(精品)三角形中的垂直平分线 (4).ppt

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1、1.1.3 3线段的垂直平分线线段的垂直平分线2 2北师大版八年级下数学 第一章 三角形的证明1.1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理。掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理。2.2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形。已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形。ABCD回顾回顾 思考思考1.1.线段的垂直平分线的性质定理和线段的垂直平分线的性质定理和判断定理。判断定理。2.2.线段的垂直平分线的作法。线段的垂直平分线的作法。利利用用尺尺规规作作三三角角形形三三条条边边的的垂垂直直平平分分线线做做完完之之后后，你你发发现了什么？现了什么？发现：发现：三角形三边的垂

2、直平分线三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等顶点的距离相等 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线。边的垂直平分线。结论：三角形三条边的垂直平分线相结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点。交于一点。怎样证明这个怎样证明这个结论呢结论呢?点拨：点拨：要证明三条直线相交于一要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可点在第三条直线上即可命题命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点。三角形三条边的垂直平分线相交于一点。已知：如图已知：如图,在在ABCAB

3、C中中,AB,BC,AB,BC的垂直平分线相交于点的垂直平分线相交于点P,P,求证：点求证：点P P也在也在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上证明：证明：连接连接AP,BP,CP.AP,BP,CP.点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上,PA=PB PA=PB 同理同理,PB=PC.,PB=PC.PA=PC.PA=PC.点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上,AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线相交于一点的垂直平分线相交于一点.A AB BC CP P定理定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一三角形三条边的垂直平分线相交于一点点,并且这一点到三

4、个顶点的距离相等。并且这一点到三个顶点的距离相等。如图如图,在在ABCABC中中,c,a,bc,a,b分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线的垂直平分线(已知已知),),c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三条三角形三条边的垂直平分线相交于一点边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个并且这一点到三个顶点的距离相等顶点的距离相等).).A AB BC CP Pa ab bc c1 1分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置形三边的垂直平分

5、线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。2已知：ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC DCBAO证明：证明：AB=AC，AD是BC的中线，AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边)又AB的垂直平分线与交于点O OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边已知：三

6、角形的一条边a a和这边上的高和这边上的高h h求作：求作：ABCABC，使，使BC=aBC=a，BCBC边上的高为边上的高为h h1 1A AD DC CB BA Aa ah h()()D DC CB BA Aa ah h1 1A AD DC CB BA Aa ah h1 1A A 这样的三角形有无数多这样的三角形有无数多个观察还可以发现这个观察还可以发现这些三角形不都全等些三角形不都全等(2)(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗吗?如果能，能作几个如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗所作出的三角形都全等吗?这样的等腰三角形

7、也有无数多个这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形个等腰三角形 如图所示，这些三角形不都全等如图所示，这些三角形不都全等(3)(3)已知等腰三角形的底及底边上的高已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们这样

8、的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧是全等的，分别位于已知底边的两侧所以满足这一条件的三角形是唯一确定所以满足这一条件的三角形是唯一确定的。的。你能尝试着用尺规作出这个三角形吗你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?4 4 例题讲解例题讲解 已知：线段已知：线段a a、h h求作：求作：ABCABC，使，使AB=ACAB=AC，BC=aBC=a，高，高AD=hAD=h作法：作法：1 1作作BC=aBC=a；2 2作线段作线段BCBC的垂直平分线的垂直平分线MNMN交交BCBC于于D D点；点；3 3以以D D为圆心，为圆心，h h长为半径作弧长为半径作弧交交MNMN于于A

9、A点；点；4 4连接连接ABAB、ACAC ABC ABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形N NM MD DC CB Ba ah hA A5.动手操作动手操作（1）例题：已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。（2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.ppll1.已知线段a，求作以a为底，以a/2为高的等腰三角形。温馨提示:先分析,作出示意图形,再按要求去作图.这个等腰三角形有什么特征?a3.3.如果三角形三条边的中垂线的交

10、点在三角形的如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（外部，那么，这个三角形是（）A.A.直角三角形直角三角形B.B.锐角三角形锐角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形D.D.等边三角形等边三角形2.如图，如图，AC=ADAC=AD，BC=BDBC=BD，则（，则（）A.CDA.CD垂直平分垂直平分ADAD B.AB B.AB垂直平分垂直平分CD CD C.CDC.CD平分平分ACBACB D.D.以上结论均不对以上结论均不对B BC C1.证明了定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形 ABCPabc