考虑热效应的柔性多体系统的动力学分析.pdf

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1、2008年第 27卷9月第 9期机 械 科 学 与 技 术M echanicalScience andTechnology forAerospace EngineeringSeptemberVo.l 272008No.9收稿日期:20070726基金项目:国家自然科学基金项目(10472066)资助作者简介:马易志(1984-),硕士研究生,研究方向为多体系统动力学、考虑热效应的柔性多体系统动力学,yizhi ma 马易志考虑热效应的柔性多体系统的动力学分析马易志,刘锦阳,洪嘉振(上海交通大学 工程力学系,上海?200030)摘?要:机械系统因热膨胀和热弯曲引起的热误差是工程研究的一个重要问题

2、。为了研究热效应对柔性多体系统动力学特性的影响,本文首先从虚功原理出发,用假设模态法对平面梁进行离散,在温度变化和 y方向的温度梯度已知的情况下,建立了单个柔性梁的动力学变分方程,然后根据各柔性体之间的运动学约束关系,引入拉格朗日乘子,建立了柔性多体系统的第一类拉格朗日动力学方程,并推导了约束力的计算公式。曲柄滑块机构的数值仿真表明:温度变化对系统动力学特性的影响不仅与温度变化率和系统惯量有关,还取决于几何位置。当运动机构趋近于奇异位置时,热效应最为显著。进一步研究表明,温度梯度引起横向变形和横向约束力平均值的变化。关?键?词:热效应;柔性多体系统;动力学;温度变化;温度梯度中图分类号:O31

3、3.7?文献标识码:A?文章编号:1003?8728(2008)09?1125?05DynamicAnalysis of FlexibleMultibody SystemsConsidering ThermalEffectM a Y izh,i Liu Jinyang,H ong Jiazhen(Department ofEngineeringM echanics,Shanghai Jiaotong University,Shanghai200030)Abstract:Ther mal error of amechanism due to thermal expansion and ther

4、mal bending is an i mportant problem inengineering.In order to investigate the ther mal effect on the dynam ic performance of a flexible multibody syste m,dynam ic equations of a flexible beam are established based on virtualwork principle,and then assumedmodem eth?od is employed for discretization.

5、Based on the assumption that the temperature change and the temperature gradientin y direction are known,the generalizedm ass and forcematrices for a single beam are derived.According to theconstraint equations between flexible bea m s,the Lagrange?sdyna m ic equations for the first kind are establi

6、shed andthe constraint force expressions are obtained.Si mulation of a crank?slider system shows that the ther mal effect dueto temperature variation is related to geom etric position aswell as te mperature increasing rates and geom etric proper?ties.Significant ther mal effect is shown when themech

7、anism approaches singular configurations.Furthermore,it isindicated that temperature gradient induces transverse defor m ation and leads to the change in the average value ofthe transverse constraint force.Key words:ther mal effec;tflexible multibody system;dyna m ics;te mperature variation;temperat

8、ure gradient?目前,工程中复杂机械系统的部分构件已采用轻质柔性材料,系统的运行速度加快,运行精度的要求越来越高,必须同时考虑部件大范围运动和构件本身的变形,这类系统称为柔性多体系统或刚?柔耦合系统。近年来,对闭环柔性多体系统的动力学研究受到了越来越多的重视。Pan,H aug 1用柔性多体系统的笛卡尔方法推导了闭环柔性机械系统的动力学方程;洪嘉振 2和于清 3基于柔性多体系统单向递推组集方法,研究了大型空间柔性机械系统大范围运动和变形运动的相互耦合作用;Saha,Schie?机 械 科 学 与 技 术第 27卷hlen 4也基于此方法研究了闭环柔性机械系统的动力学性态。但以上对工作

9、都未考虑温度变化引起的热效应影响。李琳和刘锦阳 5在应力和应变关系式中考虑热应变,推导了柔性多体系统动力学方程中与温度变化有关的附加项,研究了热膨胀引起的纵向振动对约束力的影响,在此基础上,刘锦阳和洪嘉振 6同时考虑了几何非线性和热效应,研究了几何非线性和热效应的综合影响。最近,刘锦阳和陆皓 7又研究了柔性并联空间机械臂动力学特性,发现了热效应与温度变化率的关系。但是以上研究工作均没有考虑 y 方向的温度梯度引起的热弯曲效应,以及热效应与运动机构几何位置的关系。本文基于柔性多体系统动力学理论,研究热应变对平面柔性多体系统的动力学特性的影响。首先从虚功原理出发,用假设模态法对平面梁进行离散,在温

