【精品】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第2讲函数与方程学案.pdf

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1、1第 2 讲函数与方程 考情考向分析 求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现热点一函数的零点1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间 a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，故有两个不同的解u1，u2，又u1u2f(2)f(2)4，所以不等实根的个数为3.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定(2)零点个数的确定(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求

2、解跟踪演练1(1)定义在 R上的函数f(x)，满足f(x)x22，x0，1，2x2，x 1，0，且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点有()A3 个 B 2个 C 1个 D 0 个答案B 解析由f(x1)f(x1)得f(x)的周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，3图中，g(3)3 log231f(3)，g(5)3log250，ex，x0)有两个不同的交点即可，由 exa1x，得 ex2ax 10，a24e0，解得a2e或a0，a0.综上所述，a0，g(x)f(x)xa.若g(x)存在 2 个零4点，则a的取值范围是()A 1,0)

3、B0，)C 1，)D1，)答案C 解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在 2 个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2 个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有 2个交点，此时 1 0a，a 1.当yxa在yx1 上方，即a1 时，有 2 个交点，符合题意综上，a的取值范围为 1，)故选 C.思维升华(1)方程f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数(2)关于x的方程f(x)m0 有解，m的范围就是函数yf(x)的值域跟踪演练2(1)已知函数f(x)

4、2xa，x0，3xa，x0(aR)，若函数f(x)在 R上有两个零点，则a的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,1)(1,2)D(，1)答案A 解析函数f(x)2xa，x0，3xa，x0(aR)在 R上有两个零点，且xa3是函数f(x)的一个零点，方程 2xa 0在(，0 上有一个解，再根据当x(，0 时，02x201，可得 00时，f(x)xex，则f(x)1xex(x0)，故f(1)1e为f(x)在(0，)上的最大值设tf(x)，t2(m1)t1m0 有两个根t1，t2，由图可知，对应两个x值的t值只有一个，故可设t1对应一个x值，t2对应 3 个x值情况为t10，t2 0，1e或t

5、11e，t2 0，1e，当属于第一种情况时，将0 代入方程得m1，此时二次方程t2(m 1)t1m0 的根是确定的，一个为0，一个为21e，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，1e2m1e1m0，即e2e1e2em0，xR)若f(x)在区间(，2)内没有零点，则 的取值范围是_6答案0，1814，58解析f(x)1 cos x212sin x1212(sin x cos x)22sinx4.因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以T22，所以，所以 01.当x(，2)时，x4 4，24，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则 4k24(kZ)，即k218k14(kZ)当k0 时

6、，18 14；当k1 时，58 54.所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，018或1458.2(2017山东改编)已知当x0,1 时，函数y(mx 1)2的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 _答案(0,1 3，)解析设f(x)(mx1)2，g(x)xm，在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m2x1m2与g(x)xm的大致图象分两种情形：(1)当 01 时，01m1，如图，7要使f(x)与g(x)的图象在 0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即 1m(m1)2，解得m3 或m0(舍去)综上所述，m(0,1 3，)3(2017江苏)设f(x

7、)是定义在R 上且周期为1 的函数，在区间0,1)上，f(x)x2，xD，x，x?D，其中集合Dx xn 1n，nN*，则方程f(x)lg x0 的解的个数是_答案8 解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1x10 的情况，在此范围内，当xQ，且x?Z 时，设xqp，p，qN*，p2且p，q互质若lg xQ，则由 lg x(0,1)，可设lg xnm，m，nN*，m2 且m，n互质因此10nmqp，则 10nqpm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾因此lg x?Q，因此 lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x?D部分的交点，画出函数草图图中交点除(1,0)

8、外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x?D部分，且x1 处(lg x)1xln 101ln 10g52，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5 个，所以f(x)2sin xx1 的零点个数为5.2 已知函数f(x)x2，xa，x25x2，xa，若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A 1,1)B0,2 C(2,2 D 1,2)押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想答案D 解析g(x)f(x)2xx2，xa，x23x2，xa，要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0 恰有三个

