭圆中得：，2 2:15yC x 22(5)410kxkx 设，则由韦达定理得：，11( ,)A x y22(,)B xy1224 5kxxk1221 5x xk，222 2 121212122228520(2)(2)2 ()44555kkky ykxkxk x xk xxkkk，DAOB，222121222215205190555kkx xy ykkk解得：，95 5k 直线 的方程为：l9525k 解：易知直线 斜率一定存在，设直线，l:2l ykx- 10 -代入椭圆中得：

19、，2 2:15yC x 22(5)410kxkx 设，则由韦达定理得：，11( ,)A x y22(,)B xy1224 5kxxk1221 5x xk线段22 2222 1212222221612020|1()4141(5)5(5)kkABkxxx xkkkkk，2212 55k k又原点到直线的距离，DAB221d k 的面积AOB2222211121|2 52 522551kkSAB dkkk，22222222 21112 52 52 516(5)(1)8(1)16181kk kkkkk ，22 22161612 (1)811kkkk ，当且仅当，即时，取等号，1152 52 51642

20、S2 21611kk 3k 的面积最大为，此时直线 的方程为：AOB5 2l32yx （）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等2（ ）设直线 的斜率为，若椭圆的下顶点为，3lkCD求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值k RADBD四、本大题四、本大题 4 4 小题，共计总分小题，共计总分 1313 分分 （第（第 2 2，3 3，4 4 小题，每题小题，每题 3 3 分，每分，每 1 1 小题小题 4 4 分，合计分，合计 1313分）分）汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面） 其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经

21、抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线设计一款汽车前灯，已知灯口直径为，灯深（如图 ） 设抛物镜面的一个轴截面20cm25cm1为抛物线，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为轴建立平面直角坐标系（如图） Cx2- 11 -.图 125cm20cm图 2OyxP抛物线上点到焦点距离为，且在轴上方研究以下问题：P5cmx1求抛物线的标准方程和准线方程C【答案】见解析【解析】解：设抛物线的方程为：，C22ypx由于灯口直径为，灯深，故点在抛物线上，20

22、cm25cm(25,10)C，解得：，100225p2p 抛物线为标准方程为：，准线方程为C24yx1x 2求点坐标P【答案】见解析【解析】解：设点坐标为，则，P00(,)xy0(0)y 2 004yx点到焦点的距离为，P5，得，015x 04x ，0044yx故点的坐标为P(4,4)3求抛物线在点处法线方程P【答案】见解析【解析】解：设抛物线在点处的切线方程为：，P4(4)yk x则由，消去得：，2444(4)yxyxx2416160kyyk，即，解得，164 ( 1616)0kk 24410kk 1 2k 抛物线在点处法线的斜率为，P2故抛物线在点处法线的方程为，即P42(4)yx 212

23、0xy- 12 -4为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值）求证：由在抛物线焦点处的点光源发射的光线经点反射，反射光线所在的直线平行于FP抛物线对称轴求证：由在抛物线焦点处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的F直线平行于抛物线对称轴我选择问题_，研究过程如下：【答案】见解析【解析】证明：设关于法线的对称点，(1,0)F2120xy( , )m n则在反射光线上，( , )m n则，1 12 1212022n m mn解得，94mn 反射光线过点，(9,4)又点在反射光线上，(4,4)P反射光线的方程为，4y 故由在抛物线焦点处的点光源经

24、点发射，FP反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴证明：设为抛物线上，任意一点，00(,)M xy则抛物线在处切线方程为：，M00()yyk xx由得，2004 ()yx yyk xx2 004440kyyykx，00164 (44)0kykx 又代入上式化简得，2 0 04yx 2 0(2)0ky ，02ky抛物线在处法线的斜率为，00(,)M xy0 2y法线方程为，0 00()2yyyxx - 13 -即，2 00 0024yyyyx 设关于在点处的法线的对称点为，(1,0)FM2 00 024yyyyx F( , )m n则，02 00 02 11 2224n myyynmy 解得：，42 00 2 0068 28yymyny 抛物线在点处反射光线过，M42 00 02 068,28yyyy 又反射光线过，00(,)M xy反射光线所在直线方程为，0yy故由在抛物线焦点处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，F反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