10、度变化和 y 方向的温度梯度已知的情况下,建立了单个柔性梁的动力学变分方程,然后引入拉格朗日乘子,根据物体之间的运动学约束关系,推导了柔性多体系统的第一类拉格朗日动力学方程和约束力的计算公式。研究曲柄滑块机构的动力学问题。在温度的变化率,滑块质量和滑块位置不同的情况下,温度变化对系统动力学特性的影响。在此基础上,研究温度变化和温度梯度对系统动力学响应的综合影响。1?单柔性梁的动力学方程图 1?作大范围运动的平面柔性梁 Bi本文的二维梁的几何非线性动力学方程是基于以下假设而建立的:该柔性梁为 Euler?Bernoulli梁,即忽略梁的剪切效应;梁的材料均匀且各向同性,因此梁的中性轴和质心轴重合

11、,不考虑由偏心引起的效应;梁的变形为小变形。作任意大范围运动的平面柔性梁 Bi如图 1所示。设 O0?X0Y0Z0为惯性坐标系,Oi?XiYiZi为 Bi的浮动坐标系,r 0i是 Oi点的位置向量,?i0是任意点相对于 Oi?XiYiZi未产生变形时相对 Oi?XiYiZi的位移向量,u i是变形位移向量。用 ri,r0i表示 r i,r 0i相对于 O?X0Y0Z0的坐标,?i,?i0,u?i,表示?i,?i0,u i相对于 Oi?XiYiZi的坐标,Ai为Oi?XiYiZi关于 O?X0Y0Z0的方向余弦矩阵,ri可表示为ri=r0i+Ai(?i0+u?i)(1)式中:?i0=xi,yiT

12、,u?i=ux i,uy iT。利用假设模态法进行离散,梁中线上任意点的纵向变形 ux i和横向变形 uyi可以通过形函数矩阵?1i和?2i表达为ux i=si+uF iuy i=?2ipi(2)式中:si是梁中线上轴向伸长,si=?1ipi;uF i是二次耦合变形量,uF i=-12!xi0 uyi 2d;pi为模态坐标阵。变形位移列阵可表示为u?i=?ipi+!?ipi/2式中:?i=?T1i,?T2iT;!?i=-(pTiHi)T,0TT;Hi=!xi0?2i T?2i d。设弹性梁的广义坐标为 qi=rT0i,i,pTiT,将式(2)分别对时间求导,得到ri=Jiqi,ri=Jiq+w

13、i(3)式中:Ji=I,AiI?i,Ai?i+Ai!?i;I=0-110;wi=-2iAi?i+2iAiIu?i+Ai!?ipi。根据虚功原理,动力学变分方程为!Vi#rTi(-?iri+fi)dV+#Wi=0(4)式中:fi为在绝对坐标系下的体力列阵;#Wi为弹性力做的虚功。设梁的温度分布为T(xi,yi,t)=Tr+T0(xi,t)+yiT1(xi,t)式中:Tr为无热变形时的参考温度;T0(xi,t)为梁中性轴上任意一点的温度变化;T1(xi,t)为梁关于 yi的 1阶温度梯度,则梁的温度变化为!T(xi,yi,t)=T(xi,yi,t)-Tr=T0(xi,t)+yiT1(xi,t)。设

14、 i为物体的膨胀系数,基于 Euler?Bernoulli假设,轴向应力为%xi=E(&xi-i!T)(5)?考虑几何非线性,轴向应变为&x i=ux i xi+12 uyi xi2-yi 2uyi x2i=si xi-yi 2uyi x2i(6)?则弹性力做的虚功为#Wi=-!V%xi#&x idV=-#pTiKf ipi+#pTiQt i(7)其中1126第 9期马易志等:考虑热效应的柔性多体系统的动力学分析Kf i=!li0EiSi?1i xiT?1i xi+?EiIi 2?2i x2iT 2?2i x2idxi(8)Qt=!li0iEiSiT0(xi,t)?1i xiTdxi-?!li

15、0iEiIiT1(xi,t)2?2i x2iTdxi?(9)式中:Si和 Ii分别为梁的横截面积和惯量矩。#ri可以通过对(2)求变分得到:#ri=Ji#qi,将式(3)和式(7)代入式(4),得到单个柔性梁的动力学变分方程为#qTi(-Miq i+Qi)=0,i=1,#,N(10)式中:Mi和 Qi分别为单个柔性梁的广义质量阵和力阵,Mi=!Vi?JTiJidV,Qi=!ViJTi(fi-?wi)dV+Qf i,Qf i=013,QTt i-(Kf ipi)TT。当柔性梁 Bi上在xP处附有集中质量 m时,体密度?=?+m#(xi-xP)/Si。2?柔性梁系统的动力学方程设柔性多体系统由 B

16、1,#,BN组成,q=qT1,#,qTNT为系统的广义坐标,约束方程为 (q,t)=0,系统的动力学变分方程为%Ni=1#qTi(-Miq i+Qi)+#We+#Wc=0(11)式中:#We为系统的物体之间的力元做的虚功;#Wc为约束力做的虚功。#We=%Ni=1#qTiQei#Wc=-%Ni=1#qTiTqi(12)式中:qi为约束方程对 qi的导数阵;(是相应的拉格朗日乘子。动力学变分方程(11)可表示为%Ni=1#qTi(-Miqi+Qi+Qie-Tqi()=#qT-M q+Q+Qe-Tq(=0(13)得到系统的第一类拉格朗日动力学方程为M q+(q)T(=Q+Qe(14)式中:M=di