9、不同的实数根，所以xa，x20或xa，x23x 20，所以g(x)0 的三个不同的实数根为x2(xa)，x 1(xa)，x 2(xa)再借助数轴，可得 1a2.所以实数a的取值范围是 1,2)，故选 D.3已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且当 0 x2 时，f(x)min x22x,2x，若方程f(x)mx0 恰有两个实根，则m的取值范围是()A.，1313，B.，1313，C.2，1313，2D.2，1313，29押题依据在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，先研究特殊位置，结合函数的性质，利用数形结合法，构建关于参数的不等式(组)求解答案C 解析当 0 x1 时，x

10、2 2x2x，当1x2 时，x2 2x2x，所以f(x)x22x，0 x1，2x，1x2，又因为f(x)是偶函数，且是以4 为周期的周期函数，作出函数f(x)的图象(图略)，直线ymx与yx2 2x的图象相切时，m2，直线ymx经过点(3,1)时，与函数f(x)的图象有三个交点，此时m13，故x0 时，要使方程f(x)mx 0 恰有两个实根，则13m2，由对称性知x0 时，要使方程f(x)mx0 恰有两个实根，则 2m0，f 13131213130，f 12121213120，f 13f 120，所以函数f(x)在区间13，12内必有零点，故选B.2(2018绍兴市柯桥区模拟)已知x0是函数f

11、(x)ex1x2的零点，若x1(0，x0)，x2(x0,2)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 答案C 10解析函数f(x)的定义域为 x|x2，又 ex0，且x2 时，1x20，故f(x)的零点x0(，2)，求导得f(x)ex1x220，则函数f(x)在区间(，2)，(2，)上单调递减，由0 x1x0 x2f(x0)f(x2)，即f(x1)0，f(x2)0 时，f(x)2x2x4，则f(x)的零点个数是()A2 B 3 C 4 D 5 答案B 解析由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)0.由于f 12f(2)0 时有 1

12、 个零点，根据奇函数的对称性可知，当x0时，也有1 个零点故一共有3 个零点4 已知函数f(x)x2 2x12(x0)与g(x)x2log2(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A(，2)B(，2)C.()，22D.22，22答案B 解析f(x)x22x12(x0时，x0)，所以f(x)关于y轴对称的函数为h(x)f(x)x22 x12(x0)，由题意得x22x12x2log2(xa)在x0 时有解，作出函数的图象如图所示，11当a0时，函数y2x12与ylog2(xa)的图象在(0，)上必有交点，符合题意，若a0，若两函数在(0，)上有交点，则log2a12，解得 0a2

13、，综上可知，实数a的取值范围是(，2)5(2018湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f(x)|x 1|x|x1|，则方程f(2x1)f(x)所有根的和是()A.13 B 1 C.43 D 2 答案C 解析由题意得f(2x1)|2x2|2x1|2x|，f(2x1)f(x)?|2x2|2x1|2x|x1|x|x1|，即|x1|x|2x1|x 1|0，设g(x)|x 1|x|2x1|x1|，则g(x)3x3，x1，5x1，1x0，3x1，0 x12，x 1，12x1，2x11，x1，则方程f(f(x)2f x340 的实根个数为()A6 B 5 C 4 D 3 答案C 解析令tf(x)，则方程f(

14、f(x)2f x340 等价于f(t)2t320，在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y2x32的图象，12由图象可得有两个交点，且f(t)2t32 0 的两根分别为t10 和 1t22，当t1f(x)0时，解得x2，当t2f(x)(1,2)时，f(x)有 3 个不等实根，综上所述，方程f(f(x)2f x340 的实根个数为4.7定义在 R上的函数f(x)满足f(x)f(x5)16，当x(1,4 时，f(x)x22x，则函数f(x)在区间 0，2 019 上的零点个数是_答案605 解析因为f(x)f(x5)16，所以f(x5)f(x10)16，所以f(x)f(x10)，所以该函数的周期

15、是T10.由于函数yf(x)在(1,4 上有 3 个零点，因此在区间(1,9 上只有 3 个零点，且在(1,0)上有 1 个零点，在 0,9 上有 2 个零点且不在区间端点处而2 019201109，故在区间 0,2 019上共有 2013 2605(个)零点8已知函数f(x)xsin x，0 x，x，x，g(x)f(x)kx(kR)当k1 时，函数g(x)有 _个零点；若函数g(x)有 3 个零点，则k的取值范围是_答案1 0，解析当k1 时，g(x)0，即f(x)x，当 0 x0)，最多有 1 个解，13即有x1k2，解得 0k，又 0 x 时，xsin xkx，即为 sin xk有 2