17、ag(M1,#,MN);Q=QT1,#,QTNT;Qe=QT1e,#,QTN eT。对约束方程(11)关于时间求两阶导数,得到加速度约束方程为qq+(qq)qq+2qtq+tt=0(15)得到系统封闭的动力学方程为M(q)Tq0q(=Q+Qe-(qq)qq-2qtq-tt(16)3?约束力的计算设 R=Rx,RyT和 M 为与约束方程 (q,t)=0对应的约束力和约束力偶,则有#rTiR+#)M=-#qTiqiT(17)式中:)=i+i,i=+ipi为铰链处的角变形。#)=#i+i#pi=0,I,+i#qi(18)雅可比阵 qi可表示为qi=r0i,i,p i(19)式(1)的变分式为#ri=

18、Ji#qi=I,AiI?i,Ai?i+Ai!?i#qi(20)将式(18)式(20)代入式(17),得到约束力和约束力偶为R=-Tr0i(,M=-T i(-(AiI?i)TR(21)4?曲柄滑块系统的数值仿真平面曲柄滑块机构如图 2所示。两根柔性梁(i=1为曲柄梁和 i=2为连杆梁)的参数分别为:原长:l1=4 m,l2=8 m,横截面积:S1=S2=4 10-4m2,弹性模量:E1=E2=6!8952 1010N/m2,密度:?1=?2=2!7667 103kg/m3,惯 量矩:I1=I2=1!3333 10-8m4,热膨胀系数:1=2=2!35 10-5(1/K),滑块的质量为 m。根据图

19、 2所示的梁的边界条件,各柔性梁的横向变形取简支?简支模态,纵向变形取固支?自由模态。图 2?曲柄滑块机构及梁的边界条件1127机 械 科 学 与 技 术第 27卷4!1?均匀温度变化情况下的热效应研究设环境温度变化规律为!T=QTt(22)式中:QT为温度变化率。曲柄的角度时间历程取为1(t)=,stst22+ts22cos2tts-1?t 1 s时,由于温度梯度的绝对值的增幅减缓,横向变形的变化也逐渐减小,由此可见,横向变形与温度梯度有关。从方程式(9)可以看出,由于 y 方向温度梯度的存在,Qt的第二项非零,从而导致曲柄梁产生热弯曲。图 8?曲柄梁中点横向变形 v随时间的变化图 9显示,

20、在横向变形的影响下,横向约束力的平均值发生显著的变化,在前 2 s阶段横向约束力的波动尤其剧烈。此外还发现,由于同时受到热膨胀引起的纵向变形的影响,横向约束力呈现高频振荡。比较图 9和图 4可以发现,在均匀温度变化下,横向约束力仅受到热膨胀引起的纵向变形的影响,横向约束力在平均值附近高频振荡,而在温度变化和 y方向的温度梯度同时存在的情况下,横向变形引起横向约束力的平均值发生变化,体现了温度梯度引起的热弯曲效应。图 9?曲柄梁端点横向约束力 Ry的变化5?结论及分析(1)热效应与温度随时间的变化率有关。加热的时间越短,温度变化率越大,动力学参数的波动越大。(2)热效应还与系统的惯量特性有关。在

21、温度变化率给定的情况下,滑块质量越大,滑块加速度曲线的波动越小。(3)当运动机构趋近于奇异位置时,热效应的影响最为显著。(4)在温度变化均匀的情况下,各动力学变量在平均值附近高频振荡,而平均值不变。(5)y 方向的温度梯度不仅引起梁的横向变形,也引起横向约束力的平均值的变化。本文的研究工作一方面揭示了热应力对平面闭环柔性多体系统动力学性态的显著影响,另一方面也拓宽了柔性多体系统动力学学科的研究领域,具有一定的工程实际应用价值。参考文献 1?Pan W,Haug E J.Dynam ic si mulation of general flex ible multi?body systems J.

22、M echanics of Structures and M achines,1999,27(2):217 251 2?洪嘉振.计算多体系统动力学 M.北京:高等教育出版社,1999 3?于清.柔性多体系统单向递推组集建模方法与通用仿真软件的实现 D.上海交通大学,1998 4?Saha S K,SchiehlenW.Recursive kinematics and dynam ics forparallel structured closed?loop multibody system J.M echanicsof Structures andM ach ines,2001,29(2):143 175 5?李琳,刘锦阳.计及热效应的闭环柔性机械系统的动力学分析 J.机械科学与技术,2005,24(12):1491 1494 6?刘锦阳,洪嘉振.温度场中的柔性梁系统动力学建模 J.振动工程学报,2006,19(4):469 474 7?刘锦阳,陆皓.考虑热应变的柔性并联空间机械臂动力学 J.应用力学学报,2007,24(3):391 3951129