16、个解，则 0k1，综上可得00，g3 0，0，1a123，解得103a4 或 3a103，得 3a4.故实数a的取值范围为3,4 10(2018浙江)已知 R，函数f(x)x4，x，x2 4x3，x.当 2 时，不等式f(x)0的解集是 _若函数f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_答案(1,4)(1,3(4，)解析当 2 时，f(x)x4，x2，x24x 3，x2，其图象如图(1)由图知f(x)0 的解集为(1,4)14f(x)x4，x，x24x3，x恰有 2 个零点有两种情况：二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次函数与一次函数各有一个零点在同一平面直角坐标系中画出y1x4 与y2

17、x24x 3的图象，如图(2)，平移直线x，可得(1,3(4，)B组能力提高11定义在R 上的奇函数f(x)，当x0 时，f(x)12logx1，0 x1，1|x3|，x1，若关于x的方程f(x)a0(0a1)所有根之和为12，则实数a的值为()A.22 B.12 C.23 D.14答案B 解析因为函数f(x)为奇函数，所以当x(1,0 时，f(x)f(x)12log(x1)log2(1 x)；当x(，1 时，f(x)f(x)(1|x3|)|x 3|1，所以函数f(x)的图象如图所示，令g(x)f(x)a，函数g(x)的零点即为函数yf(x)与ya的交点，如图所示，共 5 个当x(，1 时，令

18、|x3|1a，解得x1 4a，x2a 2，当x(1,0)时，令log2(1 x)a，解得x312a；当x1，)时，令1|x3|a，解得x44a，x5a2，所以所有零点之和为x1x2x3x4x5 4aa21 2a 4aa2 12a12，a12.12若函数f(x)axln xx2xln x有 3 个不同的零点，则实数a的取值范围是()15A.1，ee11eB.1，ee11eC.1eee1，1D.1eee1，1答案A 解析函数f(x)axln xx2xln x有 3 个不同的零点，等价于axxln xln xx，x(0，)有 3 个不同解，令g(x)xx ln xln xx，x(0，)，则g(x)1

19、ln x()xln x21ln xx2ln x()1ln x()2xln xx2xln x2，当x(0，)时，令y2xln x，则y 21x2x1x，当x 0，12时，y0，y单调递增，则ymin1ln121ln 20，则当x(0，)时，恒有2xln x0，令g(x)0，得x1 或xe，且x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；x()e，时，g(x)0，g(x)单调递减，则g(x)的极小值为g(1)1，g(x)的极大值为g(e)ee 11e，当x0时，g(x)，当x时，g(x)1.结合函数图象(图略)可得，当 1aee11e时，16ya与g(x)xx ln xln xx的图象有3 个不同

20、的交点，即方程axxln xln xx，x(0，)有 3 个不同解，即函数f(x)ax ln xx2xln x有 3 个不同的零点，所以a的取值范围是1，ee11e.13已知函数f(x)|x|(2 x)，关于x的方程f(x)m(mR)有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为 _答案(1 2，0)解析f(x)|x|(2 x)x22x，x0，2xx2，x0，如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数yf(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0时，由对称性知，x2x32,0 x2x3x2x3221；当x0时，由x22x 1，得x12，

21、所以 12x10，即 0 x121，所以 0 x1x2x321，即 12x1x2x30.14已知函数f(x)ln x，x1，ef|x|1，x1(e 为自然对数的底数)，则f(e)_，函数yf(f(x)1 的零点有 _个(用数字作答)答案1 3 解析f(e)ln e1.函数yf(f(x)1 的零点个数为方程f(f(x)1 的根的个数，则由 ln x 1(x1)，得xe，于是f(x)e，则由 ln xe(x1)，得x ee；由 ef(|x|1)e(x1)，得f(|x|1)1，所以 ln(|x|1)1，解得xe1(舍去)或x1e；由 ef(|x|1)1(x1)，得f(|x|1)170，所以 ln(|x|1)0，解得x 0，所以f(x)0，只有 ln x0(x1)，解得x1.综上可知，函数yf(f(x)1 有xee,1 e,1，共 3 个零点